福建师范大学2021年8月《近世代数》作业考核试题及答案参考1

福建师范大学2021年8月《近世代数》作业考核试题及答案（参考）1.设f(x)在[0，1]上连续，取正值且单调减少，证明

设f(x)在[0，1]上连续，取正值且单调减少，证明

作

(因f(x)单调减少，f(t)-f(x)＞0，0＜t＜α≤x)要证，作辅助函数只要证F(β)＞0，证F(x)＞0即可，这种函数不等式的证明可用微分学方法

2.对于下列修正的Newton公式设f(x*)=0，f(x*)≠0试证明：该方法至少是二阶收敛的

对于下列修正的Newton公式

设f(x*)=0，f(x*)≠0

试证明：该方法至少是二阶收敛的

[证明]

设

因为f(x*)=0

且f'(x*)≠0

所以x*是f(x)=0的单根

所以在xk与xk+f(xk)之间

f(x+f(x))-f(x)=f'(ξ)f(ξ)f(x)

因为

且

所以所以迭代法收敛于x*．

因为

所以

所以修正的Newton法至少二阶收敛．

3.y=y&39;2ey'．

y=y'2ey'．

已解出y；不显含x．令y'=p，有y=p2ep及．解为y=p2ey，x=(p+1)ep+c．另外有解y=0．

4.已知一容器的外表面由y=x2(0≤y≤12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功

已知一容器的外表面由y=x2(0≤y≤12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功？

以y为积分变量，则y的变化范围为[0，12]，相应于[0，12]上的任一小区间[y，y+dy]的一薄层水近似看作高为dy、底面积为πx2=πy的一个圆柱体，得到该部分体积为πydy，水的密度P=1000kg/m3，该部分重力为1000gπydy，把该部分水抽出的移动距离为12-y，因此作功为

.

5.曲线()．(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线．(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

曲线(

)．

(A)没有渐近线

(B)仅有水平渐近线．

(C)仅有铅直渐近线

(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

D直线x=0及y=1分别是该曲线的铅直渐近线与水平渐近线．

6.已知f(x)的一个原函数是sinxlnx，求．

已知f(x)的一个原函数是sinxlnx，求．

答案：f(x)=(sinxlnx)'=cosxlnx+sinx/x

原式=∫(π,1)xdf(x)=xf(x)(π,1)-∫(π,1)f(x)xdx

=x(cosxlnx+sinx/x)(π,1)-sinxlnx(π,1)

=-πlnπ-sin1

7.叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式．

叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式．

8.试证明：设fn(x)是[0，1]上的递增函数(n=1，2，…)，且fn(x)在[0，1]上依测度收敛于f(x)，则在f(x)的连续点x=x0上

试证明：

设fn(x)是[0，1]上的递增函数(n=1，2，…)，且fn(x)在[0，1]上依测度收敛于f(x)，则在f(x)的连续点x=x0上，必有

fn(x0)→f(x0)(n→∞)．

[证明]反证法，假定fn(x0)当n→∞时不收敛于f(x0)，则存在ε0＞0，以及{fnk(x0)}，使得

fnk(x0)≥f(x0)+ε0

或

fnk(x0)≤f(x0)-ε0.

若前一情形成立，则由x0是f的连续点可知，存在δ＞0，使得

f(x)＜f(x0)+ε0/2

(x0≤x＜x0+δ)．

由于fnk(x)≥fnk(x0)≥f(x0)+ε0＞f(x)，故得

m({x∈[0,1]:fnk(x)＞f(x)})≥δ

(k∈N).

但这与fn(x)在[0，1]上依测度收敛于f(x)矛盾．

9.设(X1，X2，…，Xn)是取自正态总体N(μ，1)的一个样本，其中μ未知，-∞＜μ＜+∞．试求kμ+C的双侧1-α置信区间，其中k，C是常

设(X1，X2，…，Xn)是取自正态总体N(μ，1)的一个样本，其中μ未知，-∞＜μ＜+∞．试求kμ+C的双侧1-α置信区间，其中k，C是常数，k＞0．

由于σ已知，选用样本函数的分布

10.设随机变量ξ服从参数为2的指数分布，试证η=1-e-2ξ在区间(0，1)上服从均匀分布．

设随机变量ξ服从参数为2的指数分布，试证η=1-e-2ξ在区间(0，1)上服从均匀分布．

因为ξ服从参数为2的指数分布，则概率密度函数为

分布函数

在x≥0时，y=1-e-2x的反函数是，有

故服从均匀分布．

11.一平面通过点(2，1，0)且与各坐标轴的截距相等，求此平面的方程．

一平面通过点(2，1，0)且与各坐标轴的截距相等，求此平面的方程．

设所求平面在三个坐标轴上的截距为a，则平面的截距式方程为

又因为平面过点(2，1，0)，得a=3，

所以平面方程为

x+y+z-3=0．

12.一个口袋装有许多红色(r)、白色(w)、蓝色（b）的乒乓球，其中任取4个，则观察到的颜色种类的样本空间

一个口袋装有许多红色(r)、白色(w)、蓝色（b）的乒乓球，其中任取4个，则观察到的颜色种类的样本空间为_____________。

参考答案{r,w,b,rw,rb,wb,rwb}

13.证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线．

证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线．

由于向量因此向量平行，即P3位于过P1，P2的直线上，也就是P1，P2，P3三点共线．

14.设y1(x)，y2(x)均为方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解，并且yˊ(x)≠y2(x)．试写出此方程的通解．

设y1(x)，y2(x)均为方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解，并且yˊ(x)≠y2(x)．试写出此方程的通解．

正确答案：因为y1(x)y2(x)均为方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解所以y1(x)－y2(x)为对应齐次方程yˊ＋P(x)y＝0的解．从而y＝c[y1(x)－y2(x)]为齐次方程的通解其中C为任意常数．\r\n因此yˊ＋P(x)y＝Q(x)的通解为y＝c[y1(x)一y2(x)]＋y1(x)．

因为y1(x),y2(x)均为方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解,所以y1(x)－y2(x)为对应齐次方程yˊ＋P(x)y＝0的解．从而y＝c[y1(x)－y2(x)]为齐次方程的通解,其中C为任意常数．因此,yˊ＋P(x)y＝Q(x)的通解为y＝c[y1(x)一y2(x)]＋y1(x)．

15.设F(T)=δ(t-t0)，则傅氏变换F[f(t)]=()A．1B．2πC．eiωt0D．e-iωt0

设F(T)=δ(t-t0)，则傅氏变换F[f(t)]=(

)

A．1

B．2π

C．eiωt0

D．e-iωt0

D

16.设y1，y2是二阶非齐次线性微分方程的两个不同的特解，证明：(1)y1与y2之比不可能是常数；(2)对任何一个常数

设y1，y2是二阶非齐次线性微分方程的两个不同的特解，证明：

(1)y1与y2之比不可能是常数；

(2)对任何一个常数λ，y=λy1+(1-λ)y2是方程的解．

(1)如果y1=ky2，则由题意，常数k≠0，1．从而有

y"1+P(x)y'1+Q(x)y'1=f(x)

以及

y"1+P(x)y'1+Q(x)y1=(ky2)"+P(x)(ky2)'+Q(x)(ky2)=kf(x)．

于是就有kf(x)=f(x)，但f(x)≠0，此式不可能成立，所以y1与y2之比不可能是常数．

(2)将y=λy1+(1-λ)y2代入方程的左端，得到

[λy1+(1-λ)y2]"+P(x)[λy1+(1-λ)y2]'+Q(x)[λy1+(1-λ)y2]

=λ[y"1+P(x)y'1+Q(x)y1]+(1-λ)[y"2+p(x)y'2+Q(x)y2]

=λf(x)+(1-λ)f(x)=f(x)．

因此，对一切常数λ，y=λy1+(1-λ)．y2也是线性微分方程的解．

17.设z=f(x，y)二次连续可微，且试证对任意的常数C，由方程f(x，y)=C决定的隐函数为一直线的充要条件是

设z=f(x，y)二次连续可微，且试证对任意的常数C，由方程f(x，y)=C决定的隐函数为一直线的充要条件是

由f(x，y)=C决定了隐函数y=y(x)，且

则

显然y=y(x)，即f(x，y)=C为直线的充要条件是．由我们刚才推导的式子可知等价于

18.设f(x)在[a，＋∞)上连续，且当x＞a时，f&39;(x)＞k＞0．其中k为常数．若f(a)＜0，则方程f(x)=0在内有且仅有一个实根．

设f(x)在[a，+∞)上连续，且当x＞a时，f'(x)＞k＞0．其中k为常数．若f(a)＜0，则方程f(x)=0在内有且仅有一个实根．

利用微分中值定理可得，ξ∈(a，af(a)

k

)，使得f(a?f(a)

k

)-f（a）=f′（ξ）(?f(a)

k

)．因为当x＞a时，f′（x0）＞k＞0，故

f(af(a)

k

)-f（a）=f′（ξ）?(?f(a)

k

)＞k?(?f(a)

k

)=-f（a），从而，f(af(a)

k

)＞0．又因为f（a）＜0，且f（x）在[a，+∞）上连续，故利用连续函数的零点存在定理可得，η∈(a，a(a)

k

)，使得f（η）=0．下面证明η的唯一性．如果存在η1≠η2，使得f（η1）=f（η2）=0，利用罗尔中值定理可得，?ξ∈(a，af(a)

k

)，使得f′（ξ）=0，这与f′（x）＞k＞0

（x＞a）

矛盾，故方程f（x）=0在区间(a，a?f(a)

k

)内有且仅有一个根．

19.已知连续型随机变量X的概率密度为则概率P{-1＜X＜1)=______．

已知连续型随机变量X的概率密度为

则概率P{-1＜X＜1)=______．

1-e-1≈0.6321根据计算概率公式，因此概率

P{-1＜X＜1}

=1-e-1≈0.6321

于是应将“1-e-1≈0.6321”直接填在空内．

20.列出多重集S={2·a，1·b，3·c}的所有3-组合和4-组合。

列出多重集S={2·a，1·b，3·c}的所有3-组合和4-组合。

3-组合包括：{2·a，1·b}，{2·a，1·c}，{1·a，1·b，1·c}，{1·a，2·c}，{1·b，2·c}，{3·c}。

4-组合包括：{2·a，1·b，1·c}，{2·a，2·c}，{1·b，3·c}，{1·a，1·b，2·c}，{1·a，3·c}。

21.设随机变量X满足E(X)=3，D(X)=5，求E(X+2)2．

设随机变量X满足E(X)=3，D(X)=5，求E(X+2)2．

E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4

=[D(X)+E2(X)]+4E(X)+4=30

22.已知微分方程y&39;+P(x)y=Q(x)有两个特解，，求满足条件的P(x)，Q(x)，并给出方程的通解．

已知微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个特解，，求满足条件的P(x)，Q(x)，并给出方程的通解．

由，代入原微分方程，有

由，代入原微分方程，有

所以

从而可得，

即原微分方程为

由一阶非齐次线性微分方程通解公式，得

即原微分方程的通解为

(C为任意常数)．

23.设R是自然数集N上的关系且满足xRy当且仅当x+2y=10，其中，+为普通加法，计算以下各题．

设R是自然数集N上的关系且满足xRy当且仅当x+2y=10，其中，+为普通加法，计算以下各题．

R={〈0，5〉，〈2，4〉，〈4，3〉，〈6，2〉，〈8，1〉，〈10，0〉}，则

domR={0，2，4，6，8，10}．$ranR{0，1，2，3，4，5}．$R-1={〈5，0〉，〈4，2〉，〈3，4〉，〈2，6〉，〈1，8〉，〈0，10〉}．

24.与对合矩阵相似的矩阵仍是对合矩阵．

与对合矩阵相似的矩阵仍是对合矩阵．

正确答案：设A为对合矩阵即A2=IB与A相似则存在可逆矩阵P使得B=P-1AP由课本命题1可得B2=P-1A2P=P-1IP=I即B2=I．故B仍然是对合矩阵．

设A为对合矩阵,即A2=I,B与A相似,则存在可逆矩阵P使得B=P-1AP由课本命题1可得B2=P-1A2P=P-1IP=I,即B2=I．故B仍然是对合矩阵．

25.在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?

在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?

y'=3x2曲线y=x3上点(x，y)处切线斜率k=3x2；

曲线y=x3上点(x，y)处法线斜率．

直线y-12x-1=0的斜率k1=12．

今3x2=12x2=4x=±2．

在曲线y=x3上点(-2，-8)和点(2，8)处的切线平行于

直线y-12x-1=0．

直线y+12x-1=0的斜率k2=-12．

令．

在曲线y=x3上点和点处的法线平行于

直线y+12x-1=0．

26.线性方程组都可用克莱姆规则求解。()

线性方程组都可用克莱姆规则求解。(

)

参考答案：错误

错误

27.符号化下列命题，并推证其结论．

符号化下列命题，并推证其结论．

令R(x)：x是实数；Q(x)：x是有理数；I(x)：x是整数．命题符号化为

(x)(Q(x)→R(x))∧(x)(Q(x)∧I(x))(x)(R(x)∧I(x))．

①(x)(Q(x)∧I(x))

P

②Q(c)∧I(c)

①ES

③(x)(Q(x)→R(x))

P

④Q(c)→R(c)

③US

⑤Q(c)

②T，I

⑥R(c)

④⑤T，I

⑦I(c)

②T，I

⑧R(c)∧I(c)

⑥⑦T，I

⑨(x)(R(x)∧I(x))

⑧EG$令P(x)：x喜欢步行；Q(x)：x喜欢乘汽车；R(x)：x喜欢骑自行车．命题符号化为

(x)(P(x)→￢Q(x))，(x)(Q(x)∨R(x))，(x)￢R(x)(x)￢P(x)．

①(x)￢R(x)

P

②￢R(c)

①ES

③(x)(Q(x)∨R(x))

P

④Q(c)∨R(c)

③US

⑤Q(c)

②④T，I

⑥(x)(P(x)→￢Q(x))

P

⑦P(c)→￢Q(c)

⑥US

⑧￢P(c)

⑤⑦T，I

⑨(x)]P(x)

⑧EG$令G(x)：x是大学生；L(x)：x是文科学生；P(x)：x是理工科学生；S(x)：x是优秀生；c：小张．命题符号化为

(x)(G(x)→L(x)∨P(x))，(x)(G(x)∧S(x))，￢P(c)，S(c)G(c)→L(c)．

①G(c)

P(附加前提)

②(x)(G(x)→L(x)∨P(x))