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微专题九与辅助圆有关的问题(5年2考)模型一定点定长构造辅助圆1.如图所示,已知AB=AC=AD,点A,B,C为平面内的三个定点,D为平面内一个动点,则点D在以

为圆心,

长为半径的圆上运动.

点AAB(或AC)2.如图所示,∠MON=90°,Rt△ABC的两个锐角顶点A,B分别在OM,ON上滑动,直角顶点C在∠MON内随之运动,若AB=10,则点C是在以AB的

为圆心,半径为

的圆上运动.

5中点A,B是动点,但∠O=∠C=90°始终不变模型解读(1)如图(1)所示,在☉O中,点A,B,C,D在圆上,则OA=OB=OC=OD;(2)如图(2)所示,若AB=AC=AD,则点B,C,D在以点A为圆心,AB的长为半径的圆上.图(1)图(2)模型二以直角所对的边为直径作圆3.如图所示,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,点P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长度的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.4B4.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=2,点P从点C出发,沿CB运动到点B停止,过点B作射线AP的垂线,垂足为Q,则点Q运动的路径长为

.

5.如图所示,在正方形ABCD中,E是正方形内部一点,且∠AEB=90°,请画出点E的运动轨迹.模型解读(1)如图(1)所示,在☉O中,若AB是直径,点C在圆上,则∠ACB=90°;(2)如图(2)所示,在△ABC中,若∠ACB=90°,则点C在以AB为直径的☉O上.图(1)图(2)模型三定弦(非直径的弦)定角6.如图所示,在正方形ABCD中,AB=4,M是AD的中点,P是CD上的一个动点.当∠APM的度数最大时,CP的长为

.

7.如图所示,点P为菱形ABCD内一动点,且满足∠P=∠BAD=60°,请画出点P的运动轨迹.模型解读(1)如图(1)所示,在☉O中,若弦AB固定,则弦AB同侧所对的圆周角相等;(2)如图(2)所示,若线段AB的长为定值,且线段AB所对的∠C的度数为定值(0°<∠C<180°),则点C落在经过A,B,C三点的圆上.图(1)图(2)模型四四点共圆构造辅助圆8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠EAD=∠BAC,且AE=AD,则

四点共圆.

A,E,B,D由∠EAD=∠BAC可得∠EAB=∠DAC,从而可通过证明三角形全等得到∠AEB=∠ADC,再通过角的转化得到∠AEB+∠ADB=180°9.如图所示,AD,BE,CF为△ABC的三条高.若AB=6,BC=5,EF=3,则线段BE的长为

.

4.810.如图所示,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=90°,求证:A,B,C,D四点共圆.解:如图所示,连接BD,取BD的中点O,连接AO,CO,∵∠BAD=∠BCD=90°,O是BD的中点,∴AO=BO=CO=DO.∴A,B,C,D四点共圆.模型解读(1)如图(1)所示,若∠BAD+∠BCD=180°,则A

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