河南省南阳市兴宛学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学检测试卷 附解析

/2025-2026学年度高二上学期数学期中考试卷一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分）1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可求解.【详解】点关于轴对称的点的坐标为．故选：B.2.椭圆与椭圆的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，再逐项比对即可判断作答.【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，长轴长是10，短轴长是6，焦距是8，离心率是，椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，长轴长是，短轴长是，焦距是8，离心率是，由于k值的变化，则在所给选项中，椭圆与椭圆只有焦距相等.故选：D3.已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，利用点到直线距离求出b的取值范围.【详解】因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，因此有，故本题选D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想.4.经过点且与直线垂直的直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可.【详解】设与直线垂直的直线方程为，将点代入，可得，解得，可得所求直线方程为，故B正确.故选：B.5.在空间四边形中，分别是的中点，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】由题意易知是的中位线，即，所以.故选：C6.在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可.【详解】依题意，得，．因此在上得投影长为，所以点到直线的距离为．故选：B．7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】由条件可得为正三角形，继而得出直线为线段的垂直平分线，写出直线的方程为并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由利用弦长公式推出，结合图形将化简转化，利用椭圆的定义即可求得.【详解】如图，连接因为，即，，因，则为正三角形.又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且，故直线的方程为，代入椭圆的方程，得.设，则，，则，解得，则，.故选：D.8.已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.【详解】因为点，在直线l上，直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为，解得.故选：A.二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分）9.已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（）A.直线l在y轴上的截距为B.向量是直线m的方向向量C.直线l与m的交点坐标为D.直线l，m与x轴围成的三角形的面积为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，根据直线l的方程，令，即可求解判断；对于B，根据直线l的斜率先得到直线m的斜率，即可得到直线m的一个方向向量，进而判断即可；对于C，先求出直线m的方程，再联立直线m与直线l的方程即可求解，进而判断；对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，则直线l，m与x轴围成的三角形即，进而求出的坐标，再计算面积即可判断.【详解】对于A，由直线，令，得，所以直线l在y轴上的截距为2，故A错误；对于B，由直线，则直线l的斜率为，因为，所以直线m的斜率为，所以直线m的方向向量可以是，因为，所以是直线m的方向向量，故B正确；对于C，由题意知，直线m过点，所以直线m的方程为，即，联立，解得，所以直线l与m的交点坐标为，故C正确；对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，则直线l，m与x轴围成的三角形即，由直线，令，得，则，由题意及C选项分析可设，，所以，则的面积，故D正确.故选：BCD.10.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（）A. B.C.的面积是 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据焦点坐标计算求解得出进而判断A，D，再应用圆的性质及三角形面积计算判断B，C.【详解】由题意知，，，直线l的方程为，直线AB的方程为.由消去y，整理得，解得或.因为圆F与准线l相交，所以，所以点A的横坐标，所以，，所以，，，故A正确.因为，所以由圆的对称性可知，，所以，，故B正确.由圆的对称性可知，点，所以.因为，所以点B到直线l的距离，所以的面积，故C错误.由以上分析可知，，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由题意可得方程，联立曲线即可解出A，B两点坐标，结合两点间距离公式与向量数量积逐项计算即可得.【详解】由题意可得，则，联立可得，解得或，即，，对A：，故A正确；对B：，故B错误；对C：，，则，故与不垂直，即不为，故C错误；对D：，又，故，故D正确.

故选：AD.三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分）12.已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】根据向量的线性运算可表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角运算求得，由此可得所求余弦值.【详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：.13.设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________．【答案】【解析】【分析】利用点差法求解即可．【详解】设，，则，，所以，也即，因为，的中点为，所以，，所以，所以，所以直线斜率为，经检验满足题意．故答案为：14.已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为_____．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解.【详解】由题意得直线，即，由平行线间距离公式得这两条平行线之间的距离为.故答案：四、解答题（本题5小题，共77分）15.已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且．（1）求圆的方程；（2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案；（2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解.【小问1详解】由圆的方程得圆心，因为圆心在直线上，所以，解得，故圆心坐标，取中点为，连接，所以，圆心到直线的距离，因为，所以，在直角中，，即，所以圆的方程为.【小问2详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，此时直线与圆相切，符合题意；当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.16.已知双曲线C的方程为实轴长和离心率均为2．（1）求双曲线C的标准方程；（2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解；（2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解.【小问1详解】由离心率，又，则，又实轴长，所以，所以，故双曲线的标准方程为；【小问2详解】∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，∴的方程为，设，由，消去，得，∴，∴．17.如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直；（2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解；（3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以，由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则即，解得，，所以，所以点到平面的距离.【小问3详解】由（2）得，，设平面的一个法向量，则即令，解得，，所以，由（2）知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则.18.已知空间中三点，，，设，.（1）求与的值；（2）已知向量与互相垂直，求k的值.【答案】（1），（2）5【解析】【分析】（1）由向量夹角公式即可求解；（2）由向量垂直的坐标表示即可求解.【小问1详解】因为，，，所以，，所以，，.【小问2详解】，因为向量与互相垂直，所以，解得．所以的值是5.19.如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）证明：直线与平面相交.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果；（3）根据平面一个法向量与直线方向向