通讯原理第六章：解调性能分析

通訊原理

第六章：解調性能分析1/sundae_meng大綱線性調變接收性能DSB/AM/SSB訊雜比基帶系統線性雙邊帶調變(DSB)的解調性能單邊帶調制系統(SSB)的解調性能振幅調變(AM)的解調性能角度調制中的雜訊在雜訊中解調輸出雜訊頻譜輸出雜訊比利用去強提高性能2/sundae_meng信號與雜訊假設信號功率是有限的。加入的雜訊，其頻寬B>W，且其雙邊功率頻譜密度為。3/sundae_meng訊雜比-基帶系統為了有一個比較系統性能的基礎，我們將所得之信號通過一個低頻濾波器，其頻寬為W，以過濾多餘的雜訊，此一系統稱為基頻帶系統。4/sundae_meng訊雜比-基帶系統在頻寬B內的雜訊總功率為如此可得濾波器輸入訊雜比(SNR)為5/sundae_meng訊雜比-基帶系統假設訊息信號m(t)是有限頻寬，則一個簡單的低通濾波器可以用來加強訊雜比，如圖所示。則通過濾波器的雜訊功率為6/sundae_meng訊雜比-基帶系統故濾波器輸出的訊雜比為濾波器將訊雜比加大7/sundae_meng訊雜比-基帶系統由於加了濾波器，所以頻帶以外的雜訊全被濾波器濾除，因此濾波器輸出的訊雜比可作為系統性能的合理標準。此訊雜比的參考標準在以下的討論中將廣被使用。8/sundae_meng雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能我們現在來計算同調雙邊帶(DSB)解調器的雜訊性能。如下圖，圖中前面加一預檢濾波器的同調解調器，這就如前面章節所討論的中頻(IF)濾波器，濾波器的輸入是已調制信號與雙邊功率頻譜密度的白色高斯雜訊。9/sundae_meng雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能其中功率雜訊10/sundae_meng雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能由於發射信號假定為雙邊帶調制信號，接收信號可寫成其中m(t)為訊息，而

用來標示載波相位(或時間原點)的不確定性。若預檢濾波器的頻寬為2W，且雙邊帶調制信號全部通過，則在預檢濾波器的輸出可展開成同相和正交成分其中雜訊之功率11/sundae_meng雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能其中信號功率為，雜訊功率為在乘法器輸入端的預檢訊雜比為12/sundae_meng後驗訊雜比，須先計算由於倍頻項被後驗濾波器移除，故解調輸出為後驗信號功率為後驗雜訊功率為雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能13/sundae_meng雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能在解調器輸入處的加成性雜訊導致在解調器輸出處的加成性雜訊，這是因為線性性質。故後驗訊雜比為因上式可改寫成這等同於理想的基頻帶系統。14/sundae_meng雙邊帶調制系統(DSB-SC)的解調性能

與的比值稱為檢波增益(detectiongain)，常用來作為解調器優劣的指標。而對同調雙邊帶解調器而言，檢波增益為15/sundae_meng範例6-1考慮一信號

經由DSB-SC調變器調變後，在一帶有雜訊的通道上被傳送，雜訊的功率頻譜如圖所示，其中

信號頻寬

，載波頻率

。請計算預檢訊雜比

，後驗訊雜比，及檢波增益

/sundae_meng16範例6-1/sundae_meng17範例6-1因此預檢訊雜比為：解調器輸出訊雜比為：檢波增益為：/sundae_meng18單邊帶調制系統(SSB)的解調性能對於單邊帶調制系統，預檢濾波器的輸入可寫成其中代表的希爾伯(Hilbert)轉換，而正號代表下邊帶的單邊帶調制，負號代表上邊帶的單邊帶調制。對單邊帶調制而言，預檢帶通濾波器的最小頻寬為W19/sundae_meng將雜訊對中心頻率展開，則預檢濾波器的輸出可寫成即所以單邊帶調制系統(SSB)的解調性能20/sundae_meng單邊帶調制系統(SSB)的解調性能由圖可知雜訊功率為21/sundae_meng單邊帶調制系統(SSB)的解調性能因為解調是將乘上解調載波，再經低通濾波來達成。所以我們可用雙邊帶解調器來解決單邊帶解調的問題，結果可得22/sundae_meng單邊帶調制系統(SSB)的解調性能因此我們對下邊帶單邊調制作解調，則分別可算出後驗濾波器的雜訊功率為後驗濾波器的信號功率為故後驗訊雜比為23/sundae_meng單邊帶調制系統(SSB)的解調性能預檢濾波器信號功率為經由前面章節得到一函數與希爾伯轉換為正交，若，則所以預檢濾波器信號功率可表示成且函數及希爾伯轉換有相同功率，所以24/sundae_meng單邊帶調制系統(SSB)的解調性能同理，預檢和後驗雜訊有相同的功率預檢訊雜比為所以檢波增益為因此，雙邊帶調制和單邊帶調制的同調解調和基帶系統有相同的性能。不過在此假設有完美的同調解調。當有相位誤差情況下，則單邊帶解調的效應會比雙邊帶解調嚴重許多。25/sundae_meng範例6-2考慮一信號

經由SSB-SC調變器調變後，在一帶有雜訊的通道上被傳送，雜訊的功率頻譜如圖所示，其中

信號頻寬

，載波頻率

。請計算預檢訊雜比

，後驗訊雜比，及檢波增益

/sundae_meng26範例6-2輸入信號為：如同DSB-SC，在預檢情況下，其信號功率和雜訊功率與輸出時相同，因此為：/sundae_meng27範例6-2因此預檢訊雜比為：後驗雜訊比為：檢波增益為：/sundae_meng28振幅調制系統(AM)：同調檢波振幅調制信號其中a為調制指數，而利用和雙邊帶調制系統一樣的推導得到有雜訊時解調輸出為29/sundae_meng振幅調制系統(AM)：同調檢波中不會出現直流項，理由有二：因為直流項中不包含來源訊息。大部份實用的振幅解調器並非直流耦合，故實際系統輸出並不含直流部份。30/sundae_meng振幅調制系統(AM)：同調檢波由輸出中可得到信號功率為而雜訊功率為所以後驗訊雜比為31/sundae_meng振幅調制系統(AM)：同調檢波在預檢的情況下，其信號功率為而雜訊為所以預檢訊雜比為32/sundae_meng振幅調制系統(AM)：同調檢波因此檢波增益為振幅解調傳輸系統的效率定義可表示成若效率能達到100%，則振幅調制和理想雙邊帶調制及單邊帶調制系統具有相同的後驗雜訊比，但實際上卻不然。33/sundae_meng範例6-3考慮一信號

經由AM調變器調變後，在一帶有雜訊的通道上被傳送，雜訊的功率頻譜如圖所示，其中

信號頻寬

，載波頻率

。請計算預檢訊雜比

，後驗訊雜比，及檢波增益

/sundae_meng34範例6-3/sundae_meng35

；輸出的信號功率與雜訊功率分別為在預檢的情況下，信號功率與雜訊功率分別為範例6-3因此預檢訊雜比為：後驗訊雜比比為：檢波增益為：/sundae_meng36範例6-4在調變指數為0.5且訊號功率為0.1下運作的振幅調變系統，其效率為而後驗訊雜比為檢波增益為37/sundae_meng範例6-4低於需要相同頻寬的理想系統16dB以上。不過，使用振幅調制的動機並非是雜訊性能，而是可使用簡單的包跡檢波解調。效率較差的原因當然是總發射功率中一大部分用在載波分量上，而此分量不是訊息信號的函數，因而不帶任何訊息。38/sundae_meng振幅調制系統(AM)：包跡檢波假設接收信號為加上窄頻帶雜訊，因此並且可依下方向量圖求得39/sundae_meng振幅調制系統(AM)：包跡檢波其中且40/sundae_meng振幅調制系統(AM)：包跡檢波假設包跡檢波器為交流偶合使得其中為包跡振幅的平均值。首先考慮訊雜比很大時，則因此所以由上式可知，當訊雜比很大時，則包跡檢波器的輸出和同調檢波器的輸出相同。41/sundae_meng振幅調制系統(AM)：包跡檢波當訊雜比很小時，會因為包跡檢波器的非線性造成嚴重損失，此種效應稱為門限效應(thresholdeffect)。在屬於線性的同調檢波器中，如果信號和雜訊在檢波器輸入是相加的，則在輸出也是相加的。也就是說訊雜比低時，信號仍維持不變。基於這點，當訊號大時，包跡檢波通常比較適合。42/sundae_meng振幅調制系統(AM)：平方律檢波器平方律檢波器可用平方元件後加低通濾波器來實現，如下圖所示。此檢波器對振幅調制信號的響應為令並完成平方運算可得43/sundae_meng振幅調制系統(AM)：平方律檢波器假設檢波器輸出為交流耦合，故輸出信號和雜訊成份分別為和信號成份功率為雜訊功率為44/sundae_meng振幅調制系統(AM)：平方律檢波器因此總預檢雜訊功率為平方律檢波器輸出的訊雜比為45/sundae_meng振幅調制系統(AM)：平方律檢波器將上式與基帶系統比較。弦波調制之振幅系統總發射功率為並以取代可得46/sundae_meng振幅調制系統(AM)：平方律檢波器此式很清楚的說明了門限效應，當很大時而對於小的值47/sundae_meng振幅調制系統(AM)：平方律檢波器48/sundae_meng大綱線性調變接收性能DSB/AM/SSB訊雜比基帶系統線性雙邊帶調變(DSB)的解調性能單邊帶調制系統(SSB)的解調性能振幅調變(AM)的解調性能角度調制中的雜訊在雜訊中解調輸出雜訊頻譜輸出雜訊比利用去強提高性能49/sundae_meng/sundae_meng50前言前面已討論過線性調變系統中雜訊的效應，現在將注意力轉移到角度調變。我們會發現在有考慮雜訊效應時，線性調變和角度調變間有極大的差異。甚至在PM和FM間也有顯著的差異。最後，還會瞭解在雜訊背景下，FM系統可提供比線性調制和PM系統更大的改善性能。/sundae_meng51在雜訊中解調考慮系統，預檢濾波器的頻寬，可由卡森準則決定。換言之，其中W為訊息信號的頻寬D為偏差比，即尖峰頻率偏移除以W。/sundae_meng52在雜訊中解調預檢濾波器的輸入假設為經調制的載波加上雙邊功率頻譜密度為的白色雜訊N(t)。即在雜訊中解調-PM調變訊號對PM調變訊號其中為相位偏移常數，單位為弳度/每單位而為經正規化使得的尖峰值為1的訊息信號。/sundae_meng53在雜訊中解調-FM調變訊號對FM的情況其中為偏移常數，單位為Hz/每單位。若的最大值不為1(一般是如此)，則由定義所得的比例常數K包含在或中。PM和FM二種情況我們會一起分析，之後再以適當函數代入

取得各自的結果。/sundae_meng54在雜訊中解調預檢濾波器的輸出可寫成

其中/sundae_meng55在雜訊中解調(a)式可寫成

其中為雷萊分布雜訊包跡，為均勻分布相位。/sundae_meng56在雜訊中解調以取代，則(b)式可寫成即/sundae_meng57在雜訊中解調上式可寫成其中為因雜訊產生的相位偏移，可表示成/sundae_meng58/sundae_meng59在雜訊中解調因為加至傳送訊息信號的中，故為所要考慮的雜訊成份。當時預檢濾波器輸出的相量如圖所示，若表成/sundae_meng60在雜訊中解調則鑑別器輸入的相位偏移為若預檢訊雜大，則在大部分時間上。對此情況(c)式變成在雜訊中解調/sundae_meng61在雜訊中解調鑑別器輸入的相位偏移為若預檢訊雜大使得為/sundae_meng62在雜訊中解調-若預檢訊雜比大若預檢訊雜大值得注意的是若發射信號的振幅增大，則雜訊的效應變小。因此，即使在門限效應之上操作，輸出雜訊仍受發射信號之振幅的影響。/sundae_meng63PM或FM訊號/sundae_meng64在雜訊中解調-若預檢訊雜比小如果預檢SNR小，則在大部分時間上，。此時的相量圖如下，在雜訊中解調如果預檢SNR小，則在大部分時間上，，則

即/sundae_meng65在雜訊中解調信號包含在中，而僅含雜訊。若預檢訊雜SNR大

預檢濾波器輸出的相位為二項的和，第一項僅含信號，第二項包含信號和雜訊分量/sundae_meng66在雜訊中解調信號包含在中，而僅含雜訊。若預檢訊雜SNR小時，

預檢濾波器輸出的相位

並沒有僅含信號的項因此FM解調器具有和AM包跡檢波器類似的門限效應，此效應在往後會詳細說明。/sundae_meng67/sundae_meng68在雜訊中解調假設鑑別器含有一限制器，因而對於振幅的變化並不敏感。因此(d)式中的可假設為一常數。在PM的情況下，後驗濾波器輸出為而對FM情況則為

其中為鑑別器常數/sundae_meng69在雜訊中解調-PM當預檢訊雜SNR大則其中/sundae_meng70在雜訊中解調-FM當預檢訊雜SNR大則其中/sundae_meng71在雜訊中解調PM解調輸出可用訊息信號表成PM輸出信號的功率為FM解調輸出可用訊息信號表成FM輸出信號的功率為在計算輸出訊雜比前，須先求輸出雜訊的功率頻譜密度。/sundae_meng72輸出雜訊頻譜對於SNR大情形，PM與FM之鑑別器輸出雜訊的功率頻譜密度可分別由(h)式和(i)式來計算。分析的第一個步驟是令，使得和僅為雜訊和的函數，而不含信號的成分。此一假設雖能大大簡化分析程序，但似乎有太多的自由。/sundae_meng73輸出雜訊頻譜對於SNR大情形，在不假設為零下仍可進行分析，推導過程會複雜許多，且可發現的效應是當時，產生解調輸出中的頻率成分，W為訊息信號的頻寬但此一效應可利用與鑑別器輸出串聯的低通濾波器除去。/sundae_meng74輸出雜訊頻譜當其中，因此/sundae_meng75輸出雜訊頻譜-PM當且其它地方為零時(如圖所示)，則PM情況下輸出雜訊的功率頻譜密度為/sundae_meng76輸出雜訊頻譜-PM因此鑑別器輸出雜訊功率為/sundae_meng77輸出雜訊頻譜-PM信號頻率為。因為預檢頻寬比大，所以在鑑別器後加一頻寬的低通濾波器可改善輸出的SNR，此濾波器不影響信號，但可使輸出雜訊功率降低成/sundae_meng78輸出訊雜比-PM現在可輕易求出鑑別器輸出的訊雜比。對PM系統，鑑別器輸出SNR為定義信號功率除雜訊功率，即

/sundae_meng79輸出雜訊頻譜-FM因微分的關係，故在FM的情況下，輸出雜訊功率的計算稍微困難些。若，則，將此結果應用在上式，則在時可得

而其它地方為零。/sundae_meng80輸出雜訊頻譜此頻譜如下圖所示。拋物線形的雜訊頻譜是因FM鑑別器的微分效應所造成，對含雜訊之FM系統的性能有深遠的影響。下圖中顯示，低頻訊息信號成分比高頻成分的雜訊位準低。/sundae_meng81輸出雜訊頻譜-FM再次假設低通濾波器僅有足夠的頻寬讓鑑別器的訊息信號通過，則輸出雜訊功率為/sundae_meng82輸出訊雜比-FM現在可輕易求出鑑別器輸出的訊雜比。對FM系統，鑑別器輸出SNR為定義信號功率除雜訊功率，即

/sundae_meng83PM與FM之雜訊功率比較將PM與FM式寫成的形式很有用。因為對PM與FM，，故有因此，對於PM而對於FM，鑑別器輸出的雜訊功率為注意到，對PM與FM，在鑑別器輸出端的雜訊功率都與成反比。/sundae_meng84PM與線性調制比較上式顯示了PM對線性調制的改進和相位偏移常數與調制信號的功率有關。當PM信號的相位偏移超過徑，解調的唯一性無法達成，所以的尖峰值為，而最大值為。這比基帶改良最大達10dB左右。實際上，由於遠低於最大值，所以實質的改進程度低很多。若加上「相位解調器的輸出為連續」的限制，則有可能超過，而解調雜訊比也隨之增加。/sundae_meng85FM與PM調制比較對FM，在鑑別器輸出端的訊雜比為信號功率除以(雜訊功率，即由於尖峰偏移

與W的比值為偏移比D，故輸出的SNR可表示成/sundae_meng86FM與PM調制比較的最大值為1。須注意由的最大值連同和決定。對FM的情況，並沒有PM中輸出SNR大小受限的情況。事實上，D似乎可無限制的增加，因而使輸出SNR增加到任意大的值。/sundae_meng87FM與PM調制比較增大SNR所付出的一個代