四川省“元三维大联考”2023级高三第二次诊断考试数学(即绵阳二诊B卷)含答案

秘密★启用前【考试时间：2026年1月21日15:00—17:00】2023级高三第二次诊断考试2.考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用2B须用0.5mm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上。选择题和非选择题的答案写在试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.12.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|log₂x<1},则A∩B=A.(0,1)B.(-1,4)C.(0,2)3.若直线l₁:2x+y-1=0与直线l₂:ka-y=0(k∈R)平行，k=4.在△ABC中，BD=DC,若AB=a,AC=b,则AD=5.已知,则tana=A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件数学试题第1页(共4页)7.已知表面积为6π的圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的体积为8.已知抛物线E:y²=4x的准线为l,P为E上的一点，PA⊥1于点A,直线PB与圆二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最小值为-1A.f(x)为偶函数C.存在实数a,使得f(x)为减函数11.设双曲线C:,b>0)的左，右焦点分别为Fi(-c,0),F₂(c,0),圆F:(x+c)²+y²=4a²与C的左支在第二象限的公共点为A,线段AF₂的垂直平分线1与C的右支在第一象限的公共点为B,△ABF₂的面积为S,则A.|AF₂|=4aB.A,B,F₁三点共线C.F₁,F₂到I的距离之积为2b²数学试题第2页(共4页)数学试题第3页(共4页)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量a=(-2,1),b=(x,2),13.已知数列{a}是等差数列，且a₄=2,a10=8,则{an}的前13项和等于通信屏蔽罩，其高为√3,底面圆直径AB=2,且点C满足AB=2BC.现在A点处固定一枚无线电信标，且在C点有一微型无人机(视为以直线航迹从点C飞行到Q处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到A点，设飞行路径总四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2a,且sinC=cosA.16.(15分)已知等比数列{an}的首项为1,前n项和为Sn,且(1)求{an}的通项公式；(2)求使Sn>2a成立的n的取值范围.17.(15分)已知椭圆C:的离心率为,短轴长为2√2.(2)P为C上一点且在第一象限，点M(-2,0),N(2,0),延长PM,PN分别交椭圆C于A,B两点.(i)若PM=5MA,求直线AB的斜率；(ii)连接AN,BM,记△PMB的面积为S,△PAN的面积为S₂,求S₁-S₂的最大如图1,直三棱柱ABC-DEF的底面是边长为2的等边三角形，且AD=4.图2所示的多面体厂，可视作将图1中的△DEF在其平面内绕其中心逆时针旋转60°后，记为△A₁B₁C,并重新连接A₁B,B₁B,A₁A,B₁C,C₁A,C₁C得到.(1)如图2,证明：A,B,C,C₁四点共面；(2)求多面体厂的体积；(3)若点P在多面体I的棱BB₁上，求AP与平面A₁BC所成角的正弦值的最大值，并求出此时点P在BB₁上的位置.数学试题第4页(共4页)元三维高中2023级第二次诊断性考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：(1)∵c=2a,由正弦定理：sinC=2sinA,…………1分…6分,………9分16.(1)设等比数列{an}的公比为q,第2页共6页化简得解得……………………12分∴n可以为全体正的偶数及大于等于3的奇数，∴n的取值范围为{n|n≥2,n∈N}………………15分17.解：(1)∵f'(x)=(2x+1)eˣ-1………2分∴f'(1)=3e-1,且f(1)=e…………3分则f(1)为f(x)的最小值，也是f(x)的极小值……7分下面验证：a=3e时，f(x)的最小值为e.令g(x)=f'(x)=e*(2x+1)-3e,·,g'(x)<0,f'(x)为减函数，且f'(x)<0;…10分…10分…12分∴f'(x)必有唯一零点且等于1,……18.解：(1)∵2b=2√2,则b²=2,则则解得：a²=8, 则由PM=5MA则由PM=5MA,且PM=(-2-x。,-y%),MA=(x₁+2,y),……联立①和②可解得：x₀=2,yo=1,故P(2,1),,………8分(3)设P(x₀,y%),A(x₁,y),B(x₂,y₂),则故直线PA:可得：(x?+4y2+4x₀+4)x²+16y²x+16y2-8x²-32x₀-32=0,……又x²+4y2=8,代入上式化简整理可得：(3+x。)x²+4y2x-3x?-8x₀=0由韦达定理：,解得：代入直线PA:解得：同理：直线PB斜率,故直线PB:又x²+4y2=8,代入上式化简整理可得：(3-x。)x²-4y2x-3x²+8x₀=0,……13分……15分,……16分19.解：(1)证明：旋转后A₁C₁//BC,所以A₁,B,C,C₁四点共面；………3分(2)一种思路是发现多面体(2)一种思路是发现多面体I实际由两个完全相同的四棱锥拼接而成，即B₁-A₁BCC₁与A-A₁BCC₁,求其中任意一个四棱锥的体积即可.另一种思路是将该多面体补成一个上下底面均为正六棱柱，再减去6个全等的小三棱锥的体积，这个上下底面均为正六边形的棱柱的体积为8√3,每一个小三棱锥的体积为(3)如图所示，以底面中心O作为坐标原点，建立空间