福建省泉州市南安市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年福建省泉州市南安市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列二次根式中的最简二次根式是(

)A.8 B.12 C.12.下列计算正确的是(

)A.5−3=2 B.3.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2+2y=1 B.x3−2x=3 C.4.方程x2−2x−4=0经过配方法化为(x+a)2A.(x−1)2=5 B.(x+1)2=55.如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB//CD//EF，AC=50cm，CE=30cm，BD=45cm，则DF的长为(

)A.27cm B.50cm C.72cm D.80cm6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为(

)A.4cm

B.6cm

C.7cm

D.8cm7.以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为13，若点C的坐标为(4,1)，则点C′的坐标为(

)A.(12,3) B.(−12,3)或(12,−3)

C.(−12,−3) D.(12,3)或(−12,−3)8.如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴MN平行的光线AC经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线AO，经凸透镜折射后传播方向不变，即A′在AO的延长线上，一根长10cm的蜡烛AB，放在三倍焦距处，已知焦距f=10cm，则经过凸透镜成像得到的A′B′的长为(

)A.6cm B.103cm C.4cm 9.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是(

)

A.AB⊥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC10.如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A在第一象限，点B和点C在第二象限，对角线OB的中点为点D，且点D，C在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，若点B的纵坐标为4，且BC：CO=3:1，则A.23+2

B.1+3

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.要使3x−9有意义，则x的取值范围为

.12.若a−bb=35，则a13.若a是方程x2+x−1=0的根，则代数式2024+a2+14.如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片(a>b)，将它对折两次后得到一张小矩形纸片.若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是

.15.根据表格的对应值，由此可判断方程x2+12x−15=0必有一个解x的取值范围是

x−111.11.2x−111314.4115.84x−26−2−0.590.8416.如图，在边长为45的正方形ABCD中，E为BC边上的中点，过点A作DE的垂线分别交DE和BC的延长线于点F，G，点P在线段BG上运动(不与端点重合)，点M，N分别为AP，EF的中点.在点P运动过程中，当BM⊥MN时，BP的长为

.三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：3−818.(本小题8分)

解方程：x2−2x=3.19.(本小题8分)

某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入.设矩形场地的宽EF为x米.

(1)请你写出FN的长为______米.(用含x的代数式表示)

(2)若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽EF.20.(本小题8分)

如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.

(1)求证：△ABF∽△CEB；

(2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．21.(本小题8分)

如图，网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点.图中A，B，C三点都是格点，若A(−3,3)，C(0,−1).

(1)在网格中画出符合要求的直角坐标系，并写出点B的坐标为______；

(2)将△ABC先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到△A′B′C′，在此网格中画出△A′B′C′(点A，B，C分别与点A′，B′，C′对应)，直接写出点C′的坐标为______；

(3)已知点E(0,1)，AC=5，F点是线段A′C′上的一个动点，求出线段EF的最小值.22.(本小题10分)

已知关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2=0.

(1)若方程有实数根，求m的取值范围；

(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足23.(本小题10分)

(1)【新知探究】

对于正数a，b，我们称a+b2为a，b的算术平均数，称ab为a，b的几何平均数.a，b的值a+b2aba=2，b=854a=4，b=444a=6，b=129ma=5，b=13①表格中的m=______；

②根据表格，猜想a+b与2ab的大小关系______；

A.a+b>2ab

B.a+b≥2ab

C.a+b<2ab

D.a+b≤2ab

③当a，b满足条件：______时，a2+b2=2ab；

(2)【理解应用】

①已知16<x<3424.(本小题12分)

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，BD是AC边上的中线.

(1)如图①，延长BD到点E，使得BD=DE，将△BCD绕点B逆时针旋转到△BC′D′，求AD′EC′的值；

(2)如图②，点P是△ABC外的一个动点，且PB=3，PC=6，求PD的最大值.

25.(本小题14分)

在▱ABCD中，AB=5，∠DAB=45∘，点F从点B出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t秒，连接AF.

(1)如图1，当点F在线段BC上时，记△ABF的面积为S，求S与t之间的关系式；

(2)如图2，当点F在BC的延长线上时，过点D作DO⊥AB于点O，OA=2，过点F作FH⊥AB的延长线于点H，HF的延长线交AD的延长线于点G，连接OG，OG=10，点E为线段FG上一点，连接AE.

①求运动时间t的值；

②若∠OGH=2∠GAE，点M在线段AG上，连接ME、MF，MF=5MG，求线段ME的长参考答案一、选择题：1.D

2.B

3.D

4.A

5.A

6.D

7.D

8.D

9.A

10.C

二、填空题：11.x≥3

12.8513.2027

14.a=2b

15.1.1<x<1.2

16.1655三、解答题：17.解：3−8−205+18.解：x2−2x=3，

x2−2x−3=0，

(x−3)(x+1)=0，

19.解：(1)∵矩形场地的宽EF为x米，

∴FN=68−3x+2×2=(72−3x)米，

故答案为：(72−3x).

(2)x(72−3x)=384，

x2−24x+128=0，

解得x=8或x=16，

当x=8时，72−3x=72−3×8=48>36，不符合题意，舍去；

当x=16时，72−3x=72−3×16=24<36，符合题意；

答：宽EF为16米．

20.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AB//CD.

∴∠EFD=∠EBC，∠EDF=∠C，∠ABF=∠DFE，∠AFB=∠DFE.

∴△EDF∽△ECB，△DEF∽△ABF，

∴△ABF∽△CEB.

(2)由(1)得：△EDF∽△ECB.

∵CD=2DE，

∴EDEC=EDED+CD=EDED+2ED=13.

∴S△EDFS△ECB=(13)2=19.

∴S△EDFS△EDF+S21解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．

由图可得，B(−4,0).

故答案为：(−4,0).

(2)如图，△A′B′C′即为所求．

由图可得，点C′的坐标为(3,1).

故答案为：(3,1).

(3)由平移得，A′C′=AC=5，

∵F点是线段A′C′上的一个动点，

∴当EF⊥A′C′时，线段EF取得最小值，

∴S△A′C′E=12×3×4=12×5EF，

解得EF=125，

∴线段EF的最小值为125.

22.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2=0有实数根，

∴Δ=b2−4ac=[2(m−1)]2−4×1×m2≥0，

解得：m≤12，

∴实数m的取值范围为m≤12.

(2)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2=0的两实数根，

∴x1+x223.解：(1)①m=ab=72=62，

故答案为：62；

②根据表格可知a+b2≥ab，

∴a+b≥ab，

故答案为：B；

③∵a2+b2=2ab，

∴a2−2ab+b2=0，即(a−b)2=0，

∴a=b，

故答案为：a=b；

(2)①∵16<x<34，

∴x−16>0，34−x>0，

∴当x−16=34−x时，代数式(x−16)(34−x)取得最大值，

∴x=25，最大值为(25−16)×(34−25)=100；

②在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=8，

∴AC2+BC2=64，

∴AC+BC=(AC+BC)=AC2+BC2+2AC⋅BC=64+2AC⋅BC，

∴当AC⋅BC最大，则AC+BC最大，

∵AC2+BC2=642AC⋅BC≤AC2+BC2，

∴当AC=BC时，AC⋅BC最大，最大值为32，

此时，AC+BC=64+2×32=82

∴△ABC周长的最大值为：8+82.

24.解：(1)∵AB=BC，∠ABC=90∘，BD是AC边上的中线，

∴BD=12AC，∠ABD=∠CBD=45∘，∠BDC=90∘，

∵BD=DE=12BE，

∴AC=BE，

由旋转知△BDC≌△BDC，

∴BD′=BD，∠D′BC′=∠DBC=45∘，BC=BC′，

∴∠ABD′=45∘−∠ABC′，∠EBC′=45∘−∠ABC′，

∴∠ABD′=∠EBC′，

∵△BC′D′、△ABC是等腰直角三角形，

∴BD′AB=BD′BC′=12，BC′BE=BCAC=12，

∴BD′AB=BC′BE

∴△ABD′∽△EBC′，

∴AD′EC′=BD′BC′=12=22；

(2)将△PDB绕着点D逆时针旋转90∘得到对应的△P′DC，如图②，

由旋转知△PDB≌△PD′C，

∴PB=P′C=3，PD=P′D，

∵∠PDP′=90∘

∴△PDP′是等腰直角三角形，

又由勾股定理得PD2+P′D2=P′P2，

∴PD=22P