【《课程内容与思政元素结合目的下三重积分教学设计》2500字】

第PAGEI页课程内容与思政元素结合目的下三重积分教学设计定积分和二重积分在三维空间上的一个自然推广得到三重积分，与二重积分的概念性质相似，与定积分、二重积分求解问题的思路方法是相通的，三重积分的计算方法可归纳为:直角坐标系下的投影法和截面法、柱面坐标变换法和球坐标变换法.三重积分的计算难度大，需要较强的空间想象能力，因此在教学中如何用形象且易懂的方式教会学生是值得思考的。三重积分的课程思政设计如下：学院数学分析课程名称三重积分课程负责人授课对象数学类专业学时1学时学分6学分教材信息数学分析第四版下册/华东师范大学数学系编授课章节第二十一章第五节课程类别专业教育课程教学目标理解三重积分的定义，掌握化三重积分为累次积分的方法，掌握直角坐标系下计算三重积分的投影法和截面法、掌握用柱面坐标变换和球坐标变换计算三重积分，能正确计算三重积分；培养学生的分析和计算能力.教学重难点重点：三重积分的定义、直角坐标系下计算三重积分的投影法和截面法、柱面坐标变换和球坐标变换计算三重积分.难点：化三重积分为累次积分教学方法PPT放映，讲授法；从微元思想、类比思想和化归思想这三个数学思想进行三重积分的教学和解读.课程思政教育内容1、探索三重积分的定义，导入微元思想，“化整为零”解决问题，引出微观与宏观的关系.2、类比二重积分学习三重积分的类比思想，引出温故而知新道理.3、三重积分计算的“土豆条法”和“土豆片”拉近数学与生活的距离，人要有探索精神，对知识要知其所以然；三重积分计算的“1+2”或“2+1”模式的化归思想，遇到挫折要坚定信念.教学过程（课程内容与思政元素结合）Ⅰ.（第0-3分钟）教学内容（一）三重积分的概念1、引入从学生的实际生活、数学知识结构基础及数学概念在实际生活中的背景出发引出三重积分这一概念.给出实例已知一个密度函数为（非负且连续）的空间立体，求解的质量.求解思路步骤与二重积分概念推导过程相似，即“分割-近似求和-取极限”；分割：把任意分割成小块，其中为小块的体积.近似：求每一小块的近似质量.在上任取一点，即质量微元求和：取极限：其中.（第3-4分钟）切入思政点：这里体现出了数学的微元思想，即“化整为零”，先分析“微元部分”，再通过“微元”结果去分析整体，运用微元思想方法解决问题时，在分解的过程中加强我们对已知规律的深入思考，从而巩固所学知识、提高解决问题的能力.由微元思想引申出微观与宏观的关系，从大的方面了解事物可以把握方向，从小的方面探索事物可以看到本质，两者十分重要，是对立与统一的.（第4-7分钟）教学内容2、形成定义对上述的求解模型总结分析，类比二重积分的定义，得出三重积分的定义：定义[6]设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数.若对任何的正数，总存在某一正数，使得对于的任何分割，只要，属于分割的所有积分和都有，则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作或其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区域.三重积分与二重积分的性质类似，学生自主去探索学习.（第7-8分钟）切入思政点：类比二重积分定义，体现出数学的类比思想，通过旧知识类比学习新内容，即解决了新问题，也复习了前面二重积分定义，所谓温故而知新，以小见大，通过细微之处，看到本质，要善于观察、发现细节.Ⅱ.（第8-25分钟）教学内容（二）三重积分的计算在直角坐标系下化三重积分为累次积分，即先把三重积分化归成二重积分，再进行定积分计算，或者先换成定积分再计算二重积分，最后转化成三次积分，这一过程体现出数学的化归思想.解决三重积分的计算，我们引入“土豆条法”和“土豆片法”[11]，这样更加形象有趣，有助学生理解和掌握计算方法，提高课堂质量.“土豆条法”图2-9图2-9如图2-9，计算三重积分时，把看成一个密度为的土豆，要求土豆的质量.考虑把切成竖的细土豆条，这些竖条垂直于平面，所有竖条所占面的位置即为整个在面上的投影区域，记作，每一根在面上的投影记为，土豆条长为到.此时需要计算土豆条的质量，然后把所有土豆条质量和起来即为整个土豆的质量.土豆条质量：一根线的质量乘上粗细，即.整个土豆质量：因此得到，，把三重积分化简成先算定积分后算二重积分，简记为“先一后二”，这个方法也叫做投影法.“土豆片法”图2-10图2-10如图2-10，要求三重积分，考虑垂直轴把切成土豆薄片，薄片的厚度为，所有薄片质量加起来得到土豆质量，即薄片质量为，土豆质量为.因此得到，这个把三重积分简化成先算二重积分后算定积分，简记为“先二后一”，该方法也称截面法.（第25-26分钟）切入思政点：“土豆条法”和“土豆片法”拉近了三重积分与实际生活的距离，利于学生理解记忆，在生活中，我们要大胆的想象与联想去解决难题，学习上要有探索精神，对于一个知识结论，不仅要知其然，而且要知其所以然.从三重积分的计算化归为“1+2”或“2+1”的模式，我们认识到处理复杂问题时，考虑分解成易的思想，把陌生的知识转化熟悉的知识，正如，当我们遇到挫折时，要坚定信念，对自己充满信心，把绊脚石当作垫脚石，运用所积累的经验去应对困难.（第26-36分钟）教学内容例题应用例1计算，其中是由平面与所围成区域（如图2-11）.图2-11图2-11此题用“土豆条法”（投影法），土豆条下底面，上底面为，整个土豆在面投影区域是型区域，于是例2计算，是由和围成的闭域（如图2-12）.图2-12图2-12此题考虑用“土豆片法”（截面法），用平面去截几何体，于是.（三）三重积分换元法Ⅲ.（第36-44分钟）教学内容柱面坐标变换由变换的函数行列式于是得到，其中是在柱坐标变换下的原像.三重积分函数含有或或积分区域在平面投影区域为圆域（或圆域一部分）时，使用该方法，方便计算.球坐标变换由于于是得到，其中是在柱坐标变换下的原像.三重积分函数含有或或积分区域边界曲面是球面（或部分球面），使用该方法，可简化计算.（第36-46分钟）教学内容例题练习例3计算其中是由曲面与为边界面的区域（图2-13）.解：在平面上的投影区域为，依照柱面坐标变换，可表示为图2-13图2-13于是有例4计算由球体和圆锥体所得到立体体积（图2-14），其中和为常数.