晋中市重点中学2026届数学高二上期末考试试题含解析

晋中市重点中学2026届数学高二上期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列中，，()，则等于（）A. B.C. D.22．设函数是奇函数的导函数，且，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.3．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（）A.或 B.C. D.4．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知，则条件“”是条件“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.6．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为B.当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24C.当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线D.在C上存在点M，使得7．已知等比数列的前n项和为，且，则（）A.20 B.30C.40 D.508．已知，为双曲线：的焦点，为，（其中为双曲线半焦距），与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.9．设为数列的前n项和，，且满足，若，则（）A.2 B.3C.4 D.510．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）A. B.C. D.11．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（）A.事件“”的概率为 B.事件“t是奇数”与“”互为对立事件C.事件“”与“”互为互斥事件 D.事件“且”的概率为12．椭圆的长轴长是（）A.3 B.6C.9 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为_____________.14．已知数列中，.若为等差数列，则______.15．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.16．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，则直线AD1与B1D所成角的余弦值为__.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设曲线在点（1，0）处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）求证：；（3）当，求a的取值范围.18．（12分）已知函数（…是自然对数的底数）.（1）求的单调区间；（2）求函数的零点的个数.19．（12分）已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.（1）求的方程；（2）为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B，C为E上两个不同的点，其中B点在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四边形AOBC的面积.20．（12分）某企业计划新购买台设备，并将购买的设备分配给名年龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且关于的线性回归方程为（1）试预测一名年龄为岁的技工使用该设备所产生的经济效益；（2）试根据的值判断使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强弱（，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性不强）；（3）若这批设备有两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是，.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若两道工序都出现故障，则生产成本增加万元.求这批设备增加的生产成本的期望参考数据：，参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，.21．（12分）已知函数（1）若，求曲线在处的切线方程（2）讨论函数的单调性22．（10分）在中内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（1）求角A（2）若，，求的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由已知条件可得，，…，即是周期为3的数列，即可求.【详解】由题设，知：，，，…，∴是周期为3的数列，而的余数为1，∴.故选：D.2、D【解析】设，则，分析可得为偶函数且，求出的导数，分析可得在上为减函数，进而分析可得上，，在上，，结合函数的奇偶性可得上，，在上，，又由即，则有或，据此分析可得答案【详解】根据题意，设，则，若奇函数，则，则有，即函数为偶函数，又由，则，则，，又由当时，，则在上为减函数，又由，则在上，，在上，，又由为偶函数，则在上，，在上，，即，则有或，故或，即不等式的解集为；故选：D3、A【解析】根据双曲线标准方程的性质，列出关于不等式，求解即可得到答案【详解】由双曲线的性质：，解的或，故选：A4、A【解析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围.【详解】任取，，即函数在上单调递减，若，使得，则即故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：(1)，，使得成立等价于(2)，，不等式恒成立等价于(3)，，使得成立等价于(4)，，使得成立等价于5、A【解析】若命题，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件【详解】因为，所以，所以.故选：A6、C【解析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假【详解】对A，由可得，化简得，即，A错误；对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；对C，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误故选：C7、B【解析】利用等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，则，由得，即，解得或（舍），且代入①得，则，所以.故选：B.8、B【解析】根据求得的关系，结合双曲线的定义以及勾股定理，即可求得的等量关系，再求离心率即可.【详解】根据题意，连接，作图如下：显然为直角三角形，又，又点在双曲线上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故双曲线的离心率为.故选：B.9、B【解析】由已知条件可得数列为首项为2，公差为2的等差数列，然后根据结合等差数列的求和公式可求得答案【详解】在等式中，令，可得，所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，因为，所以，化简得，，解得或（舍去），故选：B10、B【解析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.【详解】解：由题得,,故选：B11、D【解析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”有共9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D12、B【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求导，求出切线斜率，进而写出切线方程.【详解】，则，故切斜方程为：，即故答案为：14、【解析】利用等差中项求解即可【详解】由为等差数列，则，解得故答案为：15、【解析】由题意可得在R上单调递增，再由，利用函数的单调性转化为关于的不等式求解【详解】定义在R上的函数的导函数，在R上单调递增，由，得，即实数的取值范围为故答案为：16、【解析】以为原点，所在直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，的坐标，由向量夹角公式可得答案.【详解】以为原点，所在直线为轴的正方向建立如图的坐标系，∵AB＝BC＝2，CC1＝1，∴，，，，则，，则，，则cos＜，＞＝＝，即AD1与B1D所成角的余弦值为，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1）求导，根据导数的几何意义，令x=1处的切线的斜率等1，结合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的结论，构造函数，求求导数，判断单调性，求出最小值即可证明；（3）根据条件构造函数，求出其导数，分类讨论导数的值的情况，根据单调性，判断函数的最小值情况，即可求得答案.【小问1详解】由题意知：，因为曲线在点（1，0）处的切线方程为，故，即；【小问2详解】证明：由（1）知：，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，也即最小值，最小值为，故，即成立；【小问3详解】当，即，（），设，（），则，当时，由得，此时，此时在时单调递增，，适合题意；当时，，此时在时单调递增，，适合题意；当时，，此时，此时在时单调递增，，适合题意；当时，，此时在内，，在内，，故，显然时，，不满足当恒成立，综上述：.18、（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）时函数没有零点；或时函数有且只有一个零点；时，函数有两个零点.【解析】（1）先对函数求导，然后分和两种情况判断导函数正负，求其单调区间；（2）由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，从而可得答案【详解】（1）因为，所以，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令，得；令，得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）显然0不是函数的零点，由，得.令，则.或时，，时，，所以在和上都是减函数，在上是增函数，时取极小值，又当时，.所以时，关于的方程无解，或时关于的方程只有一个解，时，关于的方程有两个不同解.因此，时函数没有零点，或时函数有且只有一个零点，时，函数有两个零点.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数判断函数的零点，解题的关键是由，得，构造函数，然后利用导数求出其单调区间和极值，画出此函数的图像，再判断图像与直线的交点情况，考查数形结合的思想，属于中档题19、（1）（2）【解析】（1）根据题意，结合抛物线定义，可求得，即得抛物线方程；（2）由题意推出四边形AOBC是菱形.，设，根据抛物线的对称性，可表示出B,C的坐标，从而利用向量的坐标运算，求得所设参数值，进而求得答案.【小问1详解】的准线为：，作于R，根据抛物线的定义有，所以，因为在的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，取得最小值，此时，解得，所以的方程为.小问2详解】因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.由，得轴，设点，则，由抛物线的对称性知，，，.由，得，解得,所以在菱形中，，边上的高，所以菱形的面积.20、（1）元；（2）使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强；（3）0.13万元.【解析】（1）直接把代入线性回归方程即得解；（2）先求出，再代公式求出相关系数比较即得解；（3）设增加的生产成本为ξ（万元），则ξ的可能取值为0，2，3，5，求出对应的概率即得解.小问1详解】解：当时，.所以预测一名年龄为岁的技工使用该设备所产生的经济效益为元.【小问2详解】解：由题得，所以，所以.因为，所以与线性相关性很强.所以使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强.【小问3详解】解：设增加的生产成本为ξ（万元），则ξ的可能取值为0，2，3，5P（ξ＝0）＝（1﹣0.02）×（1﹣0.03）＝0.9506，P（ξ＝2）＝0.02×（1﹣0.03）＝0.0194，P（ξ＝3）＝（1﹣0.02）×0.03＝0.0294，P（ξ＝5）＝0.02×0.03＝0.0006所以Eξ＝0×0.9506+2×0.0194+3×0.0294+5×0.0006＝0.13（万元），所以这批设备增加的生产成本的期望为0.13万元.21、（1）（2）答案见解析【解析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点可得切线方程；（2）求导后，分别在、和的情况下，根据的正负可