(2025年)《工程力学》期末复习题及答案

(2025年)《工程力学》期末复习题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于静力学公理的描述中，正确的是（）A.作用力与反作用力公理仅适用于刚体B.加减平衡力系公理适用于任何物体C.力的可传性原理说明力是滑动矢量，可在同一刚体上任意移动D.二力平衡公理中的两个力一定作用在同一物体上2.图示简支梁受集中力F作用（跨中位置），梁长L，横截面为矩形（b×h），则梁跨中截面的最大弯曲正应力为（）A.3FL/(2bh²)B.FL/(4bh²)C.3FL/(4bh²)D.FL/(2bh²)3.圆截面杆受扭时，横截面上的切应力分布规律为（）A.沿半径线性分布，圆心处最大，边缘处为零B.沿半径线性分布，圆心处为零，边缘处最大C.沿半径均匀分布D.沿半径非线性分布，中间大、两端小4.对于低碳钢拉伸试验，以下描述错误的是（）A.弹性阶段满足胡克定律σ=EεB.屈服阶段应力基本不变，应变显著增加C.强化阶段的强度极限是材料能承受的最大应力D.颈缩阶段的应力-应变曲线下降是因为材料实际承载面积减小5.压杆的临界应力与下列哪个因素无关（）A.杆的材料弹性模量EB.杆的截面形状和尺寸C.杆的长度LD.杆所受的轴向压力F二、判断题（每题2分，共10分，正确打√，错误打×）1.若平面任意力系向某点简化的主矢为零，主矩不为零，则该力系可合成为一个力偶。（）2.胡克定律σ=Eε仅适用于材料的弹性阶段。（）3.梁的最大弯曲切应力发生在中性轴处，对于矩形截面梁，最大切应力是平均切应力的1.5倍。（）4.切应力互等定理表明，在相互垂直的两个平面上，切应力大小相等，方向均指向或背离两平面的交线。（）5.压杆的柔度λ越大，临界应力σcr越小，压杆越容易失稳。（）三、计算题（共75分）1.（12分）图示阶梯形圆截面杆，AB段直径d₁=20mm，BC段直径d₂=30mm，受轴向载荷F₁=40kN，F₂=70kN，F₃=30kN作用（A端固定，B在A右侧1m处，C在B右侧1.5m处）。已知材料的许用应力[σ]=160MPa，试：（1）画出杆的轴力图；（2）校核杆的强度。2.（12分）空心圆轴受扭转力偶矩T=2kN·m作用，外径D=80mm，内径d=60mm，材料的剪切模量G=80GPa，许用切应力[τ]=50MPa，许用单位长度扭转角[θ]=0.5°/m。试校核该轴的强度和刚度。3.（15分）图示简支梁由T形截面铸铁制成，截面尺寸如图（翼缘宽b=120mm，厚t=20mm；腹板高h=100mm，厚δ=20mm），梁长L=2m，受均布载荷q=10kN/m作用。已知铸铁的抗拉许用应力[σt]=30MPa，抗压许用应力[σc]=120MPa，试校核梁的强度（注：T形截面形心至下边缘的距离y₁=60mm，至上下边缘的距离y₂=60mm？不，需重新计算形心位置。正确计算：截面面积A=120×20+(100-20)×20=2400+1600=4000mm²；形心至下边缘距离y₁=(120×20×(100-20+10)+80×20×40)/A？不，正确方法：将截面分为翼缘（上矩形）和腹板（下矩形）。翼缘尺寸：宽120mm，厚20mm，形心y坐标为h-t/2=100-10=90mm（假设整个截面总高h=100mm+20mm？不，原题可能描述不清，假设T形截面总高为120mm：翼缘厚20mm，宽120mm，腹板高100mm（总高20+100=120mm），腹板厚20mm。则翼缘形心y₁=120-20/2=110mm，腹板形心y₂=20/2=10mm。截面面积A=120×20+100×20=2400+2000=4400mm²。形心总坐标y_c=(A₁y₁+A₂y₂)/A=(2400×110+2000×10)/4400=(264000+20000)/4400=284000/4400≈64.55mm。因此，截面上边缘至形心距离y_t=120-y_c≈55.45mm，下边缘至形心距离y_c≈64.55mm。惯性矩计算：翼缘对形心轴的惯性矩I₁=(120×20³)/12+A₁(y₁-y_c)²=(120×8000)/12+2400×(110-64.55)²=80000+2400×(45.45)²≈80000+2400×2066≈80000+4,958,400≈5,038,400mm⁴；腹板对形心轴的惯性矩I₂=(20×100³)/12+A₂(y_c-y₂)²=(20×1,000,000)/12+2000×(64.55-10)²≈1,666,667+2000×(54.55)²≈1,666,667+2000×2976≈1,666,667+5,952,000≈7,618,667mm⁴；总惯性矩I=I₁+I₂≈5,038,400+7,618,667≈12,657,067mm⁴≈12.66×10⁶mm⁴。梁跨中弯矩最大，M_max=qL²/8=10×2²/8=5kN·m=5×10⁶N·mm。最大拉应力可能发生在上边缘（y_t=55.45mm），σ_t=M×y_t/I=5×10⁶×55.45/(12.66×10⁶)≈(277.25×10⁶)/(12.66×10⁶)≈21.9MPa<[σt]=30MPa；最大压应力发生在下边缘（y_c=64.55mm），σ_c=M×y_c/I=5×10⁶×64.55/(12.66×10⁶)≈322.75/12.66≈25.5MPa<[σc]=120MPa，安全。）4.（15分）图示圆截面钢轴，直径d=50mm，受横向力F=4kN和扭转力偶矩T=0.8kN·m作用（力F作用于轴的中点，轴长L=1m）。已知材料的许用应力[σ]=160MPa，试按第三强度理论校核轴的强度。5.（11分）一端固定、一端自由的压杆，长度L=2m，截面为矩形（b=40mm，h=60mm），材料为Q235钢（E=200GPa，σp=200MPa）。试求：（1）压杆的柔度λ；（2）判断是否适用欧拉公式（λp=π√(E/σp)=π√(200×10³/200)=π√1000≈99.3）；（3）计算临界应力σcr。6.（10分）图示悬臂梁，长度L=3m，受均布载荷q=5kN/m和自由端集中力F=10kN作用（F方向与q同向）。已知梁的弯曲刚度EI=2×10⁴kN·m²，试用叠加法求自由端的挠度。答案一、选择题1.D（二力平衡需同体、等值、反向、共线；作用力与反作用力不同体；加减平衡力系仅适用于刚体；力的可传性要求沿作用线移动）2.A（跨中弯矩M=FL/4，矩形截面Wz=bh²/6，σ_max=M/Wz=(FL/4)/(bh²/6)=3FL/(2bh²)）3.B（扭转切应力沿半径线性分布，圆心为零，边缘最大）4.C（强度极限是名义最大应力，实际颈缩后承载面积减小，真实应力更高）5.D（临界应力由杆的几何、材料、支撑决定，与所受压力无关）二、判断题1.√（主矢为零，主矩不为零，合力偶）2.√（胡克定律仅适用于线弹性阶段）3.√（矩形截面τ_max=1.5V/A，V为剪力，A为截面积）4.√（切应力互等定理的表述）5.√（柔度λ=μL/i，λ越大，临界应力越低）三、计算题1.（1）轴力图：AB段轴力N₁=F₁=40kN（拉），BC段轴力N₂=F₁-F₂=40-70=-30kN（压），CD段（假设题目中C为末端）N₃=N₂+F₃=-30+30=0（但原题载荷为F₁、F₂、F₃，A固定，B在A右1m，C在B右1.5m，总载荷：A端反力F_A=F₂-F₁-F₃=70-40-30=0？可能题目载荷顺序为A端固定，依次受F₁（向右）、F₂（向左）、F₃（向右），则AB段N=F₁=40kN（拉），BC段N=F₁-F₂=40-70=-30kN（压）。轴力图：AB段+40kN，BC段-30kN。（2）强度校核：AB段σ₁=N₁/A₁=40×10³/(π×(20/2)²)=40×10³/(314.16)≈127.3MPa<[σ]=160MPa；BC段σ₂=|N₂|/A₂=30×10³/(π×(30/2)²)=30×10³/(706.86)≈42.4MPa<[σ]，安全。2.强度校核：抗扭截面系数Wp=π(D⁴-d⁴)/(16D)=π(80⁴-60⁴)/(16×80)=π(40960000-12960000)/1280=π×28000000/1280≈68722mm³。τ_max=T/Wp=2×10⁶/68722≈29.1MPa<[τ]=50MPa，强度满足。刚度校核：极惯性矩Ip=π(D⁴-d⁴)/32=π(80⁴-60⁴)/32≈π×28000000/32≈2748894mm⁴。单位长度扭转角θ=T×180/(G×Ip×π)=2×10⁶×180/(80×10³×2748894×π)≈(360×10⁶)/(690,775,000×π)≈0.166°/m<[θ]=0.5°/m，刚度满足。3.正确形心计算：翼缘（上矩形）尺寸120mm×20mm，形心y₁=20/2=10mm（以截面下边缘为原点）；腹板（下矩形）尺寸20mm×(100mm)（总高120mm，腹板高100mm，厚20mm），形心y₂=20+100/2=70mm。截面面积A=120×20+20×100=2400+2000=4400mm²。形心y_c=(2400×10+2000×70)/4400=(24000+140000)/4400=164000/4400≈37.27mm（至下边缘距离），上边缘至形心距离y_t=120-37.27=82.73mm。惯性矩：翼缘对形心轴I₁=(120×20³)/12+2400×(37.27-10)²=80000+2400×743.6≈80000+1,784,640≈1,864,640mm⁴；腹板对形心轴I₂=(20×100³)/12+2000×(70-37.27)²≈1,666,667+2000×1071≈1,666,667+2,142,000≈3,808,667mm⁴；总I=1,864,640+3,808,667≈5,673,307mm⁴≈5.67×10⁶mm⁴。跨中弯矩M=qL²/8=10×2²/8=5kN·m=5×10⁶N·mm。下边缘拉应力（y=37.27mm）σ_t=M×y/I=5×10⁶×37.27/(5.67×10⁶)≈33.0MPa（超过[σt]=30MPa，不安全？需重新核对形心计算。可能原题截面描述不同，正确T形截面通常翼缘在上，腹板在下，形心靠近翼缘。假设翼缘厚20mm，宽120mm，腹板高100mm，厚20mm，总高120mm，以顶部为原点：翼缘形心y₁=10mm，腹板形心y₂=20+50=70mm，A=120×20+20×100=4400mm²，y_c=(120×20×10+20×100×70)/4400=(24000+140000)/4400=164000/4400≈37.27mm（距顶部），则距底部距离=120-37.27=82.73mm。此时，最大拉应力在底部（受拉侧），σ_t=M×82.73/I；最大压应力在顶部，σ_c=M×37.27/I。若梁受均布载荷，跨中截面下部受拉，上部受压。假设[σt]=30MPa（拉），[σc]=120MPa（压），则σ_t=5×10⁶×82.73/(5.67×10⁶)≈73.3MPa>30MPa，不安全。可能题目中截面尺寸描述有误，正确计算需根据实际截面调整，但此处按常规步骤解答。4.危险截面在跨中，弯矩M=FL/4=4×1/4=1kN·m=1×10⁶N·mm，扭矩T=0.8kN·m=0.8×10⁶N·mm。第三强度理论σ_r3=√(σ²+4τ²)，其中σ=M/Wz=1×10⁶/(π×50³/32)=1×10⁶/(125000π/32)=1×10⁶×32/(125000×3.14)≈81.5MPa；τ=T/Wp=0.8×10⁶/(π×50³/16)=0.8×10⁶×16/(125000×3.14)≈32.6MPa。σ_r3=√(81.5²+4×32.6²)=√(6642+4259)=√10901≈104.4MPa<[σ]=160MPa，安全。5.（1）截面惯性半径i=√(I/A)，矩形截面I=bh³/12（绕弱轴，假设压杆在xy平面失稳，绕y轴惯性矩I_y=hb³/12），则i_y=√(hb³/(12×bh))=√(b²/(12))=b/√12=40/3.464≈11.55mm。长度系数μ=2（一端固定一端自由），柔度λ=μL/i=2×2000