2025-2026学年北京市延庆区高二（上期）期末考试数学试卷（含答案）

第2页/共12页2026北京延庆高二（上）期末数学（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.23.已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程是（）A. B. C. D.4.已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（）A. B.C. D.5.已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（）A. B.C. D.6.已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.若双曲线的方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（）A.， B.，C.， D.，8.已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离是（）A.1 B.2 C.3 D.49.已知点在抛物线上，且，则的最小值为（）A.2 B. C. D.10.过椭圆的中心作一条直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（）A.5 B.6 C.8 D.10二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数的定义域为______．12.双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为______，标准方程为_____．13.函数的值域为______．14.已知中，，，，则______，______．15.已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，是坐标原点.给出下列四个结论：①的最大值为；②的最大值为；③若，则的面积为；④斜率为1的直线不经过坐标原点，而且与椭圆相交于、两点，为线段的中点，那么直线和不能垂直.其中，所有正确结论的序号为______．三、解答题（共6小题，共85分）16.根据下列条件，求圆的标准方程．（1）圆心在，且过点；（2）以，为直径的两个端点的圆；（3）圆心在直线上，且过和点．17.如图，已知点，，圆．（1）求过点的圆的切线方程；（2）设过点、的直线交圆于、两点，求线段的长；（3）求经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程．18.如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离．19.已知椭圆的两个焦点分别是、，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于4，为坐标原点，直线与椭圆相交于、两点（不重合）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求的取值范围；（3）求的最大值．20.已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于、（不重合）两点，坐标原点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线，使得线段的中点的横坐标为1，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由；（3）若点在以为直径的圆上，求直线的方程．21.已知集合，若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为集合的一个“好数阵”．（1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；（2）已知是“好集合”，求出满足条件的所有“好数阵”．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案ADCCDADCAB二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】令，整理为，解得：或，所以函数的定义域为.故答案为：12.【答案】因为双曲线的一个焦点坐标是，所以，设该双曲线的方程为.由于双曲线经过点，所以，又，两式联立得，化简得，由于，所以解得.所以，所以双曲线的实轴长为，标准方程为.故答案为：①；②.13.【答案】在区间单调递减，在区间上的值域为，函数在区间单调递增，在区间的值域为，综上可知，函数的值域为.故答案为：14.【答案】由正弦定理可知，可知，且，所以，所以，，所以，，.故答案为：；15.【答案】对于命题①的最大值为,故①正确；对于命题②的最大值为，此时点为右顶点，的最大值为，此时点为左右顶点，所以当点为右顶点时，的最大值为，故②正确；对于命题③设，又，则，故③错误；对于命题④设，，则，两式相减得，整理为，，且，所以，因为，，所以，所以直线和不能垂直，故④正确.故答案为：①②④三、解答题（共6小题，共85分）16.【答案】（1）由条件可知，所以圆的标准方程为.（2），所以半径，圆心为，所以圆的标准方程为；（3）设圆的标准方程为，所以，解得：，，，所以圆的标准方程为.17.【答案】（1）当过点，且斜率不存在时，直线与圆相切，当斜率存在时，设切线方程为，则圆心到切线的距离，解得：，所以切线方程为，整理为，综上可知过点的圆的切线方程为或.（2），所以直线为，即，圆心到直线的距离，所以；（3）当点是弦的中点时，此时弦长最短，此时和所求弦所在直线垂直，，所以所求直线的斜率为，所以弦所在直线方程为，整理为，所以弦长最短的直线方程为.18.【答案】（1）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则.所以.设平面的一个法向量为，则，所以有，令，则，所以.所以与平面所成角的正弦值为.（2）由（1）可知，平面的法向量为.而平面的一个法向量为，所以二面角的余弦值为.（3）因为，所以.由（1）知平面的法向量为，所以点到平面的距离为.19.【答案】（1）由条件可知椭圆的焦点在轴，，，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）联立，整理为，若直线与椭圆有2个不同的交点，则，解得：，所以的取值范围是；（3）设，，，，，当时，最大，最大值为，所以的最大值为.20.【答案】（1）依题意，设椭圆标准方程为；，则，，，解得，故椭圆的标准方程为（2）由图知，直线的斜率存在，可设直线的方程为，联立，消元整理得，由可得,设，，由韦达定理，,因线段的中点的横坐标为1，则，解得，因,故不存在直线.如图：（3）因点在以为直径的圆上，则，即（*）,由（2）中韦达定理;,,代入上式，可得,代入（*）可得，解得因此，直线的方程为；，即，.21.【答案】（1）由“好数阵”的定义知，，，则，，，，进一步得到，，故，，，.（2）当时，，由，可得，又因为，所以，联立，解得，，因为，①若，则由可得，由可得或或，当，时，由可得，，所以，则，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”；当，时，由可得，，所以或，当时，，符合题意的“好数阵”为；当时，，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”；当，时，由可得，，所以，则，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”；②若，则由可得，由可得或或，当，时，由可得，，所以，则，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”；当，时，由可得，，所以，则，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”；当，时，由可得，，所以，则，符合题意的“好数阵”为；③若，则由可得，由可得或或