广东省江门市鹤山市昆仑学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/广东省江门市鹤山市昆仑学校2025−2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．空间向量中，下列结论错误的是（

）A． B．C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意3．设，则（

）A．3 B． C．1 D．x4．已知直线，则与的位置关系是（

）A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直5．圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（

）A． B．C． D．6．椭圆，则其离心率（

）A． B． C． D．7．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（

）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为二、多选题9．已知正方体的棱长为，为的中点，则下列结论正确的有（

）A． B．与所成的角为C． D．与平面所成的角正切值为10．已知直线，圆，则正确的结论有（

）A．直线l的纵截距为B．与圆C关于直线对称的圆的方程为C．直线l与圆C相交D．与直线l平行且与圆C相切的直线方程为11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆长轴两端点分别为为椭圆上异于的任意一点，则下列结论中正确的有（

）A．B．直线与直线的斜率之积C．的最大值为25D．当的面积取得最大值时的内切圆半径为三、填空题12．在空间直角坐标系中，已知，则．13．已知平面直角坐标系中两点，则线段的垂直平分线方程为．14．已知双曲线，则双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为．四、解答题15．在空间直角坐标系中，（1）已知平面的法向量分别为，，求夹角的余弦值；（2）已知直线的方向向量，平面的法向量，求直线与平面所成角的正弦值．16．已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题．（1）求过点且与直线垂直的直线方程；（2）求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积．17．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.

（1）求证：平面ADEF；（2）求证：平面BDE.18．已知，圆．（1）若，判断圆与圆的位置关系；（2）若，判断直线与圆C的位置关系；（3）是否存在定直线，使得动圆截直线所得的弦长恒为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．19．已知椭圆，焦距为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l与椭圆C相交于两点，若线段的中点M坐标为，求直线l的方程；（3）设分别是椭圆C的左、右顶点，Q为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点分别为，求四边形面积的最大值．

参考答案1．【答案】C【详解】由题意，直线，可得直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为.故选C.2．【答案】A【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误.B选项，，B选项正确.C选项，单位向量的长度为1，C选项正确.D选项，零向量的方向任意，D选项正确.故选A3．【答案】B【详解】由题意，.故选B4．【答案】D【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直.故选D5．【答案】B【详解】圆的标准方程为，所以圆心为，半径为.故选B6．【答案】C【详解】因为，所以离心率.故选C7．【答案】A【详解】依题意，方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是.故选A8．【答案】D【详解】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为.因圆关于对称，则过圆心，从而.则，当且仅当，即时取等号.故选D9．【答案】AB【详解】在正方体中，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，对于A选项，，所以，故A正确；对于B选项，，，设与所成的角为，，则，又，所以与所成的角为，故B正确；对于C选项，，，则，所以与不垂直，故C错误；对于D选项，在正方体中，易知平面，则，，设与平面所成的角为，，则，则，所以，即与平面所成的角正切值为，故D错误.故选AB10．【答案】ABC【详解】因为圆，所以圆心，半径，对于A，直线，即，所以直线l的纵截距为，故A正确；对于B，因为圆心关于直线对称点为，所以与圆C关于直线对称的圆的方程为，故B正确；对于C，因为圆心在直线上，所以直线l与圆C相交，故C正确；对于D，平行于l且与圆C相切的直线方程为，所以，解得或，所以与直线l平行且与圆C相切的直线方程为和，故D错误.故选ABC.11．【答案】AC【详解】双曲线化为标准方程：，焦点在轴上，因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，所以，A正确；记椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，则由椭圆方程可知，不妨记，设，则，又，所以，所以，B错误；由椭圆定义可知，，所以，当且仅当，即点为短轴端点时，等号成立，C正确；，所以点为短轴端点时，的面积取得最大值，设的内切圆半径为，则，所以，D错误.故选AC12．【答案】【详解】因为，所以，所以.13．【答案】【详解】依题意，，线段中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，即.14．【答案】【详解】由双曲线有右焦点，，双曲线的方程为：，，，则，，，则，双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为：，化为直线方程的一般形式：或，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，双曲线的右焦点到渐近线的距离为.，综上，双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为.15．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题意，平面的法向量分别为，，设平面的夹角为，则；（2）由题意，直线的方向向量，平面的法向量，设直线与平面所成角为，则.16．【答案】（1）（2）【详解】（1）已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以，所以过点的直线方程为，即.（2）由题意可得，直线斜率存在，所以设直线：，所以当时，，所以，当时，，，因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，所以，，又因为，所以，且，即，所以，即，解得，所以，，所以，所以的面积为.17．【答案】（1）见详解（2）见详解【详解】（1）取的中点，连接，，在中，，分别为，的中点，所以，且，由已知，，所以，且，所以四边形为平行四边形，可得，又因为平面，且平面，所以平面.（2）在正方形中，，因为平面平面，且平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以，在直角梯形中，，，可得，在中，，，因为，所以，因为，平面，所以平面.

18．【答案】（1）圆C与圆相外切（2）直线与圆C相离（3）或【详解】（1）若，则圆，所以圆心，半径.由圆，可得圆心，半径.所以，所以圆与圆相外切；（2）若，则圆，可得圆心，半径.所以点到直线的距离，所以直线与圆相离；（3）由圆，所以圆心，半径为，即，消去，得，所以圆心的轨迹方程为.设直线l交圆于两点，设到直线l的距离为，则，假设存在符合题意的定直线，则，所以，所以，解得，即圆心与直线l的距离恒为，而圆心的轨迹方程为，所以可设直线l的方程为，且，所以，解得或，所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或.19．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）由于椭圆的焦距为，所以，即.由于该椭圆经过点，则，化简得.因为，所以，所以方程变为，即.又，所以解得，所以椭圆的方程为.（2）因为椭圆图象关于轴对称，而线段的中点M坐标为，横坐标不为0，所以直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与