安徽省池州市多校2025~2026学年高二上学期第三次教学质量检测数学试题

～学年度第一学期第三次教学质量检测高二数学考试时间：分钟满分：分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.对于直线，下列选项正确的是（）A.直线倾斜角为B.直线经过第四象限C.直线在轴上的截距为D.直线的一个方向向量为【答案】D【解析】【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D.【详解】设直线的倾斜角为，，对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误；第1页/共21页对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为，所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误；对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误；对于D，当时，，即直线过点，则，所以直线的一个方向向量为，故D正确.故选：D.2.已知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，则向量在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断，求得，，可得，再根据投影向量公式求解即可.【详解】因为是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，所以得，则，得，，所以所以在上的投影向量为，故选：B3.已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（）第2页/共21页A.1B.C.D.2【答案】A【解析】在CA作lH，l与x轴交于点G，有，所以为中点，可求.【详解】由在上，有，得，所以，，过点A作l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，设l与x轴交于点G，则，有，又，所以为中点，有，．故选：A．4.已知圆与直线，若平分圆的面积，则的最小值为（）A.1B.3C.9D.18【答案】C【解析】【分析】由平分圆的面积，所以直线l过圆的圆心，得，再利用不等式即可求得结果.【详解】因为平分圆的面积，所以直线l过圆的圆心，即，第3页/共21页当且仅当时取等号.故选：C5.已知数列是等差数列，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用等差中项的性质求得，进而可得，代入目标式求正切值即可.【详解】本题考查等差数列的性质和简单的三角运算．由，故，则，所以．故选：B6.在四面体中，为的重心，在上，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出辅助线，根据重心性质得到，再根据为的中点，求出.【详解】取的中点，连接，因为为的重心，所以，第4页/共21页则，因为，所以为的中点，故.故选：B7.阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年）提出了许多新的性质．其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论．【详解】设，，，由题意知，，，所以，，，第5页/共21页所以，又，所以，解得或所以，则，则.故选：C.8.已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，整理得，根据二次函数分析可得，进而求出离心率得取值范围.【详解】由题意可设：，则令，则，当，则，第6页/共21页当，即时，可知在上的最小值为，则题意：当，即时，可知在内的最小值为，符合题意；综上所述：.可得椭圆的离心率.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则（）A.B.C.直线的斜率满足D.【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件设出直线方程，直曲联立结合韦达定理得：，将选项涉及斜率，向量均用、、、表示，逐一判断即可.【详解】设抛物线方程为，焦点为，过焦点的直线与抛物线有两个交点，所以直线斜率不为，设直线方程为，直线与抛物线联立有：，整理有：，根据韦达定理有：，第7页/共21页所以；因为，根据焦点弦的性质可知，，所以A错误，B正确；因为，，所以，所以，所以C正确；因为，，所以，所以D正确.故选：BCD10.在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A.若是等差数列，则是等方差数列B.是等方差数列C.若是等方差数列，则为常数也是等方差数列D.若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若是等差数列，如，第8页/共21页则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；对于C，数列中的项列举出来是，，，，，，，数列中的项列举出来是，，，，，，将这k个式子累加得，，，k为常数是等方差数列，故C正确；对于D，是等差数列，，则设是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.2的正方体的外接球的球心为OEF分别为棱AB、G在棱BC上，则（）A.对于任意点G，平面EFGB.存在点G，使得平面EFGC.直线EF被球O截得的弦长为第9页/共21页D.过直线EF的平面截球O所得的截面圆面积的最小值为【答案】BCD【解析】AB为平面C出球心到EF的距离，利用垂径定理求解；D选项，结合C选项中的求解得到球心O到截面的距离，从而求出截面面积最小值.【详解】对于A，当与重合时，平面，平面，此时直线与平面相交，A错误；对于B，因为四边形为正方形，则，当为的中点时，，则，因平面，平面，则，因为，平面，则平面，因为平面，所以，同理，，因为，平面，所以平面，即平面，B正确；对于C，取的中点，因为，为的中点，则，所以，同理可得，则.因为平面，平面，则，所以，，则，第10页/共21页球的半径为，所以直线被球截得的弦长为，C正确；设截面圆半径为，球心到截面的距离为，则.因为，则，所以截面圆面积，即截面圆面积的最小值为，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合空间中点、线、面的位置关系确定线面的位置关系，进而求出弦长及截面面积的最小值.第Ⅱ卷（非选择题共分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分．12.已知空间中有三点，则A到直线的距离为__．【答案】【解析】【分析】应用向量法求点线距离即可.【详解】由题设，则A到直线的距离.故答案为：13.和数列的公和，设等和数列的公和为2，前项和为，若，则___________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，分组求和，从而可求出.第11页/共21页，．故答案为：.14.已知椭圆的左焦点为FC交于MN的最小值为，则C的焦距为______．【答案】【解析】的右焦点为椭圆的定义得，即，则利用基本不等式得到的最小值为，根据已知条件得到，求出的值，利用公式求出的值，由C的焦距为，从而求出焦距的值．【详解】设椭圆右焦点为，则四边形为平行四边形，即，又，则，则，当且仅当时取等号，又的最小值为，则，解得，则，即C的焦距为．故答案为：.第12页/共21页四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】1而写出圆的方程；（2l与圆C的距离【小问1详解】由题意，设圆心，圆经过点，与直线相切，所以，化简得，解得，则圆心，半径，所以圆的方程为．【小问2详解】由题意，直线l与圆C的距离，若斜率不存在，即，显然满足要求；第13页/共21页直线l的方程为或．16.对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中（1）若数列的通项公式，求的通项公式；（2）若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】1）根据及的通项公式直接计算可得；（2）由题得，进而得数列是首项为，公差为的等差数列，最后根据等差数列求和公式求解即可.【小问1详解】依题意，且，所以；【小问2详解】因为，所以，所以．所以，且，故是首项为，公差为的等差数列.所以，所以数列的前n项和.17.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．（1）求的方程；第14页/共21页（2）过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值．【答案】（1）（2）证明见解析，定值1【解析】1）根据离心率的概念，将点代入双曲线方程，建立方程组，解之即可求解；（2）由（1）求得，根据弦长公式和平行四边形的面积公式化简计算可得，结合即可证明.【小问1详解】由已知可得，所以，又因为，得①；将点代入双曲线方程，得②，联立①②得，所以，所以双曲线方程为：．【小问2详解】由（1）得双曲线渐近线方程为，，设，则，，联立和，解得交点，则平行线和之间的距离，则平行四边形的面积第15页/共21页由于在双曲线上，则，所以，所以平行四边形的面积为定值1.18.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.（3）是否存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，为线段的中点.【解析】第16页/共21页（2的一个法向量为求出t计算即可得解；（3）求出平面的一个法向量为，接着求出，假设存在点使得平面与平面所成角的正弦值为，再利用求出t有符合的解即可.【小问1详解】因为平面，平面，所以，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，所以，所以即；【小问2详解】设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，由（1），又直线与平面所成角为所以，所以，又由（1）可得，所以点到平面的距离为.小问3详解】第17页/共21页显然平面的一个法向量为，则，假设存在点，使得平面与平面所成角的正弦值为，则（舍去）或，所以存在点使得平面与平面所成角的正弦值为，为线段的中点.19.已知椭圆离心率为点在椭圆上，直线与x轴交于点B.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在DAC，AD分别与直线交于E，F两点，直线AC，AD的斜率记为.①求证：为定值；②点G为CF中点，若求实数的取值范围.【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可.第18页/共21