数列-高二数学期末复习专项训练（解析版）

题型六等差数列的前n项和公式 题型十三前n项和与n比值问题 题型十六等比数列的前n项和 1122A.B.C.D.所以an=A.BC.D.n+1=an+-可得：an+1-an=-(|a2-a1=1-:{|a3-a2=-n-an-1=--:an-a1=1-+-+…+--=1-=，3.已知数列{an{中，a1=4,(n+1(an+1=(n+2(an，则an=.【详解】“(n+1(an+1=(n+2(an，a1=4， :=，即=，33,n-S,n-Sn-1,n=1n≥22+…+3n-2an-1=(n-1(.3n-1，与原式相减得+1(，所以(an+2-an+1(-(an+1-an(=2，2-a1=4所以an=(an-an-1(+(an-1-an-2(+...+(a2-a1(+a1=n(n+1(，构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{Fn{可以用如下方法定义：Fn=Fn-1+F:数列{Fn{为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，44∴F . 所以数列{an{是周期为8的周期数列，55A.6B.C.3D.， =()A.-1B.1C.-2D.2n+2=an+1-an，所以an+6=an+5-an+4=(an+4-an+3(-an+4=-an+3=-(an+2-an+1(=-[(an+1-an(-an+1[=an，故数列{an{是以周期为6的周期数列，18-33+9=-6，所以{an{中最小项的值为-6.()A.充分不必要条件B.必要不充分条件66C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.{an{的第2项小于2C.{an{为递减数列D.{an{中存在小于的项．2-2=0，nnn-1=，n-1+2an-2an-1=0，n-1an-1，解得an=-2±4+8a-1=-1±、1n-1an-1，77集合M={k|ak=bk,k∈N*{，若{an{为39．则{an{的公差为(A.1B.2C.3D.6 88通项公式.n-bn-1=2(n≥2(，n=3+2(n-1(=2n+1.99AB.4051CD.n2Tn-1=Tn-1-Tn，所以所以题型六等差数列的前n项和公式A.Sn=2n2-8nB.Snn2-2nC.an=3n-10D.an=2n-5所以an=-3+2(n-1)=2n-5，Sn=-3n+n(n-1)=n2-4n，ABC错误，D正确.公式求解.:d===2，又“=+5d，:=-8，:Tn=(-8(n+.2=n2-9n.A.a2=4B.b2=4C.bn=2nD.Sn=2n=()A.B.C.D.所以==2-.T=2(1-+-+-+-+…+-+-=2(1+--=.8+8=5+6=()4=78+8=6=9.a8=2×+a10=a3+a8=20，A.B.-3C.3D.6+a10=-4，则a6,a10<0，()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件=ac，=ac，A.S5B.S6C.S7D.S8A.d<0B.|a7|<|a8|n最大D.使Sn>0的n的最大值为13n<0，n*=()38.(24-25高二下·陕西渭南大荔县·期末)已知数列{an{和{bn{都是等差数列，且前n项T a2+a8=a2+a8=a2+a8=a1+a9=×9=S9=2×9-1=173+1+1+1+1+9T40.(24-25高二上·安徽宣城·期末)已知两个等差数列{an{和{bn{的前n项和分别为Sn和Tn，且a9=2a9=a1+a17==S17=3×17+5=56=71+241.(24-25高二下·河北石家庄辛集·期末)等差数列{an{,{bn{的前n项和分别是Sn,Tn，且=,则=()A.B.C.D.n=kn(2n-1(,Tn=kn(3n+2(，由an与Sn的关系计算可得.n=kn(2n-1(,Tn=kn(3n+2(，n=Sn-Sn-1=kn(2n-1(-k(n-1((2n-3(=k(4n-3(，bn=Tn-Tn-1=kn(3n+2(-k(n-1((3n-1(=k(6n-1(，所以==所以谷雨日影长为a9=a1+8d=13.5-8=5.5(尺). 值为()A.15B.CD ()n=an+1-an，-6=5，A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件+q-2(d，as+at=2a1+(s+,则m=()A.7B.8C.9A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件n-1(d,am=a1+(m-1(d,n-1(d.2(p-1(d,am+an=2a1+(m+n-2(d，p-(am+an(=2a1+2(p-1(d-2a1-(m+n-2(d=(2p-m-n(d=0，n=Sn-a3n则an=a1+d(n-1(=dn+a1-d,Sn=na1+=n2+(a1-n，解得an=a1+(n-1(d=2n,Sn==n2+n，n=Sn-a3n=n2+n-6n=n2-5n，n>0，+b2+3+4=-20．题型十三前n项和与n比值问题=-2，则S2025=.由-=(a1+d(-(a1+d(=d，因S12-S10=2D=-2，解得故=2025+(n-1)×(-1)=2026-n，S6=()n.52.(24-25高二上·广东深圳深圳实验学校高中部·期末)设等差数列{an{的前n项和为Sn，若Sm-1=A.4B.5C.6D.7n公式求出m.nn=Sn-Sn-1(n≥2).m-1=-2，Sm=0，那么am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2.m+1=Sm+1-Sm=3-0=3.所以公差d=am+1-am=3-2=1.-2+(m-1)×1=2,得m=5.53.(24-25高二上·福建泉州·)(多选)数列{an{满足：a1=1，an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2(，则()A.a3=9B.an=n2-1-1(nan{的前8项和为-36n-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2(，所以,当n≥2时,an=(an-an-1(+(an-1-an-2(+…+(a2-a1(+a1=(2n-1(+(2n-3(+…+3+1=n2，n=n2(n数列{(-1(nan{的前8项和为-12+22-32+42-52+62-72+82=36，故D错误.54.已知等比数列{an{满足a1+a2=9,a2+a3=18，则a3+a4=()可得an-n=2n-1，所以an=n+2n-1，-1=46.n当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1(，得an=2an-1，57.(24-25高二下·江西九江第一中学·期末)已知Sn为等比数列{an{前n项和，若a4=6a3-9a2，则A.10B.9C.6D.42=6a2q-9a2，2≠0所以====1+q2=10.n-1n=1×4n-1=4n-1.n-1.A.annB.annC.an=-2nD.an=(-2(nn-1+2=2an-1，n-3Sn-1=2an-2an-1，即3an=2an-2an-1，所以an=-2an-1，+2=2a1所以数列{an{是以-2为首项，公比为-2的等比数列，所以数列{an{的通项公式为an=-2.(-2)n-1=(-2)n.60.(24-25高二下·贵州黔西南布依族苗族兴义第一中学·期末)记Sn为各项均为正数的数列{an{的前A.a1=B.an=2nC.是递增数列D.Sn=2n-1+1=2an-2，利用n≥2时，an=Sn-n-2，A.a2=2B.an=2n-1C.S2=2D.Sn题型十六等比数列的前n项和 . n-1nn*).n-1A.B.n.3nC.1+(14n-8(3n-2D.+-3n+1可.A.-3n-1B.-3nCDn案.n-1-3an-1=1，则2(Sn-Sn-1(-3an+3an-1=0，设第n个正方形的边长为an,则第n个正方形的对角线长为2an，所以第n+1个正方形的边长为anan66.(24-25高二下·陕西汉中·期末)记Sn为等比数列{an{的前n项和，若S6=3S3,S9=14，则S6=()A.4B.6C.7D.8=6.{an{的公比为()A.2B.C.-D.-2公比.9-S6=-8(S6-S3(，所以q3=-8，解得q=-2. =λ(λ≠0(，根据等比数列的前n项和的性质列式求解即可.8-S4，S12-S8成等比数列．46=.4=4-S2=6，所以S6-S4=3，()2=a3-d=,a6=a3+3d=，6的等比中项为±a2a6=±5.【答案】-,，(或-2,4)(两组任写一组即可)若顺序调整为m,1,n或n,1,m，即m+9=()A.-20B.14C.16D.18.3a=a3a6，a1=-2，故(-2+3d(2=(-2+2d((-2+5d(，解得d=2或0(舍去)，故a9=a1+8d=-2+16=14.73.(24-25高二下·四川雅安·期末)已知等差数列{an{的首项为1，a6是a3和a9()A.-9或1B.-7或1C.1D.-7即(1+5d(2=(1+2d((1+8d(，解得d=0，A.820TBB.825TBC.827TBD.851TB根据等差数列通项公式可得an=100-5(n-1(=1n≤4D1A2A.a3=3n判断BC.所以a3=2=3n1-，有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞248A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1+q2=0-2(n-1，若a1=31=5可得数列{an{与数列{bn{不存在无穷多个公共项，A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件果.A.aB.S15-S7=4amam+1=，所以am+am+1=+=，+1为第k组第i和第i+1个，则am+a所以满足Sn≤2024的n的最大值为9.n=或q=-，Tn2.….a1qn-1n(n-1(n(n-1(3n.3-n2+n=3-n2+n*84.(24-25高二下·山东日照·期末)定义在(0,+∞(的增函数f(x(满足：f(x(+f(y(=f(xy(-1，且 ()A.7B.8C.9和公式计算可得.n-1=211-n， (21-n(n-n+21n则T.86.(24-25高二下·辽宁五校联考·期末)已知数列{an{为等比数列，则“数列{an{为单调递增数列”的 A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.非充分非必要n2-1)>0，n+1=anq>ann+1=anq>an*有an+2>an87.(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知单调递增数列{an{的通项公式为an=3n+A.B.C.D.n+1>ann+1+λ(-2)n+2>3n+λ(-2)n+1恒成立，n+1+-388.(24-25高二下·北京中国人民大学附属中学·期末)设无穷等比数列{an{的前n和为Sn，则“*,S2n>2SnA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件<0且0<q<1，+qn,(q≠1(恒成立，+qn(>a1,(q≠1(恒成立，则a1>0且0<q<1，此时{anqn((1+qn(>a1(1-qn(,(q≠1(即a1(1-qn(qn>0,(q≠1(恒成立，89.(24-25高二下·广东江门·调研)已知数列{an{的前n项和为Sn，且Sn=2an-2n，设bn=A.(-∞,3(B.(-∞,4(C.(3,+∞(D.(4,+∞(2a1-2n=Sn-Sn-1=2an-2n-[2an-1-2(n-1([=2an-2an-1-2,(n≥2(，从而an=2an-1+2,(n≥2(，所以an+2=2(an-1+2(,(n≥2(，n-1n=2n+1-2，n=(n-λ(log2(an+2(=(n-λ((n+1(=n2+(1-λ(n-λ,n+1-bn=(n+1(2+(1-λ((n+1(-λ-[n2+(1-λ(n-λ[=2n+1+1-λ=2n+2-λ>0恒所以实数λ的取值范围是(-∞,4(.90.(24-25高二下·河北部分名校·期末)已知Sn为数列{an{的前n项和，且Sn=2an-2，若λan≥n=Sn-Sn-1=2an-2-2an-1+2，化简得：an=2an-1故答案为：,+∞(91.(24-25高二下·河南南阳六校联考·期末)已知数列{an{的前n项和为Sn，且a1=2，2Sn=an+1- ()A.1B.C.D.2=nn=3n-1．n+1-18，823n+1-12∴Tn=--+-+......+-=-.3≤1n+1-18，823n+1-12=(-1)nA.-B.-1CD值.n=Sn-Sn-1=n2-(n-1(2=2n-1，-q2(，8=(1)证明：{an-1{是等比数列；(2)求{an{的前n项和Sn.n+1-1=3(an-1(，n-1=3n 3(1-3n(3(3n-1( 3(1-3n(3(3n-1(-1{的前n项和为Tn．n又a所以1-n=22-n，所以Tn=(b1-1(+(b2-1(+(b3-1(+…+(bn-1(<成立；<成立；因为n-1>0<.n=(2n-1((an+1(，求数列{bn{前n项的和Tn．n-1n=(2n-1((an+1(=(2n-1(.2n，3+…+bn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1(×2n，所以2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3(×2n+(2n-1(×2n+1，所以-Tn=21+2×22+2×23+2×24+…+2×2n-(2n-1(×2n+1，所以Tn=(2n-3(×2n+1+6.97.(24-25高二下·辽宁沈阳重点高中联合体·期末)已知正项数列{an{的=Sn+Sn+1．(1)证明见解析(2)(n-1)2n+1+2(1)证明：因为a+1=Sn+1+Sn，所以a=Sn+Sn-1(n≥2两式相减得a+1-a=an+1+an(n≥2)，n+1+an≠0，所以an+1-an=1(n≥2)，2+2a1=a2+22=2或a2=-1(舍去)，则a2-a1=1两式相减得-Bn=2+22+23+…+2n-2n+1.n=-2n+1.n=(1-n)2n+1-2，所以Bn=(n-1)2n+1+2，即数列{bn{的前n项和Bn=(n-1)2n+1+2.则cn====-，所以Cn=-+-+…+-=-．nTn=Tn-Tn-1=2n，n+1,n-1n=Sn-Sn-1=n2-(n-1(2=2n-1，n-1n-1，则T3Tn-1-2n.3n(1)证明数列{an-2n{是等差数列，并求{an{的通项公式；3n-1所以an-2n-(an-1-2n-1(=3，-2=2，3n-1．(1)an=3n-1(1)根据给定条件，利用an=Sn-Sn-1,n≥2求出数列通项公式.(1)数列{an{中，a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n-1)3n+1，当n≥2时，a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=(n-2)3n-1+1，两式相减得(2n-1)an=(2n-1).3n-1，解得an=3n-1，所以{an{的通项公式为an=3n-1.T=+++…+，则Tn=+++…++，两式相减得Tn=2+++…+-=2+-=-，(1)an=n+1(1)设等差数列{an{的公差为d，即数列{an{的通项公式为an=2+(n-1(×1=n+1；(2)由==-，所以Tn=++...+=-+-+...+-=-= .Tn.(1)证明见解析；--1=Tn-3，即Tn-Tn-1=3，=a1所以S2n+++++++=-1+1=-6n=-3n46n+44(6n+4)12n+8.n{的通项公式.(1)证明见解析；n=2n-n.n=++…+=(1-+-+…+-=1-=；n+1+n+1=2(bn+n(，==2≠0，n+n=2nn=2n-n.(1)an=n(1)由等差数列定义结合等比中项解题即可；n=1+(n-1(×1=n.106.(24-25高二下·云南曲靖会泽县·期末)已知数列{an{满足a1=1，a2=3，且对任意an=3an-1-2an-2，数列{bn{满足b1=1，bn=an-an-1(n≥2(n=3an-1-2an-2(n≥3(，bn=an-an-1(n≥2(，≥3(．即(-1(n对任意的正整数n恒成立，所以λ<f(2(=；所以-λ<f(1(=3，解得λ>-3．107.(24-25高二下·海南海口·期末)已知数列{an{的前n项和为Sn，若点(n,an((n∈N*(都在函数f(x(n=(n+1(log1bn．22n-an-1=2n-2(n-1(=2,(n≥2(，n=(n+nn=n.n，n(1)因为数列{an{是公差为3的等差数列，所以an=a1+3(n-1(，2n=2an+1可得a1+3(2n-1(=2[a1+3(n-1([+1，解得a1=2，所以{an{的通项公式为an=2+3(n-1(=3n-1．由Sn<3an得<3(3n-1(，由于5<<<<6，所以n的最大值为5．(2)若+++…+>1000，求满足条件的最小整数n．(1)证明见解析-1=-1(．令f(n(=n，易知f(n(单调递增．因为f(999(=1000-由于数列{an{各项均为正数，1=-，2k-1+b2k=(-1)2k-1.+(-1)2k1=-，2k+1=(-1)2k.+(-1)2k+1.=-=-，2k+2k+1(=--<0，1=-，m=[-2+(3-4(+(5-6(+...+(m-m-1([<0，m=[(-2+3(+(-4+5(+...+(-m+m+1([=×=，1=-，设T①-②可得Tn-1；n-1+3n-2,Tn=3.2n+--3n-1；n-1+3n-2，T4+…+3n-2n-1；n+1-an=annn-1=2n-1；n-1-log42n=，-(1+2+…+n)]=-=2n--1.(1)证明：{f(n(+1{是等比数(2)求f(1(+f(2(+f(3(+…+f(n-1(+f(n(.(2)(3n-1(-nn所以f(1(+f(2(+f(3(+…+f(n-1(+f(n(=31+32+…+3n-n=-n=(3n-1(-n.nn=3×3n-1=3n，所以数列{an{的通项公式an=3n.可得Tn=+++…+，则Tn=+++…+，两式相减，可得Tn=++++…+-，因为Tn+1-Tn=--=>0，综上可得：≤Tn<.115.(24-25高二下·江西景德镇·期末)数列{an{的前n项和Sn,a1=e2,enan+1-en+1an=e2n+2(1)证明见解析(1)左右两侧同除en.en+1后再利用等差数列的定义求解(1)因为enan+1-en+1an=e2n+2，且en.en+1≠0，n-n-=e，n+1=n+1n+1-bn=1，故数列{bn{是公差为1的等差数列，欲证Tn≤,则证+cn≤,即证cn≤n即可，(i)求t的值及数列{an{的通项公式；(1)(i)t=-；an=22n-1-；(ii)Tn=22n-1(1)(i)因为an+1=a+an+t，则an+1+=(an+2+t+，则log2(an+1+=qlog2(an+=log2(an+q，t=-，且a1=可得an+1+=t=-，且a1=可得log2(an+=1×2n-1=2n-1，所以an=22n-1-；(ii)因为bn=an+=22n-1，1-22=21+2+2+...+2=21-2=22-1.n+1=a+an，n+1-an=a≥0，且a1=>0，可得an+1-an>0，可知数列{an{为递增数列，则an≥,所以Sn=-+-+...+-=-<.<2.(1)a1=12--36a2+9=0，-an=-=--，所以b1+b2+…+bn=-+-+…+--=2-，+5{是等比数列；(2)求数列{nbn{的前n项和Sn.n=(n-1(2n+2-n2-n+4.等比数列.n.*，n+1-5.n+1-5n，则T2T 2(1-2n(1-2两式相减得-Tn=22+23+24+...+2n+1-n× 2(1-2n(1-2所以Tn=(n-1(2n+2+4，所以Sn=Tn-5(1+2+3+...+n(=(n-1(2n+2+4-n(n+1(=(n-1(2n+2-n2-n+4.11