第12讲　二次函数的图象与性质-2026年中考数学复习课件

第12讲二次函数的图象与性质(5年12考)知识梳理夯基础知识点一二次函数的概念及解析式1.一般地,形如

(a,b,c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.

2.三种表达形式一般式:

(a,b,c为常数,a≠0).

顶点式:

(a,h,k为常数,a≠0).

交点式:

(a,x1,x2为常数,a≠0).

知识梳理y=ax2+bx+cy=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)1.若关于x的函数y=(a-2)x2-x是二次函数,则a的取值范围是

.

2.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式,则y=

.

针对训练a≠2(x-2)2+1知识点二二次函数的图象与性质1.二次函数的图象是一条

.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

知识梳理抛物线aa>0a<0图象开口方向向上向下小大增大减小减小增大3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系a决定抛物线开口方向及大小方向a>0,抛物线开口

a<0,抛物线开口

大小|a|越大,抛物线开口

|a|越小,抛物线开口

向上向下越小越大y轴左侧右侧原点3.已知二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示.(1)化为顶点式可得y=

;

(2)该抛物线的开口方向

,它的对称轴为

,它的顶点坐标为

;

(3)当x

时,y随x的增大而增大;

(4)当x=

时,y有最

值为

;

(5)该抛物线与x轴的交点坐标为

,与y轴的交点坐标为

.

(x+1)2-4向上直线x=-1直线x=-1>-1-1小-4(-3,0)和(1,0)(0,-3)4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0),结合图象填空(选填“>”“<”或“=”).(1)a

0,b

0,c

0;

(2)2a+b

0,2a-b

0,abc

0;

(3)b2-4ac

0;

(4)a+b+c

0,a-b+c

0;

(5)4a+2b+c

0,4a-2b+c

0;

(6)9a+3b+c

0,9a-3b+c

0.

<>>=<<>>=><=<知识点三二次函数图象的平移保持抛物线y=ax2的形状不变,使其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下:知识梳理温馨提示点坐标与函数图象的平移规律:点坐标的平移规律“左减右加,上加下减”,函数图象的平移规律“左加右减,上加下减”,两者要区分开.针对训练5.已知二次函数y=2x2.(1)把它的图象向左平移1个单位长度,就得到抛物线y=

;

(2)把它的图象向下平移1个单位长度,就得到抛物线y=

;

(3)把它的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,就得到抛物线y=

.

6.将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移

个单位长度,再向下平移

个单位长度,可得到抛物线y=2(x+1)2-1.

2(x+1)22x2-12(x-1)2+343重难突破提能力考点1二次函数的图象与性质(5年7考)典例1(2025中山模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(-1,4),与x轴其中一个交点的坐标为(1,0),则下列关于这个二次函数的结论正确的是(

)A.图象的开口向上B.当x>-2时,y的值随x值的增大而减小C.若M(x1,y),N(x2,y)是抛物线上不同的两点,则x1+x2=-1D.图象与y轴的交点坐标为(0,3)D即时训练1.(2024广东)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则(

)A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2A点(0,y1)在原点处,点(1,y2),(2,y3)都在y轴右侧,根据二次函数y=x2在y轴右侧的图象递增即可求解2.下列关于抛物线y=x2+4x-5的说法正确的是(

)①开口方向向上;②对称轴是直线x=-4;③当x<-2时,y随x的增大而减小;④当x<-5或x>1时,y>0.A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④C3.(2023广东)如图所示,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为(

)A.-1 B.-2 C.-3 D.-4B考点2二次函数图象的平移(5年1考)典例2(2025广东模拟)已知二次函数y=ax2-4x的图象经过点(-1,6).(1)求a的值和该二次函数图象的顶点坐标.解:(1)将(-1,6)代入二次函数y=ax2-4x,得6=a×(-1)2-4×(-1),解得a=2,∴y=2x2-4x=2(x-1)2-2.∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,-2).(2)若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度,求新抛物线与y轴交点的坐标.解:(2)将二次函数y=2(x-1)2-2的图象向右平移2个单位长度,则新抛物线的函数解析式为y=2(x-1-2)2-2=2(x-3)2-2.令x=0,则y=2×(0-3)2-2=16,∴新抛物线与y轴交点的坐标为(0,16).即时训练4.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=-x2+2x-1经过平移可以与抛物线y=-x2互相重合,那么这个平移是(

)A.向上平移1个单位长度

B.向下平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度

D.向右平移1个单位长度Cy=2x2+4x5.(2021广东)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为

.

考点3二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系典例3如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,与x轴负半轴的交点坐标为(x1,0),且-1<x1<0,下列结论:①abc>0,②b2>4ac,③4a+2b+c<0,④3a+c<0.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4B即时训练6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是()A.abc<0 B.4a-2b+c<0C.3a+c=0 D.am2+bm+a≤0(m为实数)CBA.1个 B.2个

C.3个 D.4个考点4确定二次函数的解析式(5年4考)典例4已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若函数图象经过(1,10),(-1,4),(-2,7)三点,求该函数的解析式;(2)若函数图象的顶点坐标为(-1,4),且经过点M(2,-5),求该函数的解析式;解:(2)∵二次函数图象的顶点坐标为(-1,4).∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0).把(2,-5)代入,得-5=a(2+1)2+4,解得a=-1,∴这个函数的解析式为y=-(x+1)2+4.(3)若函数图象与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),求该函数的解析式.解:(3)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2)(a≠0),将(0,4)代入,得4=-2a,解得a=-2,∴y=-2(x+1)(x-2)=-2x2+2x+4.∴二次函数的解析式为y=-2x2+2x+4.方法点拨确定二次函数的解析式(1)已知抛物线上三个点的坐标可设一般式;(2)已知顶点坐标或对称轴可设顶点式;(3)已知抛物线与x轴的交点坐标可设交点式.即时训练8.(2025广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点,则该二次函数的解析式可以是

(写出一个即可).

y=-x2+x+2(答案不唯一)9.新定义题一个二次函数的图象经过点(t,0),则称t的值是这个函数的“零点”.例如:二次函数y=a(x-3)(x+2)(a≠0),无论a取何值,二次函数的图象始终经过点(3,0)和(-2,0),所以3和-2是这个函数的“零点”.如果一个二次函数有且只有一个“零点”是-1,那么这个二次函数的解析式可以是

(写出一个符合要求的函数解析式即可).

y=(x+1)2(答案不唯一)全国视野拓思维10.(2025南通)在平面直角坐标系中,五个点的坐标分别为A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5).若抛物线y=a(x-2)2+k(a>0)经过上述五个点中的三个点,则满足题意的a的值不可能为()C