2025年高考一轮复习第二次月考卷03（测试范围：集合不等式函数+三角+导数+平面向量+复数）（解析版）

2025年高考一轮复习第二次月考卷03（满分150分，考试用时120分钟）测试范围：集合+不等式+函数+三角+导数+平面向量+复数一､选择题1．若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解分式不等式求出集合，再化简集合，最后根据交集的定义计算可得.【解析】由，等价于，解得或，所以或，又，所以.故选：C2．设是虚数单位，则复数的共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的乘方运算，结合共轭复数的意义求解即得.【解析】复数，所以.故选：A3．已知为单位向量，且则夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，得到，将等式展开由平面向量数量积的定义即可得到答案.【解析】设的夹角为，因为，为单位向量，所以，所以.故选：B.4．若，则的最小值为（

）A．9 B．18 C．24 D．27【答案】A【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.【解析】根据题意可得；当且仅当，即时，等号成立；此时的最小值为9.故选：A.5．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦函数奇偶性和二倍角余弦公式直接求解即可.【解析】.故选：D.6．已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），、分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（

）（，）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据题意，得到和，结合对数的运算性质，即可求解.【解析】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足，因为经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，可得，火箭耗尽燃料时速度为，两式相除得.故选：C．7．若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可.【解析】，设公切线与曲线y=fx相切于点，与曲线y=gx相切于点，则切线方程分别为，，所以由①得，代入②得．令，则，所以当时，h'x<0，当时，h所以hx在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以，又当时，，所以hx的值域为，所以的取值范围是．故选：D．8．已知函数的定义域为，对定义域内任意的，当时，都有，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．函数和在上有相同的单调性【答案】C【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可.【解析】对于A：，，因为，所以，因为，所以恒成立，又因为不相等，所以，A选项错误；对于B：，所以恒成立，所以，又因为不相等，，所以，又，，，，所以，所以，B选项错误；对于C:因为不相等，不妨设，因为，所以，所以，C选项正确，对于D：不妨设在上单调递增，任取，满足，则，因为，所以，所以，所以单调递减，D选项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．函数（且）的图象恒过定点B．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是C．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象D．的零点所在的一个区间为【答案】ACD【分析】对A，根据对数函数的定义即可求解；对B，由二次函数的性质可判断；对C，根据三角函数的平移原则即可判断；对D，根据函数单调性结合零点存在性定理即可判断.【解析】对于A，令，解得，，所以恒过定点，故选项A正确；对于B，因为，，为真命题，则，解得，故B错误；对于C，函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故C正确；对于D，因为在上均单调递增，则在上单调递增，又，，则根据零点存在性定理知其零点所在的一个区间为，故D正确.故选：ACD10．已知的三边长分别为为内一点，且满足.设，则A．B．C．D．【答案】BCD【分析】假设，然后根据向量的运算及余弦定理、三角形面积公式计算即可.【解析】对于A，，故A错误；对于B，不妨设，由余弦定理可知，故，，设，则，又因为，故，所以，故B正确；对于C，由余弦定理可知，，同理，故，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.11．已知，且，则（

）A．若，则B．若，则的最大值为C．若，则D．若，则【答案】ACD【分析】选项A，根据条件得到，利用的性质，即可求解；选项B，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项C，根据条件，得到，从而有，得到，即可求解；选项D，利用，得，即可求解.【解析】对于选项A，由得，，又，可得，所以，又，所以，故选项A正确；对于选项B，易知，，所以，当且仅当时取等号，所以选项B错误；对于选项C，由选项A知，所以，得到，所以，所以，整理得，所以选项C正确；对于选项D，由得到，，得，所以选项D正确.故选：ACD.三、填空题12．“函数是奇函数”的充要条件是实数．【答案】0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【解析】若函数是奇函数，则当且仅当，也就是恒成立，从而只能.故答案为：0.13．已知，则不等式的解集为．【答案】【分析】先求出函数的定义域，保证有意义，再代入函数解不等式即可.【解析】，，解得，所以的定义域为-1,1，将代入，得，即，即，则，解得，所以不等式的解集为．故答案为：.14．已知，若，，则的最大值为．【答案】【分析】设，作出和的图象，数形结合得出，由余弦函数图象的对称性得出，结合得出，构造函数，利用导数求出最大值即可求解．【解析】设，则，的图象如图所示，即的图象与的图象有3个交点，横坐标依次为，且，由余弦函数图象的性质可知，，所以，又因为，所以，令，则，令，解得或，当时，在单调递增，当时，在单调递减，当时，在单调递增，又因为，，所以，所以，故答案为：．四、解答题15．的内角所对的边分别为，已知.(1)求；(2)若的角平分线与交于点，求.【答案】(1).(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.【解析】（1）依题意，由正弦定理可得所以，又所以，因为B∈0,π，所以，所以，又，所以.（2）解法一：如图，由题意得，，所以，即，又，所以，所以，即，所以.解法二：如图，中，因为，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，所以.16．已知函数，.(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值；(2)若，求函数的极值.【答案】(1)；(2)极小值，无极大值.【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义及给定直线列式计算即得.（2）把代入，利用导数求出函数的极值.【解析】（1）函数，求导得，则，依题意，，所以.（2）当时，函数的定义域为，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，无极大值.17．太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k．(1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式；(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？注：①蓄电池电能储存量；②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得；（2）用S，k，Q表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得.【解析】（1），若平方米，则；（2）由，即，铅酸蓄电池的放电量为：，锂离子蓄电池的放电量为：，则，令，可得，即时，，此时应选择铅酸蓄电池，当时，，此时应选择锂离子蓄电池，当时，，两种电池都可以.18．已知函数，.(1)求函数的值域；(2)设函数，证明：有且只有一个零点，且.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，首先判断的奇偶性，再利用换元法求出函数在时的取值范围，结合偶函数的性质得解.（2）结合零点的存在性定理分类讨论可证有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得.【解析】（1）因为，所以，则，所以为偶函数，当时，令，则，令，，，又，，所以，即当时，根据偶函数关于轴对称，所以当时，综上可得.（2）因为，当时，函数与函数均在上单调递增，故在上单调递增，又，，故存在唯一零点，当时，，，故，当时，，，故，故当时，无零点，综上所述，有且只有一个零点，且该零点；由上可知，且有，则，即，由函数在区间上单调递增，故.【点睛】关键点睛：本题二问关键在于借助零点的存在性定理判定有且只有一个零点，借助零点得到，将转化为，结合函数单调性，得到.19．阅读以下材料：①设为函数的导函数.若在区间D单调递增；则称为区上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.②平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.(1)已知函数.（i）当时，讨论的凹凸性；（ii）当时，点在轴右侧且为的“3切点”，求点的集合；(2)已知函数，点在轴左侧且为的“3切点”，写出点的集合（不需要写出求解过程）.【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）或(2)点的集合为或或【分析】（1）（i）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数的单调性，可得其凹凸性；（ii）根据“切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点的集合；（2）根据函数利用“切点”的定义，得出单调性即可得出结论.【解析】（1）因为，所以，令，所以.（i）当时，，令，解得；令，解得；故为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；当时，令，解得，令，解得或，故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；当时，，故为区间上的凸函数；.当时，令，解得，令，解得或，故为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；综上所述，当时，为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；当时，为区间上的凸函数；当时，为区间上的凹函数，为区间和上的凸函数；当时，为区间上的凹函数，为区间上的凸函数；（ii