湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量数学检测试卷 附答案

/湖南省湘一名校联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．在中，，则最大的内角为（

）A． B． C． D．3．设等差数列的前项和为，若，则的公差为（

）A．2 B．3 C．4 D．54．在平面直角坐标系中，是不同于原点的两个点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，设，则（

）A． B． C． D．5．若为偶函数，则（

）A． B． C．0或 D．6．在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知，则（

）A． B． C． D．8．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为，若，则的斜率为（

）A． B．-1 C． D．二、多选题9．设，则（

）A．B．C．D．10．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．两个函数的图象在处的切线互相平行B．存在实数，使得C．函数在上单调递增D．的图象可由的图象绕某个点旋转得到11．已知双曲线的左､右焦点分别为，且到的渐近线的距离为2.过点且不与轴重合的直线与的左､右两支分别交于点和点的中点为，坐标原点为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则的面积为三、填空题12．已知复数，且，则..13．已知正数满足，则.14．已知集合，甲､乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望.四、解答题15．记数列的前项和为，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16．某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示：（1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；（2）由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程.参考数据：设，则.参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.17．如图，在正四棱锥中，点在棱上，点在棱上，且.（1）证明：平面；（2）若分别为所在棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.18．已知函数.（1）若，求的最大值；（2）证明存在唯一的极大值点，且；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.19．已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点和右顶点分别为，.（1）求的方程.（2）已知过点的直线与交于两点，过点且与垂直的直线与交于两点，在轴的上方，分别为的中点，直线与交于点.（i）求证：直线过定点；（ii）求面积的最小值.

参考答案1．【答案】A【详解】由.故选A2．【答案】C【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为，由余弦定理得，由，所以.故选C3．【答案】B【详解】设公差为，则，解得.故选B4．【答案】D【详解】如图，由题意知，因为，所以.故选D5．【答案】A【详解】若为偶函数，又，则或，解得或，若，则，若，则，所以.故选A6．【答案】B【详解】如图所示，要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交，因为是的中点，所以，因为，，所以，所以，在长方体中，，所以，所以，同理可得，即，因为，所以，即，所以，即实数的取值范围是.故选B.7．【答案】B【详解】由题意得，即，即，得，又因为，所以，因此.故选B.8．【答案】D【详解】易知，设直线，，，由，得.则.从而，所以.由，得，即.而，代入可得（正根舍去），由，解得，从而的斜率为.故选D.9．【答案】BD【详解】对于A，令，则，故A错误；对于B，由的系数为，故B正确；对于C，令，则①，令，则②，①+②可得，，故C错误；对于D，对原方程两边求导，有，令，得，故D正确.故选BD10．【答案】ACD【详解】对于A，求的导数得，故；求的导数得，故.两函数的图象在处切线斜率相等，且、，切线不重合，故切线互相平行，A正确.对于B，：当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取最小值.：当时，，单调递增；当时，，单调递减，故在处取最大值.因，故的值始终大于的值，不存在实数使，B错误.对于C，设，.当时，，故分子，即，故在上单调递增，C正确.对于D，若函数与关于点中心对称，则对任意，有.，对应得，；，，故与的图象关于点对称.而关于点对称的图形绕其对称中心旋转后会与另一图形重合，因此的图象可由的图象绕点旋转得到，D正确.故选ACD11．【答案】ABC【详解】对于A，由双曲线的焦点到渐近线的距离为，可知，故A正确；对于B，如图（1），取的中点，连接，可知，由三角形的三边关系，得，因此，故B正确；对于C，如图（2），可知是的中位线，因此，又，因此，故C正确；对于D，易知的半焦距，如图（3），设，因为点在左支上，所以；因为点在右支上，所以.所以.因此，连接，可知.在中，有，解得.因此，从而的面积为，故D错误.故选ABC.

12．【答案】2【详解】由，得，所以，又，故.13．【答案】16【详解】因为，所以.14．【答案】【详解】方法一：的所有可能取值为，设甲､乙两人抽取的子集分别为，因为的子集一共有个，故所有的抽取结果有种，要得到，先从5个元素中选个公共元素，有种方式，对于剩余的个元素，每个元素有3种状态：（1）仅在中；（2）仅在中；（3）既不在中，也不在中，故共有种方式，所以，的分布列为：012345所以.方法二：设甲､乙两人抽取的子集分别为.对于中的每个元素，定义，则，所以，对每个有一半子集中含有，另一半子集不含，即，所以，所以，故.15．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，，得，当时，，得，整理得，所以从开始成公比为3的等比数列，则.综上，；（2）由（1）得，当时，，当时，，则，两式相减，得，所以也满足该式，故.16．【答案】（1）（2）.【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，故所求概率为.（2），由题知，，，，，故.17．【答案】（1）见详解（2）.【详解】（1）连接，与交于点，连接，如图所示，根据正四棱锥的性质可知平面.所以，又，又平面，所以平面，又平面，所以.又，又平面，所以平面.（2）连接.由（1）知平面，所以.因为是的中点，是的中点，所以，所以.又是的中点，所以，从而是正三角形.如图，以直线分别为轴建立空间直角坐标系.设，则.因为平面，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，因为，所以，令，解得，所以平面的一个法向量为.所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18．【答案】（1）0；（2）见详解；（3）.【详解】（1）当时，，则.易知在上单调递减，且，当时，单调递增，当时，单调递减，因此的极大值即最大值，为；（2），设，因为，所以在上单调递减，又，时，，因此，使得，即，即，当时，单调递增，当时，单调递减，因此存在唯一的极大值点，，当且仅当时等号成立，得证.（3），即，因为，所以，当时，不等式恒成立；当时，不等式转化为恒成立，设，所以，令，解得，则在上的单调性如下，在上，单调递增，在上，单调递减，所以在内有唯一极大值点，即，从而，当时，不等式转化为恒成立，令，解得，则在上的单调性如下，在上，单调递减，在上，单调递增，所以在内有唯一极小值点，则，从而，综上，的取值范围是.19．【答案】（1）；（2）（i）见详解；（ii）.【详解】（1）设的半焦距为，由题