数学试卷+答案广东佛山市S6高质量发展联盟2025-2026学年上学期高二年级期中联考(11.11-11.13)

广东省佛山市S6高质量发展联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（

）A． B． C．，2， D．2．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（

）．A． B． C． D．3．直线，无论取何值，该直线恒过定点（

）A． B． C． D．4．已知为实数，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知圆与圆外切，则（

）A． B． C． D．6．如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（

）

A． B． C． D．7．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（）A． B．C． D．二、多选题9．已知直线，则下列选项中正确的有（

）A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为C．直线不经过第三象限 D．直线的一个方向向量为10．已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（

）A．若，为互斥事件，则 B．若，为互斥事件，则C．若，相互独立，则 D．若，相互独立，则11．在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（

）A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使得C．若，则的最大值为D．满足的点的轨迹长度为三、填空题12．直线与间的距离为13．在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是14．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则

四、解答题15．如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，．(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．16．已知点，点，直线过点且与直线垂直.(1)求直线的方程；(2)求直线关于直线的对称直线的方程.17．甲、乙两人参加射击训练，甲每次击中目标的概率都是，乙每次击中目标的概率都是，假设每人每次射击的结果相互独立.(1)若甲、乙各射击1次，求甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率；(2)若甲、乙各射击2次，求甲、乙两人中至少有一人击中目标2次的概率.18．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.(1)求圆的标准方程；(2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.19．如图，四棱锥中，，．(1)证明：平面；(2)若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值；(3)若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围.

参考答案1．C【详解】A，，错误.B，，错误.C，，正确.D，，错误.故选：C2．D【详解】5个球中随机摸出2个球，共有：共10种情况，两个球的数字之和是奇数有共6种情况，所以两个球的数字之和是奇数的概率是.故选：D3．B【详解】，即，当时，解得，故该直线过定点，故选：B.4．B【详解】若，则有，解得，当时，，不重合，符合要求；当时，，不重合，符合要求；故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5．C【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，由圆外切，得，则，所以.故选：C6．C【详解】依题意，所以，所以，即.故选：C7．B【详解】设，变形得，于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率，圆的圆心为，半径为，由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点，因此圆心到直线的距离不大于圆的半径，则，解得，所以的最小值为.故选：B8．A【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面，因为平面，所以，因为在正四面体中，是等边三角形，则，是的中心，则，由题意得，则，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设与轴正半轴所成的角为，则，，所以，设直线与直线所成的角为，所以，因为，所以.故选：A.9．CD【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误；因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确；取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确.故选：CD10．ACD【详解】对于A：若，为互斥事件，所以,故A正确;对于B：若，为互斥事件，则，所以，故B错误；对于C：若，相互独立，所以与相互独立，所以，故C正确；对于D：若，相互独立，，所以，故D正确.故选：ACD11．AD【详解】对于A选项，因为平面平面，平面，所以点到平面的距离等于，因为四边形是边长为的正方形，故，因此为定值，A对；对于B选项，取的中点，的中点，连接．以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、、．设，其中、，则，，，因为，所以，所以，不存在点，使得，B错；对于C选项，，，所以，即，因为，所以，故当时，的最大值为，C错；对于D选项，，，由得，即，又因为、，所以、，所以点的轨迹为平面内的线段，即图中的线段，由图知，故满足的点的轨迹长度为，D正确．故选：AD.12．/【详解】将直线化为，所以两平行直线间的距离.故答案为：.13．【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥，所以，故答案为：.14．【详解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

设，则,，设面的一个法向量,则,即，令得，因为平面，所以,即，所以得，,所以，因为，所以．故答案为：．15．(1);(2).【详解】（1）如图建系，根据已知条件可得：，则，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离；（2）由平面的法向量为，平面的法向量为，所以平面与平面的夹角的余弦值为：.16．(1)(2)【详解】（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即.（2）由解得，故的交点坐标为，因为在直线上，设关于对称的点为，则解得所以直线关于直线对称的直线经过点，代入两点式方程得，即，所以直线关于直线的对称直线的方程为.17．(1)(2)【详解】（1）设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”.设为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，则，与互斥，所以.（2）设“甲击中目标2次”，“乙击中目标2次”.法一：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，“甲、乙两人都未击中目标2次”，与互为对立事件，，所以.法二：设“甲、乙两人中至少有一人击中目标2次”，则两两互斥，所以.18．(1)；(2)或；(3).【详解】（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为，由直线与圆相切于点，得，解得，所以圆的方程为；（2）设圆心到直线的距离为d，∵，∴，.①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；②当直线斜率存在时：设方程：，即，，整理得，解得，，即，综上：直线的一般式方程为或；（3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点A的坐标为，又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，由题可知：，，又，同理，，当且仅当时等号成立，的最大值为.19．(1)证明见解析(2)(3).【详解】（1）在平面ABCD中，因为，，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因为平面ABC，平面，所以，，又因为，以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，因为中，，所以外心为AC中点，故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设，又因为，所以，故，所以，所以，又因为，，设平面PBC的一个法向量为，于是令，得，，所以平面PBC的一个法向