人教版2021年七年级数学下册期末几何培优集训题（含解析）

人教版2021年七年级数学下册期末几何培优集训题1．如图，已知∠3＝∠B，且∠AEF＝∠ABC．（1）求证：∠1+∠2＝180°；（2）若∠1＝60°，∠AEF＝2∠FEC，求∠ECB的度数．2．如图，E，G是分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）判断AD与EF的位置关系，并说明理由；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝145°，求∠B的度数．3．如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．（1）求证：AB∥DE；（2）AF与DC有什么位置关系？为什么？（3）若∠B＝68°，∠C＝46°，求∠2的度数．4．如图，已知AD∥EF，∠2＝50°．（1）求∠3的度数；（2）若∠1＝∠2，问：DG∥BA吗？请说明理由；（3）若∠1＝∠2，且∠DAG＝20°，求∠AGD的度数．5．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．6．已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．7．已知：如图①，AB∥CD，∠1+∠3与∠2的关系是；如图②，AB∥CD，∠1+∠3+∠5与∠2+∠4的关系是，证明你的结论．说明理由：如图③，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+∠7与∠2+∠4+∠6的关系是；如图④，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）与∠2+∠4+∠6+…+∠2n的关系．8．如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．①若∠PEF＝48°，则∠EFC的度数为．②若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中一条平行线上，则∠EFP的度数为．③若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，则∠EFP的度数为．9．如图（1），直线AB∥CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．（1）∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是，并说明理由．（2）如图（2），若点P在直线AB上方时，∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是（不需说明理由）（3）如图（3），在图（1）基础上，P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°．则∠P1＝（用x，y的代数式表示），若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2，P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝．（4）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（5）的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC＝28°，∠PBC＝30°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由．10．如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN上，且∠C＝∠OAB＝108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．（1）请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；（2）若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．11．珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若两灯发出的射线AC与BC交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系，并说明理由．12．点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE、CD．（1）如图1，连接AE，若∠AED＝∠A+∠D，求证：AB∥CD；（2）在（1）的结论下，若过点A的直线MA∥ED；①如图2，当点E在线段BC上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系；②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系．13．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．14．如图，已知AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，点P在AC上，PE⊥PF于点P．（1）如图一，①AC与BD平行吗？为什么？②说明∠APE＝∠PFC．（2）如图二，若PM平分∠APE交AB于M，PN平分∠APF交AB于N，求∠MPN的度数．15．（1）如图1，∠1＝∠3，∠E＝∠2，求证：CD∥AB．（2）如图2，已知CD∥AB，∠MFN＝120°，直线HI交∠CMF、∠FNB的角平分线分别于点H、I，求∠H﹣∠I的值．（3）如图3，已知CD∥AB，∠MFN＝α°，∠4＝∠CMF，∠5＝∠BNF，直接写出∠H﹣∠I的值为（用α表示）．16．（1）如图1，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数．小明想到了以下方法（不完整），请填写以下结论的依据：如图1，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（）∴∠2+∠PFD＝180°．（）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）如图2，AB∥CD，点P在AB，CD外，问∠PEA，∠PFC，∠P之间有何数量关系？请说明理由；（3）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠P＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数是．（直接写出答案，不需要写出过程）参考答案1．（1）证明：∵∠3＝∠B，∠AEF＝∠ABC，∴∠3＝∠AEF，∴AB∥FD，∴∠2＝∠FDE，∵∠1+∠FDE＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝60°，∴∠2＝180°﹣60°＝120°，∵∠AEF＝2∠FEC，∠AEF+∠FEC+∠2＝180°，∴3∠FEC+120°＝180°，∴∠FEC＝20°，∵∠AEF＝∠ABC，∴EF∥BC，∴∠CEF＝∠ECB，∴∠ECB＝20°．2．解：（1）AD∥EF，理由如下：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝35°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠ADC＝2∠1＝70°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝110°，∵AD∥EF，∴∠EFB＝∠ADB＝110°，∵∠BEF＝180°﹣∠2＝35°，∴∠B＝180°﹣∠EFB﹣∠BEF＝180°﹣110°﹣35°＝35°．3．（1）证明：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠B（已知），∴∠DEC＝∠B（等量代换），∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）；（2）解：AF∥DC，理由如下：∵AB∥DE（已证），∴∠2＝∠AGD（两直线平行，内错角相等），∵∠2＝∠3（已知），∴∠AGD＝∠3（等量代换），∴AF∥DC（内错角相等，两直线平行）；（3）∵AF∥DC，∠C＝46°，∴∠AFB＝∠C＝46°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠B＝68°，∠2+∠B+∠AFB＝180°，∴∠2＝180°﹣∠B﹣∠AFB＝180°﹣46°﹣68°＝66°．4．解：（1）∵AD∥EF，∴∠3＝∠2＝50°；（2）DG∥BA，理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DG∥BA；（3）∵∠1＝∠2＝50°，∠GAD＝20°，∴∠AGD＝180°﹣∠GAD﹣∠1＝110°．5．解：（1）AD∥BC，理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠BCF，∴AD∥BC；（2）AB∥EF，理由是：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE，∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABE＝∠E，∴AB∥EF；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．6．（1）证明：∵EM∥FN，∴∠EFN＝∠FEM．∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．∴∠CFE＝∠BEF．∴AB∥CD．（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠CFN，∵∠AEF＝2∠CFN，∴∠AEF＝∠CFE＝90°，∴∠CFN＝∠EFN＝45°，∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．7．解：如图①，AB∥CD，∠1+∠3与∠2的关系是∠2＝∠1+∠3；如图②，AB∥CD，∠1+∠3+∠5与∠2+∠4的关系是∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5，证明：作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥DC∥MN，∴∠1＝∠BEF，∠FEM＝∠EMN，∠NMG＝∠MGH，∠HGD＝∠5，∵∠2＝∠MEF+∠FEM，∠3＝∠EMN+∠NMG，∠4＝∠MGH+∠HGD，∴∠2+∠4＝∠MEF+∠FEM+∠MGH+∠HGD＝∠BEF+∠EMN+∠NMG+∠HGD＝∠1+∠3+∠5；如图③，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+∠7与∠2+∠4+∠6的关系是∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7；如图④，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）与∠2+∠4+∠6+…+∠2n的关系为：∠2+∠4+∠6+…+∠2n＝∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）．故答案为：∠2＝∠1+∠3；∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5；∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7；∠2+∠4+∠6+…+∠2n＝∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）8．解：①∵AB∥CD，∴∠PEF+∠EFC＝180°，∴∠EFC＝132°；故答案为：132°．②分两种情况：如图1，当点Q落在AB上时，FP⊥AB∴∠EFP＝90°﹣∠PEF＝42°；如图2，当点Q落在CD上，∵将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处，∴PF垂直平分EQ，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠QFE＝180°﹣∠PEF＝132°，∴∠PFE＝∠QFE＝66°；故答案为：42°或66°．③分两种情况：如图3，当点Q在平行线AB，CD之间时，设∠PFQ＝x，由折叠可得∠EFP＝x，∵∠CFQ＝∠PFC，∴∠PFQ＝∠CFQ＝x，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴75°+x+x+x＝180°，∴x＝35°，∴∠EFP＝35°；如图4，当点Q在CD的下方时，设∠CFQ＝x，由∠CFQ＝∠PFC得，∠PFC＝2x，∴∠PFQ＝3x，由折叠得，∠PFE＝∠PFQ＝3x，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴2x+3x+75°＝180°，∴x＝21°，∠EFP＝3x＝63°；综上所述，∠EFP的度数是35°或63°．故答案为：35°或63°．9．解：（1）∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠P＝∠PEB+∠PFD理由如下：过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠PEB＝∠EPH，∠PFD＝∠FPH而∠EPF＝∠EPH+∠FPH∴∠EPF＝∠PEB+∠PFD（2）如图（2），若点P在直线AB上方时，∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠PFD＝∠PEB+∠P（不需说明理由）（3）∠P1＝（x+y）°（用x，y的代数式表示）∠Pn＝（）n（x+y）°．（4）解：∠APB＝∠C+58°．理由如下：过A、B分别作直线AE、BF，使AE∥BF．如图，由（1）规律可知∠C＝∠1+∠2．∠APB＝∠PAE+∠PBF＝（∠PAC+∠1）+（∠PBC+∠2）＝∠PAC+∠PBC+（∠1+∠2）＝∠C+58°10．解：（1）∠ABC，∠BAM．理由如下：∵OM∥CN，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣108°＝72°，∠ABC＝180°﹣∠OAB＝180°﹣108°＝72°，又∵∠BAM＝∠180°﹣∠OAB＝180°﹣108°＝72°，∴与∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM；（2）不变．理由：∵OM∥CN，∴∠OBC＝∠AOB，∠OFC＝∠AOF，∵OB平分∠AOF，∴∠AOF＝2∠AOB，∴∠OFC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝；（3）不存在．理由：∵∠OEC＝∠EOA＝2∠BOF+∠EOF∵OM∥CN，∠C＝∠OAB＝108°，∴∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∴∠C+∠ABC＝180°，∴∠OBA＝∠BOC2∠OBA＝2∠BOC＝2（∠BOF+2∠EOF）∵2∠BOF+∠EOF≠2（∠BOF+2∠EOF）∴在平行移动AB的过程中，不存在某种情况，使∠OEC＝2∠OBA，故不存在此情况．11．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．理由：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．12．解：（1）如图1，过E作EF∥AB，则∠A＝∠AEF，∵∠AED＝∠A+∠D，∴∠D＝∠AED﹣∠A，又∵∠DEF＝∠AED﹣∠AEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）①如图2，连接AE，∵AM∥DE，∴∠MAE＝∠AED，∵∠AED＝∠BAE+∠D，∠MAE＝∠BAE+∠BAM，∴∠D＝∠BAM；②如图3，延长MA交BC于F，∵MA∥ED，∴∠DEC＝∠MFB，∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE，∴∠D＝∠BAF，又∵∠BAF+∠MAB＝180°，∴∠CDE+∠MAB＝180°．13．（1）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠BAE，∴AB∥CD；（2）证明：过F作FM∥AB，如图，∵AB∥CD，∴AB∥FM∥CD，∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，∴∠GED＝2x°，∵AB∥CD，∴∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣x°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝BAC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，由（1）知：AB∥CD，∴∠BAE+∠AED＝180°，∵∠AEF＝35°，∴90﹣x+x﹣35+2x＝180，解得：x＝50，即∠C＝50°．14．解：（1）①AC与BD平行，理由如下：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣∠A＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D+∠C＝180°，∴AC∥BD；②∵PE⊥PF，∴∠EPF＝90°，∴∠APE+∠CPF＝180°﹣∠EPF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠PFC+∠CPF＝90°，∴∠APE＝∠PFC．（2）∵PM平分∠APE，PN平分∠APF，∴∠MPE＝APE，∠NPF＝APF，∴∠EPN＝∠EPF﹣∠NPF＝90°﹣∠APF，∴∠MPN＝APE+90°﹣APF＝90°﹣（∠APF﹣∠APE）＝90°﹣∠EPF＝90°﹣45°＝45°．答：∠MPN的度数为45°．15．解：（1）证明：∵∠E＝∠2，∴EM∥PN，∴∠1＝∠DPN，∵∠1＝∠3，∴∠DPN＝∠3，∴CD∥AB；（2）过H作HE∥CD，过F作FG∥CD，过I作IK∥CD，如图4：∵CD∥AB，∴CD∥HE∥FG∥IK∥AB，∵MH平分∠CMF，NI平分∠BNF，设∠CMH＝∠FMH＝m°，∠FNI＝∠BNI＝n°，∴∠DMF＝∠MFG＝180°﹣2m°，∠BNF＝∠GFN＝2n°，∴∠MFN＝∠MFG+∠GFN＝180°﹣2m°﹣2n°，∵∠MFN＝120°，∴180°﹣2m°+2n°＝120°，∴m°﹣n°＝30°，又CD∥HE∥FG∥IK∥AB，∴∠EHI＝∠HIK，∴∠MHI﹣∠HIN＝∠MHE﹣∠KIN＝∠C