（二诊）绵阳市2023级高三第二次诊断考试数学试卷A卷（含答案）

秘密★启用前【考试时间:2026年1月21日15:00——17:00】 A卷绵阳市高中2023级第二次诊断性考试数学注意事项：1.考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、考号和班级。2.考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。考生回答非选择题时，须用0.5mm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上。选择题和非选择题的答案写在试卷或草稿纸上无效。3.考生不得将答题卡带离考场，考试结束后由监考员收回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=1-i的共轭复数为z,则zz=A.-2i B.0 C.-2 D.22.若直线l₁:x+y-1=0与直线l₂:lα-y+2=0(k∈R)垂直,则k=A.-1 B.0 C.1 D.23.已知集合A={x|-1＜x＜1},B={x|lnx＜1},则A∪B=A.(-1,e) B.(-1,0)C.(0,1) D.(0,e)4.已知直线m,平面α,β,若m∥α,则“α⊥β”是“m⊥β”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知tana2=12A.32 B.35C.4 D.数学试题第1页(共4页)6.已知▱ABCD的两条对角线相交于点O,M为CD的中点,若Oλ=a,Oh=b,则OM=A.a+b B.C.12a+7.体积为63π的圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球A.23π BC.6π D.438.已知抛物线C.的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，且经过点A(2，22)，直线AF交C于另一点B,直线AO交C的准线于点D,则|BD|=A.32 B.2 C.2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数fxA.fπ=3 B.fC.f(x)的最小正周期为π D.10.已知函数fxA.f(x)是奇函数 B.f(x)在(-2,-1)上有零点C.f(x)在(-1,1)上单调递增 D.f(x)有4个极值点11.已知双曲线C的实轴长为2,左,右焦点分别为F(-2,0),F₂(2,0),P,Q分别是半径都为2的⊙F₁，⊙F₂上的动点，且满足线段PF₂的垂直平分线m与直线PF₁相交于点M，线段QF₁的垂直平分线n与直线QF₂相交于点N，O为坐标原点，则A.C的离心率为2B.M，N的轨迹都是双曲线CC.m与C有2个公共点D.若n与C的两条渐近线分别交于A，B两点，则△AOB的面积为3数学试题第2页(共4页)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共·15分。12.已知|a|=2,|b|=1,若b⊥(a--b).则a与b的夹角为.13.已知等差数列[an]的首项a1=12,公差d=-1314.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=120°,AC=BC=AA1=2,M为AA1的中点,若平面BCM与平面B1C1M的交线为I，则点B到直线l的距离为，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC的内角A、B,C的对边分别为a,b,c、已知3acos(1)求cosA:(2)若2b=3c,且△ABC的周长为8,求A.16.(15分)已知函数f(1)求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间及最小值.17.(15分)已知数列{an},{bn}满足a1=3,b1=1,(1)证明：数列an(2)求{an}的通项公式,并求{an}的前n项和Sn.18.(17分)已知椭圆C：x2a2－y2b2=1（a＞b＞0）(1)求C的标准方程；(2)直线l:y=kx+t交C于A,B两点.数学试题第3页(共4页)(i)若C上存在异于A，B的一点P，满足2AP=OB(O为坐标原点)。试探究△OAB(ii)已知点Q(m,n)在C的内部,延长AQ,BQ分别交C于D,E两点,且DE∥AB,若k=-12,求m19.(17分)如图所示,已知四椶锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD.点E为PA的中点,EF⊥PB,EG⊥PD,垂足分别为F,G,PC(1)证明:PI⊥FG;(2)若PC∥平面EBD,设二面角B-AP-D的平面角为θ，且θ为钝角，求cosθ的最大值：(3)若BD∥FG,点E,A,B,D都在同一个球面上,且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围.第第页绵阳市高中2023级第二次诊断性考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．D 7．B 8．A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．BD 10．ABD 11．ABD三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12．60◦； 13．6； 14．2四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由正弦定理得：， 2分又∵， 3分∴， 4分∴， 5分∴， 6分又sinB，∴； 7分（2）由余弦定理：， 9分∴， 11分∵△ABC的周长为8，∴， 12分∴c=2，则． 13分16．解：（1）∵， 2分∴，又， 4分∴所求切线方程为：， 6分（2）∵， 8分所以由，得的单调递增区间为：(2，3)，(6，+∞)； 9分由得的单调递减区间为：(3，6)， 10分∵，， 12分∵，则， 14分所以的最小值为． 15分17．解：（1）证明：∵，，∴两式相减得， 2分即， 4分又∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列； 6分（2）由（1）易得，， 7分，，∴两式相加得， 8分即，， 9分当时，满足上式，∴数列是首项为4，公差为4的等差数列，易得， 11分∴，解得， 13分∴ 14分． 15分18．解：（1）将点代入椭圆方程可得：，， 1分解得：，， 2分∴椭圆方程为：； 3分（2）方法一：设，，，∴，，由，则，即， 4分代入椭圆方程可得：，整理得：， 5分又，在椭圆上，则，，代入上式可得：，平方可得：， 6分∵直线OA的方程为：，∴点到直线OA的距离， 7分∴△OAB的面积：， 8分∴， 9分∴△OAB的面积为定值； 10分（2）方法二：设，，，∴，，由，则，即， 4分代入椭圆方程可得：，整理得：， 5分又，在椭圆上，则，，代入上式可得：，又，在直线上，故，则，整理得到：……（*） 6分联立方程：，整理得到：，由，由韦达定理：代入（*）式，得：， 7分此时：， 8分O(0，0)到直线的距离：， 9分所以△OAB的面积：； 10分（3）设，，，，∵直线AB与直线DE平行，则直线AB与直线DE的斜率均为，由平行关系，可设，即，， 11分由，则，∴， 12分同理，由可得：，又，在椭圆上，故，，相减可得：， 13分∴，则……=3\*GB3③ 14分同理：，则……=4\*GB3④ 15分=3\*GB3③+=4\*GB3④可得：， 16分∴，又，故m=2n． 17分19．解：（1）证明：由题意，可知， 1分如解图1，取PE中点H，连接HF，HG，则HF⊥PE，GH⊥PE，结合HF，HG平面HGF，故PA⊥平面HGF， 2分又∵FG平面HGF，故PA⊥FG；（2）设AC与BD的交点为O，∵平面PAC，平面PAC平面EBD=EO，结合PC∥平面EBD，故PC∥EO， 4分∵E为PA的中点，故O为AC的中点，如解图2所示，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，P(0，0，2)，，设，，AC中点O(1，0，0)，则有，∵，故，得，同理可得， 5分不妨设，，其中，，∵BD过O(1，0，0)，从而，由，，得，则， 6分设平面PAB与平面PAD的法向量分别为，，从而有，即，可得，同理可得， 7分故， 8分且易知，满足θ为钝角，而，当且仅当，时取等，故，二面角B-AP-D的平面角的余弦值的最大值为； 10分（3）∵BD//FG，且PA⊥FG，故PA⊥BD，结合PC⊥平面ABD，则可得PC⊥BD，因此BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，由（2）知，，故B，D关于平面PAC对称，设，则，其中且，设△ABD的外心为S，显然S应在x轴上，设，∵|SB|=|SA|，故有，整理得， 12分同时PA在平面PAC中的垂直平分线恰为CE，因此球心T即为过S且垂直于平面ABD的直线与CE的交点，故， 13分令，则且，代入及表达式，得，因此，令，故，且， 14分且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值，等价于有3个不同的解，即有3个不同的解，①当时，关于w的方程，在区间上有唯一解，此时关于v的方程仅在区间(‒2，0)有一解，不满足题意； 15分②当时，关于w的方程恰有两解，，方程在区间(‒2，0)有1解，有唯一解．故共有2组解，不满足题意； 16分③当时，关于w的方程在，分别有一解.此