九年级数学上学期练习kg拔尖专训 6 配方法的应用

拔尖专训6配方法的应用1．【阅读材料】若x2＋y2＋8x－6y＋25＝0，求x，y的值.解：∵x2＋y2＋8x－6y＋25＝0，

∴(x2＋8x＋16)＋(y2－6y＋9)＝0，∴(x＋4)2＋(y－3)2＝0，

∴x＋4＝0，y－3＝0，∴x＝－4，y＝3. 【解决问题】已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2＋c2＝8b＋4c－20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围. 【解】∵b2＋c2＝8b＋4c－20，∴b2＋c2－8b－4c＋20＝0，∴(b2－8b＋16)＋(c2－4c＋4)＝0，∴(b－4)2＋(c－2)2＝0，∴b－4＝0，c－2＝0，∴b＝4，c＝2.又∵a是△ABC中最长的边，∴4≤a<6.2．[2025重庆万州区月考]【项目学习】我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫做完全平方式. 如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个多项式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：当a取何值时，代数式a2＋6a＋8有最小值？最小值是多少？

解：a2＋6a＋8＝a2＋6a＋32－32＋8＝(a＋3)2－1. 因为(a＋3)2≥0，所以a2＋6a＋8≥－1，

因此，当a＝－3时，代数式a2＋6a＋8有最小值，最小值是－1. 【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)当x＝________时，代数式－3(x－1)2＋2有最________(填“大”或“小”)值为________．12大(2)当x＝________时，代数式－2x2＋4x＋3有最________(填“大”或“小”)值为________．15大【拓展提高】

(3)当x，y取何值时，代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25有最小值，最小值为多少？

【解】5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16.∵(2x－y)2≥0，(x＋3)2≥0，∴5x2－4xy＋y2＋6x＋25≥16.∴当2x－y＝0，x＋3＝0，即x＝－3，y＝－6时，代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25有最小值，最小值是16.【升华应用】(4)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是20m的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？(假设墙足够长)【解】设花园与墙垂直的边长为xm，则与墙平行的边长为(20－2x)m，∴花园的面积为x(20－2x)＝－2x2＋20x＝[－2(x－5)2＋50]m2.∵－2(x－5)2≤0，∴－2(x－5)2＋50≤50.∴当x－5＝0，即x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2.答：当花园与墙垂直的边长为5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2.3．[2025岳阳月考]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2＋b2(a，b是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：∵5＝22＋12，∴5是“完美数”．【解决问题】(1)已知29是“完美数”，请将它写成a2＋b2(a，b是整数)的形式；

【解】29＝52＋22.(答案不唯一)

(2)若x2－6x＋13可配方成(x－m)2＋n2(m，n为常数)，则mn＝________；

±6【探究问题】(3)已知x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，求x＋y的值；

【解】∵x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，∴(x2－2x＋1)＋(y2＋4y＋4)＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴x－1＝0，y＋2＝0，解得x＝1，y＝－2，∴x＋y＝1－2＝－1.∴x＋y＝－1.

(4)已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．【解】当k＝13时，S是“完美数”．理由如下：当k＝13时，S＝x2＋4y2＋4x－12y＋13＝x2＋4x＋4＋4y2－12y＋9＝(x＋2)2＋(2y－3)2.∵x，y是整数，∴x＋2，2y－3也是整数．∴S

为“完美数”．4．已知代数式A＝2x2＋5x－3，B＝x2＋x－8.

(1)当x为何值时，代数式A比B的值大2？

【解】根据题意，得(2x2＋5x－3)－(x2＋x－8)＝2，∴2x2＋5x－3－x2－x＋8＝2.∴x2＋4x＝－3.∴x2＋4x＋4＝－3＋4.∴(x＋2)2＝1.∴x1＝－1，x2＝－3，即当x为－1或－3时，代数式A比B的值大2.(2)求证：对于任意x的值，代数式A－B的值恒为正数.【证明】A－B＝(2x2＋5x－3)－(x2＋x－