河北省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/河北省百师联盟2025−2026学年高二上学期12月月考数学试卷一、单选题1．已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（

）A． B． C． D．2．已知直线，则坐标原点O到直线l的距离为（

）A．1 B．2 C． D．3．已知双曲线的虚轴长为4，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．4．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．5．如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（

）A．10 B．8 C．6 D．6．已知圆，直线.若直线l被圆C截得的弦长最短，则m的值为（

）A． B． C．3 D．7．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为3的直线l交抛物线C于P、Q两点.若，则抛物线C的准线方程为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右两焦点分别是、，为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点，则下列说法中正确的是（

）A．当直线与轴不重合时，的周长为B．当直线的斜率存在，且时，若弦的中点为，则C．当直线轴时，若，则椭圆的离心率D．若，则椭圆的离心率的取值范围是二、多选题9．下列说法正确的有（

）A．直线的斜率为3B．过点，的直线方程为C．圆的圆心为，半径为1D．若，则直线与直线平行10．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则下列结论正确的有（

）A． B．C．是公差为1的等差数列 D．是等比数列.11．已知数列前n项和为，，，则下列结论正确的有（

）A．数列为等比数列 B．数列的前n项和C．数列的通项公式为 D．数列不是等比数列三、填空题12．在等差数列中，，，则公差的取值范围是.13．已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A，B的横坐标之积为，则.14．已知空间三点，，，则的形状为.四、解答题15．正项数列满足，对一切，有；为数列的前n项和.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列前n项和，求数列的通项公式.16．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上.17．已知数列的通项公式为，数列为公比大于0的等比数列，且，.（1）求数列的前n项和，数列的通项公式及前n项和；（2）令，求数列的前n项和.18．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和.（1）求数列的通项公式；（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；（3）设，，求数列的前n项和及使的n的最小值.19．如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，.（1）设棱的中点为，求直线与平面所成角的正弦值.（2）棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

参考答案1．【答案】C【详解】易知数列为递增数列，且，，，，，故选C.2．【答案】B【详解】坐标原点O到直线l的距离为.故选B.3．【答案】A【详解】因为双曲线的虚轴长为4，所以，则，所以，所以双曲线C的离心率为.故选A.4．【答案】D【详解】设等差数列的公差为．因为，所以，解得．所以，所以．故选D.5．【答案】A【详解】由题意得，所以．因为，二面角的大小为，所以，．因为，所以，所以.故选A.6．【答案】B【详解】直线的方程可化为，令，解得，所以直线恒过定点，因为，即点在圆内，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，直线的斜率为，又，由，解得.故选B.7．【答案】D【详解】由题意知，抛物线的准线方程为．因为直线过点，且斜率为3，所以直线的方程为．由消去，整理得．因为，所以设，则，．因为，所以，即，即，因为，所以；因为，所以．所以，解得，所以抛物线的准线方程为，故选D．8．【答案】C【详解】对于A选项，当直线与轴不重合时，的周长为，A错；对于B选项，当直线的斜率存在，且时，则线段的中点不在坐标轴上，设点、，则，所以，，则，因为，两式作差可得，所以，B错；对于C选项，当直线轴时，点、关于轴对称，则，由勾股定理可得，由椭圆定义可得，故该椭圆的离心率为，C对；对于D选项，设点，则，且，则，易知，，则，即，因为，所以，所以，故，所以，故，故该椭圆的离心率的取值范围是，D错.故选C.9．【答案】ABD【详解】对A，直线的斜截式方程为，所以直线的斜率为3，故A正确．对B，因为点，所以直线的斜率为，所以直线的斜截式方程为，一般式方程为，故B正确．对C，圆的标准方程为，所以圆心为点，半径为1，故C错误；对D，当时，直线的方程为，直线的方程为，可化为，所以，故D正确.故选ABD．10．【答案】BD【详解】设等比数列的公比为，因为数列是递增数列，，所以．因为，所以，解得或（舍去），所以，.因为，所以，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以，所以数列是首项为0，公差为的等差数列，故C错误；因为，所以，所以数列是首项和公比均为2的等比数列，故D正确．故选BD．11．【答案】ABD【详解】由，，可得，即有，由，可得，故数列是首项和公比均为3的等比数列，则，即，故A，B正确；由时，，当时，不符合上式，则，故C错误；由，，，但，即数列不为等比数列，故D正确．故选ABD．12．【答案】【详解】等差数列中，，，所以，解得，即公差的取值范围是．13．【答案】【详解】由直线与双曲线的对称性，不妨设，点在第一象限，则．由题意得，解得．代入双曲线的方程，得，解得．因为，所以．14．【答案】等腰直角三角形【详解】在空间直角坐标系中，，，，，，，，且，为等腰直角三角形．15．【答案】（1）见详解，，（2）.【详解】（1）因为，所以，所以数列是常数列，设（c为常数），则,所以，所以数列是等差数列，因为，所以，所以．（2）由（1）得，所以．当时，．当时，，因为不满足上式，所以数列的通项公式为16．【答案】（1）；（2）见详解.【详解】（1）当点是椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，为，由题意得．因为离心率，所以，所以．因为，所以．解得，所以，所以椭圆的标准方程是．（2）当直线的斜率不存在时，由椭圆与直线的轴对称性知，点，关于轴对称，又点在轴上，所以的平分线在轴上．当直线的斜率存在时，设为，由题意知，．由（1）知，点，则直线的方程为．由消去，整理得．恒成立，设，则．设直线的斜率分别为．因为点，所以，所以.将代入，得，所以直线关于轴对称，即的平分线在轴上．综上，的平分线在轴上．17．【答案】（1），，；（2）.【详解】（1）因为数列的通项公式为，故，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以．因为数列为公比大于0的等比数列，且，设公比为，则，解得或（舍去），所以．所以．（2）由（1）可得，所以①．②．①②得，所以．18．【答案】（1）；（2）；（3），最小值为4.【详解】（1）在数列中，①，又因为②,，所以得．又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．当时，，当时，，也满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，，因为对于任意恒成立，所以恒成立．设，则，当和时，，即；当时，，所以，所以数列的最大项是，所以，即实数的取值范围为．（3）由（1）知，所以．所以，所以.由，得，即．因为，所以当时，；当时，．所以当时，，所以使的的最小值是4．19．【答案】（1）（2）存在，【详解】（1）取的中点为，连接，由为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，由底面为直角梯形，，，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，以为坐标原点，分别以为