河北省NT20名校联合体2025-2026学年上学期高二期末数学试卷（含答案）

高二年级期末质量检测

数学考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填在答题卡上。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x−4A.(1,4) B.(−4,1)C.(−1,4) D.(4,1)2.抛物线3xA.y=13 C.x=3163.设向量a=(2,3,λ)，b=(0,1,1)A.3 B.2C.−3 D.−24.已知双曲线C的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为A.103 B.11C.233 5.已知等比数列{an}的公比为q，则“数列{A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.圆x2+yA.23 B.2C.3 D.47.在数列{an}中，a1=1，an=a1A.12,+∞ B.C.32,+∞ 8.记数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N∗，A.442 B.455 C.470 D.485二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。9.下列命题中正确的是A.空间中两点A(1,−1,2)，B(2,1,1)B.双曲线y23C.若数列{an}满足a1D.圆x2+y2−210.已知等差数列{an}的前n项和为SA.若S8>0B.若S18>C.若S17=D.若S19>11.已知点A(−1,0)，B12,0，动点P(x,y)满足|A.C的方程xB.过H作C的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点1C.若点F(m,n)是D.若点F(m,n)是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线x+13.已知函数f(x)=3x−1x+114.过圆M:x2+y2+2x=0上一点D作圆M的一条切线l，离心率为32的椭圆N:x2a2+y2b2=1(a>四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）如图，把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到达点D'处，BD'=2，O，M分别为AC，（1）求证：平面ABC⊥平面ACD（2）N为直线MO上的动点，求直线BN与平面BCD'16.（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1（1）求{an}的通项公式a（2）求数列{|an|}的前n17.（本小题满分15分）已知点P(m,4)在抛物线C:y2=2（1）求C的标准方程；（2）若l是C的准线，过点P作直线l的垂线，垂足为M，线段MF交C于点N，且∆PMF为锐角三角形，FN→=λFM18.（本小题满分17分）已知数列{an}满足a（1）证明：数列1an+1（2）设bn=(2n+1)1an（3）设cn=219.（本小题满分17分）已知椭圆C：x24+y23=1，过点T1,32作两条动直线TA，TB，分别交C于两点A，B（A，B与T不重合），且满足（1）若直线TA的斜率为1，求线段TA的长度；（2）求直线AB的斜率；（3）设直线TA与TB分别交x轴于点M，N，求证：MN的中点为定点。高二年级期末质量检测数学参考答案1.D【解析】直线的一个方向向量为a=(1,k)=1,14，令2.B【解析】抛物线的标准方程为x2=43.C【解析】因为a⊥b，所以a·4.A【解析】由题意知2a=3×2b，所以ba=5.A【解析】若等比数列{an}是递增数列，则{a1>0,q>1,或{a1<0,0<q<1,则必有6.D【解析】设圆C1:x2+y2−9=0，圆C2:x2+y2−2x−4y+1=0，用圆7.C【解析】已知an=a1+a22+a33+⋯+ann,n∈N∗①，当n≥2时，an−1=a1+a22+a33+⋯+an−1n−1②，①-②可得：当n≥2时，an−an−1=ann，即ann=a8.C【解析】由题意得，区间[m2+1,m2+2m+2)上的项数为(m2+2m+2)−(m2+1)=2m+1，所以当m确定时，有2m+1个连续的n，对应an=2m+1。当m=0时，1≤n<2，则项数为1，对应an=2×0+1=1；当m=1时，2≤n<5，则项数为3，对应an=2×1+1=3；当m=2时，5≤n<109.ACD【解析】对于A，由空间中两点间的距离公式得|AB对于B，双曲线的渐近线方程为y=±对于C，由题意知an所以当n≥2，a2−a1=1−12，a3−a2=对于D，先将圆的方程化为标准方程x2+(y−1)2=810.AB【解析】对于A，在等差数列{an}中，Sn=n(a1+an)2，所以S8=8(a1对于B，因为S18>S17>S19，所以a18>0>a18+a19，所以对于C，因为S17=S19，所以S19−S17=a18+a19=0对于D，因为S19>S17，所以11.ABD【解析】对于A，因为|PA||PB|对于B，因为H为直线l:x+y+1=0上一点，设点H坐标为(x0,−1−x0)，则直线MN的方程为(对于C，令2m+n=t，对于直线2x+y−t=0，与C相切时t对于D，m2+n2+2m+1=(m+1)2+n2，表示点F(m,n)到点A(−1,0)的距离，取E(0,1)，AF→=(m+1,n)，AE→=(1,1)，则|4(m+n+1)|12.5π6（或150°）【解析】直线x+3y+2=0的斜率13.6078【解析】因为{an}是正项等比数列，所以a4a2026=a1013a1014=1e214.±22【解析】当点D在x轴上方时，设∠DOM=θ，则直线AB的倾斜角为π2−2θ，因为e=32，所以b2a2=14，因为点D为弦AB的中点，所以k15.【解析】（1）证明：如图，连接BO，D'O，由题意知，BO=D'O=2，根据勾股定理，BO2+D'O2=(2)2+(2)2=4=BD'2（2）由（1）可证D'O⊥平面ABC，如图，以O为坐标原点，分别以OB，OA，OD'所在直线为x，y，z轴，可得B(2,0,0)，C(0,−2,0)，D'(0,0,2)，设ON→=tOM→设平面BCD'的法向量为n=(x,y,z)，则{n⋅CB→=0,n⋅设直线BN与平面BCD'所成角为θ，则sinθ=|cos⟨n，BN→⟩|=|BN16.【解析】（1）由题意得，数列{an}因此，当n≥2Sn当n=1时，S1=故an={1,n=1,n−9,n≥2,Sn=n22−172n+9 5分（2）由an=n−9≥0(n≥2)得n≥9当2≤n≤8时，an<0； 7分当n=1时，T当1<n≤8时，Tn当n≥9Tn 13分故Tn={−n22+172n−7,1≤n≤8,n22−172n+65,n≥9 15分17.【解析】（1）由题意得|PF|=m所以点P的坐标为5-p2,4， 2分代入C的方程得16=2p5-p2，解得p=2或8， 4分所以抛物线C的标准方程为y2=4x或y2=16x 5分（2）当抛物线C的方程为y2=4x时，准线l设准线与x轴的交点为K，过点N作准线l的垂线，交于点Q，则|MK|=4，|KF|=2，|MF|=|MK|2+|KF|2=25， 7分此时cos∠MPF=25+25−202×5×5又因为|PM|=|PF|，所以∆PMF为锐角三角形， 9分因为点N在抛物线上，所以|NF所以λ=∆PMF外接圆的半径R=|当抛物线C的方程为y2=16x时，同理可得|∆PMF综上，λ=5−14，∆PMF18.【解析】（1）证明：因为an+1=将上式变形为1an+1又因为1a1+1=2，所以数列1an所以1an+1=2×2n（2）由（1）知1an+1=所以Sn2S①−②得−=−(2n−1)×2所以Sn=(2n-1)×2n+1+2 10分（3）证明：由题知1cn=12当n=2时，i=12当n≥3时，1c所以i=1n 1综上，i=1（19．【解析】（1）由题意得直线TA的方程为y−32由y=x+12设Ax