云南省红河哈尼族彝族自治州石屏县第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷(考试时间：120分钟；满分150分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=x−1}，B={y|y=1−xA.∅

B.{1}

C.{x|x⩾0}

D.{x|x⩾1}2.已知2log2a=3，logA.3

B.1

C.−1

D.−33.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)=eA.2

B.1

C.0

D.−14.已知函数f(x)=sin(3x+π6)A.79π

B.89π

C.π45.已知各项均为正数的等比数列{an},A.2

B.3

C.4

D.56.设l1,l2,l3是三条不同的直线，a,βA.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件7.已知F1F2为椭圆M:x2m2+y22=1和双曲线N:x2n2-yA.2

B.1

C.22

D.8.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（）A.45%

B.30%

C.13.5%

D.13%二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设函数f(x)=(x−1)A.当f(x)在R上单调递增时，a>0B.当a=0时，y=0为曲线y=f(x)的切线C.点(1，a)是曲线y=f(x)的对称中心D.当a<−3时，f(x)的极大值点x10.已知函数f(x)=sinA.ω=2B.φ=C.y=f(x+πD.当x∈[3π,4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点11.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为SnA.d=1

B.S5=15

C.an=n

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=lnx，若f(ab)=1，则f(13.复数z=i+2i14.已知x=5π12是函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)的极大值点，若四、解答题15.已知函数f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，当0<x⩽3时，f(x)=1（1）求函数f(x)的解析式．（2）若f(a+1)+f(2a−1)>0，求实数a的取值范围．16.为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了n名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示：（1）分别求a，b，n的值，并在图中画出频率分布直方图；（2）估计n名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）．17.已知数列{an}的各项均为正数，a1=3（1）证明：数列{a（2）设bn=anan+t，是否存在正整数t,m18.已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60∘（1）求证：AC⊥BD；（2）求二面角P−BC−A的平面角的正切值；（3）若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点E此时所在的位置.19.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，D是边BC的中点，AD=1.（1）若A=π3，求（2）若△ABC的面积为23且∠ADB=π（3）若BC=4，求cos∠BAC一、单选题1.D【解析】已知集合A，则x−1⩾0，即x⩾1，所以A={x|x⩾1}.已知集合B，因为1−x⩾0，所以y=1−x⩾0所以A∩B={x|x⩾1}.故选：D.2.B【解析】已知2log2a由log55b所以a−b=3−2=1.故选：B.3.A【解析】f(x)=exsin则f′故选：A.4.A【解析】函数f(x)=sin(3x+πy=sint在t=π令3x+π6=π2当k=0时，x=π9；当k=1时，因为f(x)在(0,a)上存在唯一极大值点，所以π9则a的最大值为7π9故选：A．5.C【解析】在等比数列{an}已知a7=4，则可得log2把a3a11因为24=16，所以故选：C.6.A【解析】充分性证明：已知l2∥l3，l3又l2⊂α，α∩β=l必要性证明：当l1∥l2时，若l1与l3相交，因为此时l2与l3既不平行也不相交，推不出综上，“l2∥l故选：A．7.B【解析】已知椭圆M:x2m已知双曲线N:x2n因为F1,F2是公共焦点，所以c1设|PF1|=s，|P由椭圆定义得s+t=2|m|，由双曲线定义得t−s=2|n|.解得s=|m|−|n|，t=|m|+|n|.因为PF1⊥F1展开得4|mn|=4c2，即椭圆M的离心率e1=c|m|，双曲线N的离心率故选：B.8.C【解析】设2024年到该地旅游的游客总人数为a，由饼图可知，青年人占总游客人数的比例为1−20%则青年人的人数为45%由柱状图可知，青年人中自助游比例为30%所以选择自助游的青年人人数为0.45a×0.3=0.135a，则选择自助游的青年人占总游客人数的比例为0.135aa故选：C.二、多选题9.BCD【解析】选项A：f(x)=(x−1)3+ax若f(x)在R上单调递增，需f′因为3(x−1)2⩾0，所以a⩾0选项B：当a=0时，f(x)=(x−1)3，令f′(x)=0，得x=1，则曲线在(1，0)处切线斜率为0，切线方程为y=0，B正确.选项C：f(2−x)=(1−x)3+a(2−x)相加得f(2−x)+f(x)=2a，所以曲线y=f(x)对称中心为(1，a)，C正确.选项D：由f′(x)=3(x−1)2+a=0f′(x)>0时，x<1−−f′(x)<0时，极大值点x0=1−−a3，因a<−3，则−故选：BCD.10.ABD【解析】A选项：由图象可知T2=7π12−π12B选项：f(x)=sin(2x+φ)，因为f(π12)=1即φ=π3+2kπ，k∈Z，又|φ|<πC选项：f(x+π根据余弦函数性质，y=cos2x是偶函数，不是奇函数，D选项：f(x)=sin(2x+π3)令sin(2x+π3)=0，则在[6π+π3,8π+π3]内，k=7π，k=8π时满足，即f(x)图象与故选：ABD.11.ABC【解析】由等差数列前n项和公式Sn=na1+因为S5=4a展开得5a1+10d=4因为{2SnanS1=a1，S2=2a1+d4a1+2d=3联立①②，将a1=d代入a1=2d−1，得d=2d−1，解得S5anSn所以A、B、C正确，D错误.故选：ABC.三、填空题12.4【解析】已知f(x)=lnx，由f(ab)=1可得则f(a4)+f(而lna+lnb=ln(ab)故答案为：4.13.−1012【解析】根据i1=i，i2=−1第一组：i+2第二组：5i⋯因为2024÷4=506，所以原式可分成506组，每组结果都为2−2i则z=506×(2−2i所以复数z的虚部为−1012.14.[17π12,5π3)根据正弦函数性质，此时2×5π12+φ=2kπ+化简可得φ=2kπ−π3，又因为|φ|<π2，所以k=0，φ=−π当x∈[π4,a]时，令t=2x−y=sint的对称轴方程为t=kπ+π2，k∈Zy=sint在分别为t=π2，t=3π2，t=5π要满足条件，则5π2⩽2a−π故答案为：[17π四、解答题15.解：（1）因f(x)是[−3,3]上的奇函数，故f(0)=0.设−3⩽x<0，则0<−x⩽3，代入0<x⩽3时的解析式，得f(−x)=1由奇函数性质f(x)=−f(−x)，得f(x)=−1综上，f(x)的解析式为：f(x)={1（2）当0<x⩽3时，f(x)=1其二次项系数12>0，对称轴x=−1，故在由奇函数性质，f(x)在[−3,3]上单调递增.由f(a+1)+f(2a−1)>0，得f(a+1)>−f(2a−1).因f(x)是奇函数，−f(2a−1)=f(1−2a)，故f(a+1)>f(1−2a).结合单调性与定义域，需满足：−3⩽a+1⩽3−3⩽2a−1⩽3解得0<a⩽2，即实数a的取值范围是(0,2].16.解：（1）由频率和为1，0.05+a+0.20+0.30+0.35=1，解得a=0.10.样本容量频数频率n=频数b=n×0.30=100×0.30=30.每组频率/组距：[50,60)：0.0510[60,70)：0.1010[70,80)：0.2010[80,90)：0.3010[90,100)：0.3510据此画出频率分布直方图如下：（2）众数：频率分布直方图中最高矩形对应[90,100)，中点为90+1002平均数：55×0.05+65×0.10+75×0.20+85×0.30+95×0.35=2.75+6.5+15+25.5+33.25=83.第75百分位数：前四组频率和0.05+0.10+0.20+0.30=0.65<0.75，故在[90,100)内，设第75百分位数为x，则0.65+(x−90)×0.035=0.75，解得x=90+0.1017.（1）证明：由an+1an展开式子得an+12−3即(a因为数列{an}各项均为正数，所以a又已知a1=3，可知数列{an}（2）解：由（1）可知an=a假设存在正整数t，m（m>2），使b1，b2，bmb1=33+t，b2=6即9m(3+t)(3m+t)=36因为t>0，得mt−4t−12=0，整理得m=4+12因为t，m为正整数且m>2，所以t是12的正因数.当t=1时，m=4+12=16；当t=2时，m=4+6=10；当t=3时，m=4+4=8；当t=4时，m=4+3=7；当t=6时，m=4+2=6；当t=12时，m=4+1=5.所以存在正整数t，m，使得b1，b2，bm18.（1）证明：点P在底面ABCD的射影是O，故PO⊥平面ABCD.因AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，四边形ABCD是菱形，故BD⊥AC，PO∩BD=O，PO、BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，故AC⊥PD，菱形ABCD中，对角线AC⊥BD，得证.（2）解：过P作PH⊥BC于H，连OH，PO⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，故PO⊥BC，PO∩PH=P，PO、PH⊂平面POH，所以BC⊥平面POH，则BC⊥OH，故∠PHO△PBD是边长为2的等边三角形，PO=3菱形边长为2，∠BAD=60∘，则OB=1由S△OBC=1在Rt△POH中，tan∠PHO=（3）AD∥BC，AD⊄平面PBC，故AD∥平面PBC，故E到平面PBC距离等于D到平面PBC距离h.由VD−PBC=VP−BCD，得设直线PE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=要θ最大，需PE最小，此时PE⊥AD，由对称性，PE=152，所以最大角正弦值sinθ=故E在线段AD上靠近D的14处，最大角正弦值为419.解：（