2023-2024学年广东深圳罗湖外语学校九年级(上)第一次诊断数学试题及答案

卷一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）13分）一元二次方程3x2﹣x＝2的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()23分）将方程x2+2x﹣5＝0配方后，原方程变形为()Ax+2）2＝9Bx﹣2）2＝9Cx+1）2＝6Dx﹣1）2＝633分）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有()A．10个B．11个43分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为()A．且k≠2B．k≥0且k≠2C．D．k≥053分）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是()A18﹣3x6﹣2x）+60＝108B18﹣3x6﹣2x）+3x2＝60C18﹣3x6﹣2x60D．108﹣18x﹣36x+3x2＝6063分）如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°,则73分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是()A．x（x+164B．x（x﹣164C1+x）2＝64D1+2x6483分）下列结论中，不正确的是()A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．依次连接菱形中点得到正方形D．依次连接矩形中点得到菱形93分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为()103分）如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与点C、D重合以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点M是AF的中点，连接DM、CM．若AB＝5，MC＝4，则S△MEF为()二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）113分）如果关于x的方程x2﹣5x+m+2＝0有一个根为0，那么m的值为.123分）一个口袋中装有10个相同的红球和白球，其中白球4个，现从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为.133分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是：.143分）如图，在。ABCD中，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交CB，CD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线CP交DA于点E，连接BE，153分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°,点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+的值最小时，线段PD长是.三.解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题5分，第18分，第20题8分，第21题9分，第22题9分，共55分）168分）解方程：（12x﹣1）2＝162）3x2﹣6x+1＝0.175分）先化简，再求值：入求值（说明取值理由）.÷（+请从﹣21，1，2四个数中选择一个合适的数代188分）随着道路交通的不断完善，某市旅游业快速发展，该市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图（不完整）如下所示，根据相关信息解答下列问题：（1）2017年“五•一”期间，该市旅游景点共接待游客万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图.（2）在等可能性的情况下，甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表加以说明.198分）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°.（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°,BF平分∠ABC，求矩形AECF的周长.208分）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋.（1）求八、九这两个月销售量的月平均增长率；（2）该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）219分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点.【探究建模】（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；【类比应用】（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；【拓展迁移】（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE=229分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线AC＝4√5，边（1）求C点的坐标；（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的函数关系式；（3）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，问能否找到合适的点M和点N使以点M、A、D、N为顶点的四边形是菱形？如果能找到，请直接写出点M的坐标；如果找不到，请说明原因.卷一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）13分）一元二次方程3x2﹣x＝2的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()【分析】先把一元二次方程化为一般形式，根据二次项系数，一次项系数，常数项的概念解答即可.【解答】解：一元二次方程3x2﹣x＝2可化为3x2﹣x﹣2＝0，∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是3、﹣1、﹣2，故选：A.【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.23分）将方程x2+2x﹣5＝0配方后，原方程变形为()Ax+2）2＝9Bx﹣2）2＝9Cx+1）2＝6Dx﹣1）2＝6【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项.【解答】解：x2+2x﹣5＝0，x2+2x＝5，（x+1）2＝6，故选：C.【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键.33分）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有()A．10个B．11个【分析】由摸到白球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可.【解答】解：设黑球个数为：x个，∵摸到白色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到白色球的概率为25%，=0.25，解得：x＝11，故黑球的个数为11个.故选：B.【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.43分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为()A．且k≠2B．k≥0且k≠2C．D．k≥0【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围.【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，解得：k≥且k≠2，故选：A.【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键.53分）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是()A18﹣3x6﹣2x）+60＝108B18﹣3x6﹣2x）+3x2＝60C18﹣3x6﹣2x60D．108﹣18x﹣36x+3x2＝60【分析】由人行道的宽度，可得出两块相同的矩形绿地可合成长为（18﹣3x）米，宽为（6﹣2x）米的矩形．结合两块矩形绿地的面积之和为60平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【解答】解：∵人行道的宽度为x米，∴两块相同的矩形绿地可合成长为（18﹣3x）米，宽为（6﹣2x）米的矩形.根据题意得18﹣3x6﹣2x60.故选：C.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.63分）如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°,则【分析】根据矩形的性质可得CD∥AB，∠1+∠CBD＝90°,可求解∠CBD的度数，由平行线的性质可求解∠ABD的度数，结合折叠的性质可得∠2+∠ABD=∠CBD，进而可求解.【解答】解：在矩形ABCD中，∠C＝90°,AB∥CD，由折叠可知：∠2+∠ABD=∠CBD，故选：D.【点评】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠与对称的性质，由折叠得∠2+∠ABD=∠CBD是解题的关键.73分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出的方程是()A．x（x+164B．x（x﹣164C1+x）2＝64D1+2x64【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即64人患了流感，由此列方程求解.【解答】解：x+1+（x+1）x＝64整理得1+x）2＝64.故选：C.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解.83分）下列结论中，不正确的是()A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．依次连接菱形中点得到正方形D．依次连接矩形中点得到菱形【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理判断即可.【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结论正确，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，结论正确，不符合题意；C、依次连接菱形中点得到矩形，不一定是正方形，故本选项结论不正确，符合题意；D、依次连接矩形中点得到菱形，结论正确，不符合题意；故选：C.【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确理解中点四边形的概念、掌握菱形、正方形、矩形的判定定理是解题的关键.93分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为()【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∵S菱形ABCD＝AC×BD＝54，∵AE⊥BC，故选：B.【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键.103分）如图，正方形ABCD中，点E是边CD上的动点（不与点C、D重合以CE为边向右作正方形CEFG，连接AF，点M是AF的中点，连接DM、CM．若AB＝5，MC＝4，则S△MEF为()【分析】根据正方形的性质得到∠ACD=∠ECF＝45°,根据直角三角形的性质得到AF＝2CM＝8，CM=FM＝AF，根据勾股定理得到CF根据全等三角形的判定得到△CME≌△FME（SSS于是得到结论.【解答】解：连接AC，CF，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴∠ACD=∠ECF＝45°,∵点M是AF的中点，MC＝4，∴AF＝2CM＝8，CM＝FM＝AF，∴CF==,∴S△CMF＝S△ACF=,∵CM＝FM，CE＝EF，ME＝ME，∴△CME≌△FME（SSS∵CE＝CF=,∴S△CEF==,∴S△MEFS△MCF﹣S△CEF）=故选：B.【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）113分）如果关于x的方程x2﹣5x+m+2＝0有一个根为0，那么m的值为﹣2.【分析】根据方程x2﹣5x+m+2＝0有一个根为0，可以求得m的值.【解答】解：∵方程x2﹣5x+m+2＝0有一个根为0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2.【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立.123分）一个口袋中装有10个相同的红球和白球，其中白球4个，现从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为.【分析】由在一个不透明的口袋中，装有6个红球和4个白球，它们除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，装有6个红球和4个白球，它们除颜色外都相同，∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为：.故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.133分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，列出的方程是：x（x﹣1）＝110.【分析】设参加比赛的球队有x支，根据“参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场”列出方程，即可求解.【解答】解：设参加比赛的球队有x支，根据题意得：）＝故答案为：x（x﹣1）＝110.【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键.143分）如图，在。ABCD中，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交CB，CD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线CP交DA于点E，连接BE，若AE＝3，BE＝4，DE＝5，则CE的长为4√5【分析】首先证明DE＝DC＝AB＝5，证明∠AEB＝90°,推出∠EBC＝90°,再利用勾股定理求解.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DEC=∠ECB，由作图可知CE平分∠DCB，∴∠ECD=∠ECB，∴∠DEC=∠DCE，∴AE2+BE2＝AB2，∴EC==故答案为：4√5.=4.【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.153分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°,点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+的值最小时，线段PD长是.【分析】先过P作PE⊥BC于E，连接AP，根据△ABP≌△CBP可得AP＝CP，当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，此时，PC+的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到线段PD的长【解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP，由菱形ABCD，可得AB＝CB，∠ABP=∠CBP=∠ADP＝30°,∴△ABP≌△CBP，BP＝2PE，∴PC+＝AP+PE，∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，∴此时，PC+的值最小，AP⊥AD，∴BE＝1，AE=∴Rt△BEP中，PE=∴AP=∴Rt△ADP中，PD＝2AP=故答案为：【点评】本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点三.解答题（本题共7小题，其中第16题8分，第17题5分，第18分，第20题8分，第21题9分，第22题9分，共55分）168分）解方程：（12x﹣1）2＝16；（2）3x2﹣6x+1＝0.【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用配方法解方程即可.【解答】解12x﹣1）2＝16，∴2x﹣1=±4，∴x1=3x2﹣6x=﹣1，x2﹣2xx2﹣2x+1+1，即（x﹣1）2＝﹣．【点评】本题考查了一元二方程的解法，根据所给一元二次方程的特点选择适当的解法是解题的关键．175分）先化简，再求值：÷（+请从﹣21，1，2四个数中选择一个合适的数代入求值（说明取值理由【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝÷[+]＝，∵a21，2时，原分式无意义，当a＝1时，原式【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．188分）随着道路交通的不断完善，某市旅游业快速发展，该市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图（不完整）如下所示，根据相关信息解答下列问题：（1）2017年“五•一”期间，该市旅游景点共接待游客50万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是108°，并补全条形统计图．（2）在等可能性的情况下，甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表加以说明．【分析】（1）根据A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；（2）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率.【解答】解1）该市旅游景点共接待游客15÷30%＝50（万人扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是360°×30%＝108°,B景点的人数为50×24%＝12（万人补全条形图如下：故答案为：50、108°;（2）画树状图可得：∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，:同时选择去同一个景点的概率==.【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及概率的计算的综合应用，读懂统计图、从中获取正确的信息是解题的关键．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比.198分）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，上AEC＝90。.（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，上ABC＝60。，BF平分上ABC，求矩形AECF的周长.【分析】（1）根据已知条件先证明四边形AECF为平行四边形，再根据上AEC＝90。即可得证；（2）由BF平分上ABC，可求得AB＝AF，在Rt△ABE中，上ABC＝60。，则上BAE＝30。，根据含30度角的直角三角形的性质，求得BE，再求出AE，由已知BE＝DF进而即可求得AD即可得到答案.【解答】（1）证明：“四边形ABCD是平行四边形，:BC＝AD，BCⅡAD，又“BE＝DF，:BC-BE＝AD-DF，即EC＝AF，“ECⅡAF，EC＝AF，:四边形AECF为平行四边形，又“上AEC＝90。，:平行四边形AECF是矩形.（2）解：“BF平分上ABC，:上ABF＝上FBC，“BCⅡAD，:上AFB＝上FBC，:上AFB＝上ABF，:AF＝AB＝4，在Rt△ABE中，上AEB＝90。，上ABE＝60。，AB＝4，∴FD＝BE＝2，AE==2，∴矩形AECF周长为（AE+EC）×22+AD﹣FD）×22+6﹣2）×2＝4+8，故答案为：4+8.【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键.208分）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋.（1）求八、九这两个月销售量的月平均增长率；（2）该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）【分析】（1）直接利用7月销量×（1+x）2＝9月的销量进而求出答案.（2）首先设出未知数，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，再解即可.【解答】解1）设八、九这两个月的月平均增长率为x.由题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1x2=不合题意，舍去答：八、九这两个月的月平均增长率为25%.（2）设当农产品每袋降价m元时，该淘宝网店10月份获利4250元.根据题意可得40﹣25﹣m400+5m4250，解得：m1＝5，m2=﹣70（不合题意，舍去）.答：当农产品每袋降价5元时，该淘宝网店10月份获利4250元.【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键.219分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点.【探究建模】（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；【类比应用】（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；【拓展迁移】（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE=【分析】（1）证明△DAE≌△DCF（ASA可得结论.（2）猜想：EA+EC＝DE．如图2中，证明△DAE≌△DCF，推出DE＝DF．AE＝CF，即可证明. （3）如图3中，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．证明∠AED=∠DEC＝45°,利用（2）中结论求解即可.∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A=∠ADC=∠DCB=∠DCF＝90°,“DE丄DF，:上EDF＝上ADC＝90。，:上ADE＝上CDF，在△DAE和△DCF中，,:△DAE纟△DCF（ASA:AE＝CF.（2）解：猜想：EA+EC＝DE.理由：如图2中，“四边形ABCD是正方形，:DA＝DC，上ADC＝90。，“DE丄DF，AE丄EF，:上AEF＝上EDF＝90。，:上ADC＝上EDF，:上ADE＝上CDF，“上ADC+上AEC＝180。，:上DAE+上DCE＝180。，“上DCF+上DCE＝180。，:上DAE＝上DCF，:△DAE纟△DCF（AAS:AE＝CF，DE＝DF，:EF＝DE，」AE+EC＝EC+CF＝EF，:EA+EC＝DE.（3）解：如图3中，连接AC