天津市河东区香山道中学2025-2026学年上学期第三次月考九年级数学试卷（含答案）

2025-2026学年上学期第三次月考九年级数学试卷一．选择题（每小题3分，满分36分）1．在平面直角坐标系中，若点P（m，2）与Q（﹣3，n）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第三象限 B．第四象限 C．第二象限 D．第一象限2．方程2x2﹣1＝4x的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（）A．2，﹣1，4 B．4，2，﹣1 C．2，﹣4，﹣1 D．2，4，﹣13．下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播放云南新闻”是必然事件 B．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨 C．数据“6，8，7，5，8”的中位数是7，众数也是7 D．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定4．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝﹣ax2+3x﹣c与y＝2x2﹣3x﹣c+a关于x轴对称，则a+2c的值为（）A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣15．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．中国探火CMEP B．中国探月CLEP C．中国行星探测MARS D．中国火箭CHINAROCKET6．如图，在⊙O中，OA，OB为⊙O半径，点C在优弧AB上，∠AOB＝110°，则∠ACB＝（）A．40° B．55° C．70° D．110°7．将一次函数y＝﹣x﹣2的图象绕它与y轴的交点顺时针旋转90°后所得到的直线表达式为（）A．y＝﹣x﹣2 B．y＝﹣x+2 C．y＝x﹣2 D．y＝x+28．已知点（﹣1，y1），（−72，y2），（0.5，y3）在函数y＝3x2+6x+12的图象上，则y1，y2，yA．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y39．下列方程没有实数根的是（）A．x2+2x＝0B．﹣2x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣x+3＝0 D．4x2﹣3x﹣2＝010．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转后得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E，点B恰好在AE边上，且点D在CB的延长线上，连接CE，若∠ABC＝110°，则下列结论一定正确的是（）A．DE＝CE B．CE⊥DE C．旋转角是70° D．DE∥AC11．如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱圆弧所在圆的半径OA为（）A．20m B．12m C．10m D．8m12．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中正确的是（）A．ac＞0 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．a﹣b+c＝0 D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2二．填空题（每小题3分，满分18分）13．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s．司机A随机地由南往北开车到达该路口，问：他遇到绿灯的概率是14．已知m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则代数式2m2+3n2﹣n﹣2的值是．15．在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了56个红包，设这个微信群共有x人，则可列方程为．16．已知点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（7，y3）均在二次函数y＝﹣x2+8x+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是．（用“＞”连接）17．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足在CD的延长线上，AD＝1．（Ⅰ）AC的长为；（Ⅱ）线段BE长度的平方为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均为格点，以A为圆心，AC长为半径的圆交AB于点E．（Ⅰ）线段AB的长为；（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P（点P，C在AB的两侧），使其满足PA＝BA，PE＝BC．并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）三．解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解方程：（1）2x2+7x+4＝0（配方法）；（2）5x（x﹣3）＝3﹣x．20．（8分）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表：分数/分80859095人数/人42104根据图形信息，解答下列问题：（1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图；（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是分，众数是分；（3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+6．（1）请用配方法将y＝﹣2x2+4x+6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出对称轴；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出y＝﹣2x2+4x+6的图象；（3）该抛物线沿x轴向左或向右平移m（m＞0）个单位长度后经过原点，求m的值．22．（10分）如图，⊙O为△ABD的外接圆，点C在⊙O上，AB为⊙O的直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥CB交CB的延长线于点E．（1）求证：∠ABD＝∠DBE；（2）连接CD，若CE＝8，BE＝2，求DE的长．23．（10分）某网店在“双十一”购物节期间搞降价促销活动，某纪念品原售价每件50元，进货价每件40元．（1）若连续两次降价后，该纪念品的售价为每件32元，且每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．（2）已知“双十一”购物节期间，该纪念品按原价销售，每天可售出40件．经市场调查发现，若每件降价1元，日销售量将增加20件．问每件应降价多少元才能使每天获得的利润最大？24．（10分）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC的中点．特例感知：（1）如图1，当点P在线段AO上时，请你直接写出线段PE与PD的关系；类比迁移：（2）如图2，当点P在线段OC上运动时（点P不与点O、C重合），请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；探索发展：（3）如图2，请你猜想线段AB、PB、CE之间有何数量关系，并证明你的结论．25．（10分）已知二次函数y＝x2+2bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当c＝5时，若二次函数图象的对称轴为直线x＝2，求该二次函数的最小值；（Ⅱ）当﹣b≤x≤1时，函数的最小值为﹣b，最大值为1，求b的值；（Ⅲ）若二次函数图象的顶点在y轴上，当m≤x≤n时，m≤y≤n，且y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，求c的取值范围．参考答案一．选择题1．B．2．C．3．D．4．C．5．D．6．B．7．C．8．C．9．C．10．A．11．C．12．C．二．填空题13．6010314．10．15．x（x﹣1）＝56．16．y3＞y1＞y2．17．（Ⅰ）2+1．（Ⅱ）2+18．（Ⅰ）5；（Ⅱ）如图，点P即为所求，方法：取格点T，作直线ET，取格点J，连接CJ交⊙A于点K，连接AK，延长AK交直线ET于点P，点P即为所求．三．解答题19．解：（1）2x2+7x+4＝0，2x2+7x＝﹣4，x2x2(x+7x+7解得：x1=−7（2）5x（x﹣3）＝3﹣x，5x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，5x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，（5x+1）（x﹣3）＝0，5x+1＝0，x﹣3＝0，解得：x1=−15，20．解：（1）本次获奖人数有：20÷10%＝200（人），则获得“秦九韶奖”的人数有200×46%＝92（人）．则刘徽奖的人数为200×（1﹣24%﹣46%﹣10%）＝40（人），补全条形统计图如解图所示：（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分；故答案为：90，90；（3）树状图如图所示，∵从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）．∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是21221．解：（1）y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x2﹣2x）+6＝﹣2（x2﹣2x+1）+6+2＝﹣2（x﹣1）2+8对称轴为：x＝1；（2）当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝3或x＝﹣1，所以该图象经过点（0，6），（﹣1，0），（3，0）；（3）∵y＝﹣2x2+4x+6经过点（﹣1，0），（3，0），∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点，∴m＝1或3．22．（1）证明：如图，连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥CB，∴OD∥CB，∴∠DBE＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DBE＝∠ABD；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵DE⊥CB，∴∠BDE+∠DBE＝90°，∴∠BAD＝∠BDE，由圆周角定理得：∠BAD＝∠DCE，∴∠BDE＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△BDE∽△DCE，∴BEDE=DE解得：DE＝4（负值舍去），答：DE的长为4．23．解：（1）由题意，设每次下降的百分率为x，依题意得：50（1﹣x）2＝32，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去），∴每次下降的百分率为20%．答：每次下降的百分率为20%．（2）由题意，设件应降价a元，每天获得的利润为y，则y＝（10﹣a）（40+20a）＝﹣20a2+160a+400＝﹣20（a2+8a+16）+720＝﹣20（a﹣4）2+720．∵﹣20＜0，∴当a＝4时，每天的获得的利润最大，最大值为720元．答：每件应降价4元才能使每天获得的利润最大．24．解：（1）PE⊥PD且PE＝PD，理由如下：如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，又∵PC＝PC，∴△BCP≌△DCP（SAS）．∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC，又∵PE＝PB，∴PD＝PE，∠PBC＝∠PEB，∴∠PEB＝∠PDC．∴∠PEC+∠PDC＝180°．由四边形PECD内角和为360°，∴∠DPE+∠DCE＝180°，∵∠DCE＝90°，∴∠DPE＝90°，∴PE⊥PD且PE＝PD；（2）仍然成立，理由如下：四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA＝DA，∠BAP＝∠DAP＝45°，∵PA＝PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB＝PD，又∵PB＝PE，∴PE＝PD，（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD，（ii）当点E在BC的延长线上时，如图，∵△BAP≌△DAP，∴∠ABP＝∠ADP，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠CDP＝∠CBP，∵BP＝PE，∴∠CBP＝∠PEC，∴∠PEC＝∠PDC，∵∠1＝∠2，∴∠DPE＝∠DCE＝90°，∴PE⊥PD，综上，PD＝PE，PD⊥PE仍然成立．（3）AB2+CE2＝2PB2，理由如下：如图2，连接DE，由（2）可得PE＝PD，PE⊥PD，∴DE2＝PD2+PE2＝2PE2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠BCD＝∠DCE＝90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，∴AB2+CE2＝DE2＝2PE2，又∵PE＝PB，∴AB2+CE2＝2PB2．25．解：（Ⅰ）当c＝5时，则y＝x2+2bx+5，∵二次函数图象的对称轴为直线x＝2，∴−2b∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣4x+5，∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∵a＝1＞0，∴x＝2时，该二次函数有最小值为1；（Ⅱ）∵y＝x2+2bx+c（b，c为常数），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−2b2×1∴当x≥﹣b时，y随x的增大而增大，∵当﹣b≤x≤1时，函数的最小值为﹣b，最大值为1，∴x＝﹣b时，y＝b2﹣2b2+c＝﹣b；x＝1时，y＝1+2b+c＝1，