江苏省南通市通州区实验中学2025-2026学年高一上学期1月数学检测试卷 附答案

/江苏省南通市通州区实验中学2025-2026学年高一上学期1月质量监测数学试题时间：120分钟分值：150分一、单选题(每题5分)1．设函数.已知，，且的最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（

）A． B． C． D．3．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（

）A． B． C．0 D．5．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（

）A． B．C． D．6．设甲：，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7．函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．8．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．二、多选题(每题6分）9．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B．C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为10．已知，，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．11．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称三、填空题（每题5分）12．若函数的近似零点在区间内，，则.13．求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是．14．函数的零点个数为.四、解答题15．已知．(1)化简函数；(2)若，求和的值．16．（1）已知，在第二象限，求，的值；（2）已知，求的值．（3）已知，且，求的值；17．已知函数.(1)求函数的单调增区间；(2)当时，求的值域.18．已知函数的一段图象过点，如图所示．(1)求函数的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；(3)若，求的值.19．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．1．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以.故选：B.2．B【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，即的对称中心是，即，又，则时最小，最小值是，即.故选：B3．D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.

4．D【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以，即，当时，，所以当，即时，故选：D5．B【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.6．B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B7．A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.8．D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.9．BC【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论．【详解】由函数的部分图象可知：，又因为，即结合函数的单调性可得,故A错误；即所以,故B正确；所以．对于选项C：当时，可得，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于选项D：当时，，所以，即，故D错误；故选：BC．10．AB【分析】结合同角三角关系将平方即可求解即可判断A，再利用平方关系求解判断B，化切为弦通分即可求解判断C，解方程即可求解判断D.【详解】由，得，所以，故选项A正确；因为，，所以，，又因为，所以，故选项B正确；因为，故选项C错误；由，，所以，故选项D错误；故选：AB11．ACD【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，所以，对于B，当时，，所以，所以的值域为，故B错误；对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．故选：ACD．12．2【分析】通过可得函数零点在区间上，由此可确定的值.【详解】∵，∴函数零点在区间内，∴.故答案为：2.13．【分析】利用零点存在定理可得出结果.【详解】令，则，，由因为，因此，下一个有根的区间为.故答案为：.14．2【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解.【详解】函数的定义域为，由得，函数的零点即方程的根，作函数和的图象，如图，由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点．故答案为：.15．(1)；(2)，.【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得.（2）由（1）的结论，结合正余弦的齐次式法计算得解.【详解】（1）.（2）由（1）知，即，所以；.16．（1）；（2）；（3）【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到；（2）由题知，再将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果；（3）结合同角三角函数关系解出方程即可.【详解】（1）在第二象限，，.（2）因为，所以，所以.（3）因为，等式两边同时平方可得，，所以，又，所以，又，所以，则，，所以，所以.17．(1)(2).【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可；（2）先由，求出，然后转化为正弦函数的值域问题求解即可.【详解】（1）由，所以函数的单调增区间是.（2）由，可得，从而，所以.所以的值域为.18．(1)(2)(3)【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式；（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由可求出，进而得到的值域；（3）根据可求出，由此求出，进而得到的值.【详解】（1）由图知，，则.由图可得，在处最大值，又因为图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过，故，得.所以函数的表达式为．（2）由题意得，，因为，所以，则，所以，所以在区间上的值域为.（3）因为，所以，即，又因为，所以，由，所以.所以，所以.19．(1)；(2)，；(3)．【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式；（2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；（3）结