山东省2025-2026学年高三上学期春季高考第一次模拟考试数学试题

2025-2026学年度山东省春季高考第一次模拟考试数学试题本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题20小题，每题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上）1.若全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集和补集运算进行求解.【详解】因为，，所以，又，所以，故选：B2.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用绝对值的性质转化不等式，再分别求解不等式即可.【详解】已知，则，即或，解得或，故答案为：.故选：C3.复数的共轭复数的虚部是（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为复数的共轭复数是，所以复数的虚部为.故选：C4.函数的定义域是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据具体函数的定义域的求解方法直接求解即可.【详解】要使函数有意义，只需满足，解得且，所以函数的定义域是故选：A5.下列说法正确的是（）A.长度一样的两个向量相等 B.平行的两个向量为共线向量C.零向量的大小为0且没有方向 D.方向相反的两个向量互为相反向量【答案】B【解析】【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可.【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误；选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量.零向量与任一向量共线，故B正确；选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误；选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.故选：B.6.如图所示的直线的斜率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图确定直线上的点，再由斜率公式即可求解.【详解】由图可得直线上两个点的坐标，所以直线的斜率，故选：D7.若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积比是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大球的半径为，小球的半径为，根据球的表面积公式得到，再由体积公式计算即可求解.【详解】设大球的半径为，小球的半径为，两个球的表面积之比为，所以，所以，球的体积之比为.故选：D.8.在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（）A.150 B.200 C.250 D.300【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解.【详解】在等比数列中，公比，则有，而，于是得，所以数列的前100项和．故选：B9.已知盒中有10张纸条，分别写着1~10共10个数字，随机抽出一张，则恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的概率是（）A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2【答案】A【解析】【分析】根据古典概率模型直接计算即可.【详解】随机抽出一张，则恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的数有：，共5张，所以，根据古典概型，恰好抽到3的倍数或抽到4的倍数的概率是.故选：A10.已知函数则（）A. B.9 C. D.27【答案】C【解析】【分析】由内到外逐步计算，先求，再将结果代入即可求的值.【详解】由于，故，故.故选：C.11.“为第三象限角或第四象限角”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据象限角的符号和充分必要条件的定义即可求解.【详解】若为第三象限角或第四象限角，则，故充分性成立；若，则为第三象限角或第四象限角或，故必要性不成立；所以“为第三象限角或第四象限角”是“”的充分不必要条件.故选：A12.已知奇函数在上是增函数，且，，则函数在上的最大值是（）A.6 B. C.7 D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的单调性和奇函数的定义进行求解即可.【详解】因为奇函数在上是增函数，所以函数在上也是增函数.所以函数在上的最大值是.故选：B13.已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边过点，，若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义可得，进而可求正切，【详解】因为，所以，由三角函数定义得，两边平方解得，又，故，∴．即．故选：D.14.点与圆的位置关系是（）A.点P圆上 B.点P在圆外C.点P在圆内且不是圆心 D.点P在圆内且是圆心【答案】C【解析】【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案.【详解】圆变为标准方程为，圆心为，半径，所以点P到圆心的距离，所以点P在圆内，且不是圆心.故选：C15.在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二项式系数的性质和展开式通项公式即可求解.【详解】在的二项展开式中，根据二项式系数的性质可知最大的二项式系数是，则二项式系数最大的项是，故选：A.16.现把7名同学分为三个学习小组，若其中的一个小组有3人，其余两个小组各有2人，则所有不同分组方法的种数是（）A.210 B.175 C.105 D.70【答案】C【解析】【分析】结合分步乘法计数原理和组合数方法即可得答案.【详解】由题意可以分三步计算：1.

第一步：从7名同学中选3人组成第一组，选法数为：；2.

第二步：从剩下的4人中选2人组成第二组，选法数为：；3.

第三步：剩下的2人自动组成第三组，选法数为：；因为后两个小组人数都是2人，它们之间没有顺序，所以要除以来消除重复，即总的分组方法有.故选：C17.已知随机变量X的分布列如表所示（其中）：X012P则随机变量X的数学期望等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据随机变量分布列的性质，所有概率之和为，可求解，再进行计算即可.【详解】由题意可得，，解得，所以随机变量X的分布列为：X012P所以.故选：D.18.已知函数的部分图像如图所示，关于该函数有下列说法：①值域是；②最小正周期是；③的值是；④单调增区间是．其中，正确说法的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由图像可得，进而得出值域判断①，根据，求出最小正周期判断②；结合最小正周期得到，再代入特殊值求出判断③，整体法求解函数的单调递增区间判断④.【详解】由图可知，函数最大值为，所以的值域为，所以①正确；由图可知，，所以，所以②正确；因为，所以；由图可知，一条对称轴为，所以，因为，所以，③错误；令，，所以递增区间为，，④错误；故选：B19.已知抛物线的焦点为F，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，由抛物线的定义可得，分析可知，当且仅当、、三点共线时，取最小值，即可得解.【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示：易知，抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义可得，所以，，当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，且最小值为.故选：B20.如图所示，已知三棱锥的各棱长均相等，分别是所在棱，，的中点，有下列说法：①；②平面；③平面；④平面平面．其中，说法正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明逐个分析选项即可.【详解】如图，将三棱锥放入正方体中，以棱作面对角线，以为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为，由题意得，，，，由中点坐标公式得，，，对于①，由题意得，，则，得到，故①正确，对于②，由题意得，，设面的法向量为，则，令，解得，，可得，而，因为平面，所以平面，故②正确，对于③，由题意得，，若平面，则，可得，而不存在这样的使得方程组成立，则平面不成立，故③错误，对于④，由题意得，，设面的法向量为，则，令，解得，，可得，由已知得，而，可得平面平面，故④正确，综上可得，说法正确的个数是3个，故C正确.故选：C卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于______．【答案】4【解析】【分析】由直观图，还原出原图，即可求得答案.【详解】将直观图还原出原图，可得，所以的面积等于.故答案为：422.计划从560袋某品牌食品中抽取8袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1~560，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1个号码段中抽出的编号应是______．【答案】60【解析】【分析】由系统抽样操作步骤即可求解.【详解】由，可知每组70袋，且抽出的编号间距为70，又550为第8组数据，所以第一个号码段抽出的编号为，故答案为：6023.正方形边长为2，、分别是、中点，则______.【答案】4【解析】【分析】首先利用向量加法的几何意义得到，再化简求值即可得到答案.【详解】如图所示：，由，所以，故.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，同时考查向量加法的几何意义，属于简单题.24.若，，则______．【答案】【解析】【分析】根据两角和差的正切公式求解即可.【详解】.故答案为：.25.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若两曲线相交于两点，且线段的中点为，则椭圆的离心率等于______．【答案】##【解析】【分析】利用椭圆性质得到，设，结合条件和在曲线上联立得到等式关系，即可求解.【详解】椭圆的右焦点，抛物线的焦点，焦点重合得，即，设，因为线段的中点为，所以，可得，在抛物线上，故，在椭圆上，故，可得两式联立可得，即，因，故，整理得，解得，因为，故椭圆的离心率等于故答案为：.三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.记等差数列的前n项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；(2)根据等比数列求和公式即可求解．【小问1详解】由题可知，解得，，∴；【小问2详解】∵，∴，∴是首项为3，公比为9的等比数列，∴﹒27.已知正方体，E，F分别是，的中点，如图所示．（1）求与所成角的大小；（2）求证：平面．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用空间向量法来求异面直线所成角的余弦值，从而可求出角的大小；（2）利用空间向量法来证明线线垂直，即可证明线面垂直.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为，则有即，，因为E，F分别是，的中点，所以则，因，，则，则与所成角的大小为；【小问2详解】由，可得，即，，即，又因为平面，所以平面.28.咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10元时，每天可以销售200杯，为提高咖啡加工品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高1元，每天少销售5杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?【答案】每杯咖啡的销售价为25元时，最大销售额是3125元.【解析】【分析】设销售价为元，销售额为元，写出关于的函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设销售价为元，销售额为元，则，当元时，元，所以当每杯咖啡的销售价为25元时，最大销售额是3125元.29.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量，，．（1）若，求证：为等腰三角形；（2）若，，，求的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据向量平行充要条件和正弦定理进行证明；（2）根据向量垂直的充要条件和余弦定理求出的值，再根据三角形的面积公式进行求解.【小问1详解】因为，所以，所以，所以，所以为等腰三角形；【小问2详解】因为，所以，因为，所以，即，又因为，，所以，解得（舍去），所以.30.已知双曲线的焦点在轴上，焦距为8，且渐近线为．（1）求该双曲线的标准方程；（2）若斜率为1的直线与该双曲线交于A，B两点，且以线段为直径的圆过坐标原点．求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设双曲线的标准方