2026年数学信号处理试题及答案

2026年数学信号处理试题及答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列信号中属于能量信号的是（）A.x(t)=cos(2πt)（t∈RB.x[n]=u[n]（u[n]为单位阶跃序列）C.x(t)=e-3tu(t)D.x[n]=2答案：C解析：能量信号满足能量有限（E=∫-∞∞|x(t)|2dt<∞或E=∑n=-∞2.已知连续时间信号x(t)的傅里叶变换为X(jω)，则信号y(t)=x(2t-4)的傅里叶变换Y(jω)为（）A.12B.12C.2X(j2ω)eD.2X(j2ω)e答案：A解析：傅里叶变换的时移和尺度变换性质：若x(at+b)，则先时移x(t+b)↔X(jω)ejbω，再尺度变换x(at)↔1|a|X(jωa)。本题中y(t)=x(2(t-2))，即先尺度压缩2倍（3.某因果稳定的连续时间LTI系统的系统函数H(s)=s+2s2A.(eB.(eC.(-eD.(2e答案：B解析：系统函数分母因式分解为(s+1)(s+2)，部分分式展开H(s)=s+2(s+1)(s+2)=As+1+Bs+2。通分后分子s+2=A(s+2)+B(s+1)，令s=-1得1=A(1)⇒A=1；令4.离散时间信号x[n]=cos(πA.3B.6C.12D.非周期答案：B解析：离散正弦信号cos(ω0n+ϕ)的周期N满足ω0N=2πk（k为整数），即N=2πkω5.对最高频率为5kHz的带限信号x(t)进行理想采样，若采样频率为8kHz，则采样后信号的频谱会出现（）A.混叠失真，因为采样频率小于2倍最高频率B.混叠失真，因为采样频率大于最高频率C.无混叠失真，因为采样频率大于最高频率D.无混叠失真，因为采样频率小于2倍最高频率答案：A解析：根据奈奎斯特采样定理，无混叠的条件是采样频率fs≥2fm（fm为信号最高频率）。本题中f6.已知离散时间系统的系统函数H(z)=10.5A.因果稳定的IIR系统B.因果稳定的FIR系统C.非因果稳定的IIR系统D.因果不稳定的IIR系统答案：A解析：系统为IIR（分母有z的负幂，非零极点）。因果性要求收敛域包含|z|>R（R为极点模的最大值），极点由分母1+0.8z-1=0得z=-0.87.下列关于离散时间傅里叶变换（DTFT）的描述中，错误的是（）A.DTFT仅对绝对可和的离散信号存在B.DTFT的频谱是周期为2π的连续函数C.若x[n]是实偶信号，则其DTFT是实偶函数D.时域卷积对应频域乘积答案：A解析：DTFT存在的充分条件是信号绝对可和（∑|x[n]|<∞），但对于周期信号或功率信号（如单位阶跃序列），可通过冲激函数表示其DTFT（广义傅里叶变换），因此A错误；B正确（DTFT的周期性）；C正确（实偶信号的DTFT为实偶）；D正确（卷积性质）。8.设计一个3阶巴特沃斯低通滤波器，通带截止频率Ωp=1000rad/s，阻带截止频率ΩsA.1B.2C.1000D.2000答案：B解析：巴特沃斯滤波器设计需先归一化频率，令Ω'=Ω/Ωp，则归一化通带截止频率二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。请将答案填写在横线处）9.连续时间信号x(t)=e-2|t|的傅里叶变换答案：44+解析：x(t)=e-2|t|是偶信号，可表示为e-2tu(t)+e2tu(-t)10.离散时间信号x[n]=δ[n-3]+2δ[n+1]的Z变换X(z)=______，其收敛域为______。答案：z1+2z3（或2z解析：δ[n-k]的Z变换为z-k，因此x[n]=δ[n-3]+2δ[n+1]对应z-(-3)+2z-(-1)=z3+2z11.某连续时间LTI系统的输入x(t)=u(t)，输出y(t)=(1e-t)u(t)答案：1s(s+1)解析：输入x(t)=u(t)的拉普拉斯变换X(s)=1s，输出y(t)=(1e-t)u(t)的拉普拉斯变换Y(s)=1s1s+1（注：经核查，正确计算应为：y(t)=(1e-t)u(t)的拉普拉斯变换为L{1}L{e-t}=1s12.已知离散时间信号x[n]的自相关函数Rx[k]=∑n=-∞∞答案：2解析：自相关函数Rx[1]=∑nx[n]x[n+1]。x[n]仅在n=0,1处非零（值为1和2），则x[n+1]在n=-1,0处非零。两者重叠的n值为n=0（此时x[0]=113.对信号x(t)=cos(1000πt)+cos(3000πt)进行理想采样，为避免混叠，最小采样频率fs答案：3000解析：信号最高频率fm=3000π/(2π)=1500Hz，根据奈奎斯特采样定理，最小采样频率14.某因果离散时间系统的差分方程为y[n]0.5y[n-1]=x[n]+2x[n-1]，其系统函数H(z)=______。答案：1+2z-110.5解析：对差分方程两边取Z变换（因果系统，y[n-1]↔z-1Y(z)，x[n-1]↔z-1三、计算题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）15.计算连续时间信号x(t)=e-2tu(t)cos(3t)解：利用频移性质：e-atu(t)↔1cos(3t)=ej3t+对两部分分别取傅里叶变换：F{eF{e因此，X(jω)=1通分后化简：X(jω)=12·(2+j(ω+3))+(2+j(ω3))(2+j(ω3))(2+j(ω+3))=12·4+j2ω4+(ω3)(ω+3)+j2ω(2)j216.已知离散时间信号x[n]=(12解：Z变换定义为X(z)=∑这是等比级数，当|12z|<1即|z|>DTFT存在的条件是信号绝对可和，即∑n=0∞|(117.设计一个3阶巴特沃斯模拟低通滤波器，要求通带截止频率Ωp=1000rad/s，通带最大衰减αp=3dB，阻带截止频率Ωs=2000rad/s，阻带最小衰减解：（1）巴特沃斯滤波器的幅频平方特性为|H(jΩ)|2=11+(Ω/Ωc)2N，其中Ω（2）归一化处理：令s'=s/Ωc，则归一化系统函数Hn(s')=1∏展开分母：(s'+232)2+(12)2)(s'+j)=(s'2+23s'+1)(s'+j)=s(s'+232j12但虚部为正的极点应取共轭，因此实际分母应为(s（3）实际系统函数通过频率变换s=ΩcsH(s)=HH(s)=100018.已知离散时间LTI系统的系统函数H(z)=z(z0.5)(z0.8)(z+0.6)，分析其稳定性、因果性，并求输入x[n]=(0.5)解：（1）稳定性：极点为z=0.8和z=-0.6，模分别为0.8和0.6，均小于1。若系统因果（收敛域|z|>0.8），则包含单位圆，系统稳定；若收敛域为0.6<|z|<0.8，则不包含单位圆，系统不稳定。通常默认因果系统，故稳定。（2）因果性：收敛域为|z|>0.8（最大极点模），对应因果系统。（3）零状态响应：输入x[n]=(0.5)nu[n]的Z变换X(z)=输出Y(z)=H(z)X(z)=z(z0.5)(z0.8)(z+0.6)·部分分式展开：设z2(z0.8)(z+0.6)=A+令z=0.8：0.64=B(1.4)⇒B=0.64/1.4=16/35；令z=-0.6：0.36=C(-1.4)⇒C=-0.36/1.4=-9/35；令z=0：0=A(-0.8)(0.6)+B(0.6)+C(-0.8)⇒0=-0.48A+(16/35)(0.6)+(-9/35)(-0.8)，计算得A=1（因分子最高次为2，分母为2次，故A=1）。因此Y(z)=1+16/35Y(z)=1+16/35·其逆Z变换为y[n]=δ[n]+1635(0.8y[n]=δ[n]+1635×0.8(0.8)nu[n-1]935×(-0.6)(-0.6)nu[n-1]=δ[n]+235(0.8)nu[n-1]+3