北师大版高中数学2026年选拔测试题

北师大版高中数学2026年选拔测试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：北师大版高中数学2026年选拔测试题考核对象：高中学生题型分值分布-单选题（10题，每题2分）总分20分-填空题（10题，每题2分）总分20分-判断题（10题，每题2分）总分20分-简答题（3题，每题4分）总分12分-应用题（2题，每题9分）总分18分总分：100分一、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是（）A.πB.2πC.3πD.4π2.若复数z=1+i满足|z|=|z+2|，则z的模长为（）A.1B.√2C.√3D.23.抛掷两个均匀的六面骰子，点数之和为7的概率是（）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/364.已知函数g(x)=x³-3x+1，则g(x)在x=1处的切线斜率是（）A.-1B.0C.1D.35.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的余弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√6/46.不等式|2x-1|<3的解集是（）A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-2,4)7.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a与b的夹角余弦值是（）A.-1/5B.1/5C.3/√10D.-3/√108.某几何体的三视图如右图所示，该几何体是（）A.正方体B.长方体C.圆锥D.球体9.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅的值是（）A.31B.63C.127D.25510.若直线y=kx+1与圆(x-1)²+y²=4相切，则k的值是（）A.±√3B.±1C.±√2D.±2二、填空题（每题2分，共20分）1.若tan(α)=√3，则sin(2α)的值是__________。2.已知点A(1,2)和B(3,0)，则向量AB的坐标是__________。3.函数f(x)=log₃(x+1)的导数f'(x)是__________。4.在等差数列{aₙ}中，若a₃=5，a₅=9，则公差d是__________。5.已知圆心为O，半径为r的圆上一点P的坐标是(1,√3)，则∠POC（C为圆上另一点）的度数是__________。6.不等式组{x|-1<x<2}∩{x|x≥0}的解集是__________。7.已知抛物线y²=4x的焦点坐标是__________。8.若sin(α+β)=1/2，cos(α-β)=√3/2，且α∈(0,π/2)，则sin(β)的值是__________。9.已知某校高三年级男生身高服从正态分布N(170,10²)，则身高超过180cm的男生比例约为__________。10.若函数f(x)=x²-ax+1在x=1处取得极值，则a的值是__________。三、判断题（每题2分，共20分）1.若a²=b²，则a=b。（）2.函数y=sin(x)+cos(x)的最大值是√2。（）3.在△ABC中，若a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。（）4.复数z=a+bi的模长|z|=a²+b²。（）5.数列{aₙ}是等比数列的充要条件是存在常数q，使得aₙ₊₁=aₙq。（）6.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上连续。（）7.圆(x-1)²+(y+2)²=4的圆心坐标是(1,-2)。（）8.向量a=(1,0)与向量b=(0,1)是线性无关的。（）9.若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）10.函数f(x)=e^x在定义域内处处可导。（）四、简答题（每题4分，共12分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。2.已知向量a=(2,1)，b=(-1,3)，求向量a与b的向量积（叉积）。3.解不等式组：{x²-4x+3>0x-1<0}五、应用题（每题9分，共18分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元。若销售量x件时，利润y（万元）满足y=-x²+40x-10，求该工厂的盈亏平衡点（即销售量x的值）。2.在△ABC中，已知边长a=3，b=√7，角C=60°，求：（1）边长c的值；（2）角A的正弦值。标准答案及解析一、单选题1.B（sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π）2.B（|z|=|z+2|⇒|1+i|=|3+i|⇒√2=√10⇒z模长为√2）3.A（点数和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，概率1/6）4.C（g'(x)=3x²-3，g'(1)=3-3=1）5.D（角C=180°-60°-45°=75°，cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=√6/4）6.D（|2x-1|<3⇒-3<2x-1<3⇒-1<x<2）7.B（cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1×3+2×(-1))/√5√10=1/5）8.B（根据三视图可知为长方体）9.C（递推变形：aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)⇒{aₙ+1}是首项为2，公比为2的等比数列，a₅+1=2⁴=16⇒a₅=15）10.A（圆心(1,0)，半径2，相切条件：|k|/√(1+k²)=2⇒k²=3）二、填空题1.√3/2（sin2α=2sinαcosα=2tanα/csc²α=2√3/4=√3/2）2.(2,-2)3.1/(x+1)4.25.60°（cos∠POC=(1×1+√3×√3)/(1×1+√3×√3)=1/2）6.[0,2)7.(1,0)8.1/4（sin(α+β)=1/2⇒α+β=5π/6，cos(α-β)=√3/2⇒α-β=π/6⇒β=π/3，sin(π/3)=√3/2，但需验证α∈(0,π/2)⇒β∈(π/6,π/2)矛盾，重新计算：α=π/3，β=π/6，sin(π/6)=1/2）9.0.1587（正态分布P(X>180)=P(Z>1)=1-0.8413）10.2（f'(x)=2x-a，f'(1)=2-a=0⇒a=2）三、判断题1.×（a=±b）2.√3.√4.√5.√6.×（单调递增不保证连续，如阶梯函数）7.√8.√9.√10.√四、简答题1.解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，驻点x=0,2。f(-1)=8，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=3。最大值8，最小值-2。2.向量积：a×b=(2×3-1×(-1))=(7,-3)。3.解：x²-4x+3>0⇒(x-1)(x-3)>0⇒x∈(-∞,1)∪(3,∞)，x-1<0⇒x<1。解集：(-∞,1)。五、应用题1.盈亏平衡点：y≥0⇒-x²+40x-10≥0⇒x²-40x+10≤0。解：x=[40±√(1600-40)]/2=[40±√1560]/2