数字信号处理性能函数

数字信号处理3.2.3最陡下降法3.2.2性能函数表示式及其几何意义第1页

3.2.2性能函数表示式及其几何意义自适应滤波器分析研究中，性能函数是一个主要函数下面我们推导它其它表示方法以及几何意义。将(3.2.14)式代入(3.2.8)式，能够用最小均方误差表示性能函数，推导以下：为表示方便，令ζ=E［e2j］,则第2页将(3.2.12)式代入上式，得到

令V=W-W*=［v1,v2,…,vN］T

V称为偏差权向量，它表示权向量对最正确权向量偏差。这么性能函数：

(3.2.15)

(3.2.16)(3.2.17)

第3页因为Rxx是对称，正定或半正定，利用它特征值和特征向量再深入简化，假设Rxx是N×N维，它N个特征值为：λ1,λ2,…,λN，将Rxx进行分解，得Rxx=QTΛQ,Λ=QTRxxQ

经过调整使Q归一化，即

(3.2.18)(3.2.19)(3.2.20)第4页式中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，qi称为特征向量，满足下式：Λ是由特征值组成对角矩阵，用下式表示：

将(3.2.18)式代入(3.2.17)式，得到

令

(3.2.21)(3.2.22)(3.2.23)(3.2.24)第5页则

(3.2.25)

上式将性能函数变成了平方和形式。观察(3.2.24)式，该式将V坐标中Rxx特征向量变成了V′坐标中单位向量。(3.2.26)也就是说，qi′为V′坐标中第i个单位向量，qi′亦是Λ矩阵对应于λi特征向量。第6页下面用二维权矢量情况说明它几何意义。对于二维权矢量情况，有下面公式：

第7页图3.2.5二维权矢量性能表面

第8页图3.2.6等均方误差椭圆曲线族第9页按照(3.2.17)式，有

或

当c=ζmin时，对应椭圆中心，V=W-W*,则相当于W坐标平移到V坐标原点，即V坐标原点对应W坐标最正确点W*。这里,v1v2不是椭圆主轴。但经过对Rxx分解：

且V′=QTV将性能函数椭圆族(按照(3.2.25)式)变成

第10页即

或者

显然，上式是一个椭圆方程，v1′和v2′是椭圆族主轴，假如λ1＜λ2,则v1′是长轴，v2′是短轴。所以(3.2.24)式起坐标旋转作用，将v1v2旋转到主轴上，形成v1′v2′主轴。对于维数N＞2情况，长轴对应最小特征值，按照上面椭圆方程长轴正比于 ；短轴对应于最大特征值，正比于 。

(3.2.27)第11页3.2.3最陡下降法

1.最陡下降法递推公式

将(3.2.11)式代入(3.2.29)式，得到

在上式两边都减去W*,并令Vj=Wj-W*,得到

Vj+1=［I-2μRxx］Vj

因为［·］项不是对角矩阵，计算与分析均复杂。(3.2.30)(3.2.31)(3.2.32)(3.2.29)第12页(3.2.33)此时，［·］项已变成对角矩阵，假设起始值是V0′，可得到上式递推解为(3.2.34)第13页再将(3.2.24)式代入，再经过坐标平移，即代入Vj=Wj-W*式，最终得到权系数递推公式：

(3.2.35)上面递推公式中，［·］部分已变成对角矩阵，这使分析与研究自适应特征变得简单了。第14页

2.收敛条件由最陡下降法递推公式不难分析出它收敛条件，即当迭代次数j趋于∞时，权系数收敛最正确时条件。按照上式，显然只有当(3.2.36)(3.2.37)满足时，才能得到： 。(3.2.37)式即是最陡下降法收敛条件，式中λmax是Rxx最大特征值。(3.2.36)式中0表示0矢量。

第15页

3.过渡过程

过渡过程是指权矢量和性能函数由起始点随迭代次数增加，进行改变过程。权矢量过渡过程：按照(3.2.34)式，权矢量递推解是第i个权系数递推方程是

(3.2.38)令

(3.2.39)第16页将上式代入(3.2.38)式，得到

(3.2.40)上式说明第i个分量vi′按指数规律改变，其时常数为

i=1,2,3,…,N(3.2.41)因为普通μ取得比较小，能够近似为

i=1,2,3,…,N(3.2.42)第17页因为

所以

再将(3.2.40)式代入，得到

(3.2.43)第18页(3.2.44)式中

(3.2.45)上式说明第i个加权系数按照N个指数和规律改变，由初始值收敛到最正确值，其时常数与特征值成反比。下面分析性能函数过渡过程。按照(3.2.25)式，性能函数以下式：

(3.2.46)将(3.2.40)式代入，得到

(3.2.47)第19页上式说明性能函数也是按N个指数和规律改变，和加权系数过渡过程不一样是时间常数不同，它时常数为

(3.2.48)我们已经知道，性能函数和各个加权系数都是按照N个含有不一样时常数指数和规律改变，时常数和特征值成反比，不一样特征值对应收敛时间是不一样，但最终收敛要取决于最慢指数过程，它时常数最大，对应最小特征值，公式以下：

(3.2.49)(3.2.50)第20页但为确保收敛，μ不能取得太大，受限于最大特征值λmax。这么，假如特征值比较分散时，即λmax和λmin相差很大时，使最陡下降法收敛性能很差。下面分析μ值影响。

μ值收敛过程影响很大，首先必须选择得足够小，使之满足收敛条件：但按照(3.2.47)、(3.2.48)式，它影响收敛速度。普通希望在确保