第24讲　与圆有关的位置关系-2026年中考数学复习课件

第24讲与圆有关的位置关系(5年6考)知识梳理夯基础知识点一点与圆的位置关系知识梳理位置关系点在圆内点在圆上点在圆外几何图形d与r的大小关系d

r

d

r

d

r

<=>1.如图所示,☉O的半径是5cm.(1)点A在☉O外,则OA

5cm;

点B在☉O上,则OB

5cm;

点C在☉O内,则OC

5cm;

(2)若OP=6cm,则点P在☉O

;若OQ=2cm,则点Q在☉O

.

针对训练>=<外内知识点二直线与圆的位置关系设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.位置关系相离相切相交图示公共点个数012公共点的名称无切点交点数量关系d>r

d=rd<r知识梳理2.☉O的半径是6.5cm,如果圆心与直线l的距离为d.(1)当d=4.5cm时,直线l和☉O

,有

个公共点;

(2)当d=6.5cm时,直线l和☉O

,有

个公共点;

(3)当d=8cm时,直线l和☉O

,有

个公共点.

针对训练相交2相切1相离0知识点三切线的性质与判定1.切线的性质:圆的切线

于过切点的半径.

2.切线的判定:(1)经过半径的外端且

这条半径的直线是圆的切线;

(2)到圆心的距离等于

的直线是圆的切线.

知识梳理垂直垂直于半径3.如图所示,点B在☉O上,点C在☉O外,OC交☉O于点A.(1)若BC切☉O于点B,∠C=20°,则∠BOC=

;

(2)若BC切☉O于点B,BC=4,AC=2,则☉O的半径是

;

(3)若∠BOC=50°,当∠C=

时,BC与☉O相切.

针对训练70°340°知识点四切线长定理切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长

,这一点和圆心的连线

两条切线的夹角.

拓展切线长定理常与等腰三角形三线合一的性质综合运用解题.知识梳理相等平分4.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,连接AB交OP于点C.PA=4,∠APB=60°.(1)PB=

,∠APO=

;

(2)△PAB是

三角形,AB=

;

(3)AC

OP,AC=

=

.

针对训练430°等边4⊥BC2知识点五三角形与圆1.确定圆的条件:过一点可以作

个圆;过两点的圆有

个,其圆心在

上;

三个点可以确定一个圆.

知识梳理无数无数这两点连线的垂直平分线不在同一直线上的2.三角形的外接圆与内切圆名称三角形的外接圆三角形的内切圆图形圆心名称外心内心圆心的实质三角形三边

的交点

三角形三个角

的交点

圆心的性质外心到三角形三个

的距离相等

内心到三角形

的距离相等

垂直平分线平分线顶点三边拓展5.如图所示,△ABC内接于☉O,∠A=45°,BC=2,则☉O的半径是

.

针对训练6.分类讨论△ABC内接于☉O,若∠BOC=100°,则∠BAC的度数是

.

.

50°或130°7.[人教九上P103习题T14变式]如图所示,☉I交△ABC的三边于点D,E,F,∠A=40°,AB=14,AC=13,BC=9.(1)∠BIC=

°,若AD=9.5,BD=

;

(2)若☉I的半径是2,则△ABC的面积是

.

8.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则△ABC外接圆的半径长是

,内切圆的半径长是

.

1104.5366.52重难突破提能力考点1点、直线与圆的位置关系(5年2考)典例1如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3,AB的中点为M.(1)以点C为圆心,2为半径作☉C,点A,B,M分别与☉C有怎样的位置关系?根据点与圆的位置关系判定方法比较AC,CM,BC与AC的大小关系即可(2)若以点C为圆心作☉C,使A,B,M三点中至少有一点在☉C内,且至少有一点在☉C外,则☉C的半径r的取值范围是什么?利用分界点,当A,B,M三点中至少有一点在☉C内时,以及至少有一点在☉C外时,分别求出r的范围,最后取公共部分即时训练1.(2024广州)如图所示,在☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是()A.点P在☉O上

B.点P在☉O内C.点P在☉O外

D.无法确定C2.(2025广州模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高,AB=4,若圆D是以点D为圆心,1.4为半径的圆,那么圆D与直线AC的位置关系是()A.相切 B.相离C.相交 D.不能确定B3.如图所示,在半径为5cm的☉O中,直线l交☉O于A,B两点,且弦AB=8cm,要使直线l与☉O相切,则需要将直线l向下平移()A.1cm B.2cmC.3cm D.4cmB考点2切线的性质(5年2考)典例2(2025广东T17,7分)如图所示,点O是Rt△ABC斜边AC上的一点,以OA为半径的☉O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC.规范解答证明:连接OD,如图所示.……1分∵BC是☉O的切线,∴OD⊥BC.……2分∵AB⊥BC,∴OD∥AB.…………3分∴∠ODA=∠BAD.………………4分∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD.……5分∴∠DAB=∠OAD.………………6分∴AD平分∠BAC.………………7分即时训练4.(2025东莞模拟)如图所示,AB为☉O的切线,切点为A.连接AO,BO,BO与☉O交于点C,延长BO与☉O交于点D,连接AD.若∠ABO=36°,则∠ADC的度数为()A.54° B.36° C.32° D.27°D5.如图所示,在△ABC中.∠ACB=90°,点O为AC边上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆与AB相切于点D,连接CD.(1)求证:∠ABC=2∠ACD;(1)证明:连接OD,如图所示,∵AB为☉O的切线,∴OD⊥AB.∴∠ODA=∠ODB=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠COD=180°.∵∠AOD+∠COD=180°,∴∠ABC=∠AOD.∵∠AOD=2∠ACD,∴∠ABC=2∠ACD.(2)若AC=8,BC=6,求☉O的半径.考点3切线的判定(5年2考)典例3如图所示,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的☉O与底边AB交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.求证:DE为☉O的切线.直线与圆有公共点,“连半径,证垂直”即可证明:如图所示,连接OD.∵AC=BC,∴∠A=∠B.∵OB=OD,∴∠ODB=∠B.∴∠ODB=∠A.∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.又OD为☉O的半径,∴DE为☉O的切线.即时训练6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BO平分∠ABC,交AC于点O,以点O为圆心,OC长为半径画☉O.求证:AB是☉O的切线.利用角平分线的性质,证明所作垂线段长等于半径证明:如图所示,过点O作OH⊥AB于点H,∴∠BHO=∠BCO=90°.∵BO平分∠ABC,∴OH=OC,∴AB与☉O相切.7.如图所示,在△ABC中,O为AC上一点,以O为圆心,OC长为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.求证:AB为☉O的切线.证明:如图所示,过点O作OE⊥AB于点E.∵AD⊥BO于点D,∴∠D=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°.∵∠AOD=∠BAD,∴∠ABD=∠OAD.又BC为☉O的切线,∴AC⊥BC.∴∠BCO=∠D=90°.∵∠BOC=∠AOD,∴∠OBC=∠OAD=∠ABD.∴OE=OC.∴OE是☉O的半径.∵OE⊥AB,∴AB是☉O的切线.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若OA=3,BD=2,求△OCD的面积.即时训练8.(2025惠州模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,点D是AC上一点,以AD为直径的☉O交BC,AB于点E,F,连接OF,E