广东省两校2024-2025学年高三下学期高考临门一脚考试数学试题（含答案）

第第页广东省两校2024-2025学年高三下学期高考临门一脚考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数5−2+A．2+i B．−2+i C．−2−i2．设CM表示非空集合M中元素的个数，已知非空集合A,B.定义A⊗B=C(A)−C(B),C(A)≥C(B)C(B)−C(A),C(A)<C(B)，若A=1,2，B=xA．0 B．0，−22 C．0，22 D．−23．如图，在平行四边形ABCD中，12A．CA B．AC C．12AC 4．《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，即V=kD3，其中常数k称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）、球（直径为a）的“立圆率”分别为k1A．k3<k1<k2 B．5．双曲线C：x2A．25 B．45 C．256．已知集合A=x,y|y=x−1，B=x,yA．ϕ B．1 C．1,0 D．1,07．已知函数fx=sinA．2，2π B．2，π C．2，2π D．2，π8．下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=−x二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（）A．平均数xB．标准差s≤2C．平均数x≤3且极差小于或等于D．众数等于1且极差小于或等于410．已知定义在R上的函数fx满足fx+π3−b=b−fA．函数fx的图像关于x=−B．gC．函数fx在πD．若函数fx的最大值与最小值之和为2，则11．若角α的终边经过点Pt,−2tA．α是钝角 B．α是第二象限角C．tanα=−2 D．点cos三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若函数fx−sinx+φ是偶函数，fx−cosx+φ是奇函数，已知存在点Px1,fx13．4名男生和2名女生排成一排，若女生必须相邻，则有种不同排法.(用数字作答)14．如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=2，D在棱BB1上，且BD=2，若四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，（1）求角B的大小；（2）若b=3，c=116．如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=0.5.（1）证明AD∥平面SBC（2）求平面SBC与平面SAD的夹角.17．已知数列an的前n项和为Sn，且a1（1）求an（2）设bn=n(2−Sn),n∈N*,18．若函数y=x2+m−219．已知函数fx=ex−asinx（1）求实数a的值；（2）若x1是fx的最大的极小值点，x2是f

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：5−2+故选：C.【分析】利用复数的除法运算法则计算即可求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：因为A=1,2，A⊗B=1，所以集合B中的元素个数为1个或3个，

因为x2+axx2①当集合B中的元素个数为1时，x2+ax=0有两相等的实数根，且所以a2=0a②当集合B中的元素个数为3时，x2+ax=0有两不相等的实数根，且x2所以a≠0Δ=a2−8=0综上所述，a=0或a=22或a=−2故选：D.【分析】根据定义可知集合B中的元素个数为1个或3个，由x2+axx2+ax+2=0得x23．【答案】D【解析】【解答】解：12故选：D.【分析】根据平面向量的线性运算法则计算即可求解.4．【答案】A【解析】【解答】设等边圆柱、正方体、球的体积分别为V1所以V1所以k1=π4，因为π6<π故选：A.【分析】根据体积公式先求出等边圆柱、正方体、球的体积，进而利用公式求解出k1、k2、5．【答案】C【解析】【解答】由双曲线C：x24−y2所以顶点坐标为(±2，0)，渐近线方程为所以顶点到其渐近线的距离等于|±2故答案为：C.

【分析】由双曲线C：x26．【答案】C【解析】【解答】解：由y=x−1y=lnx解得x=1y=0故选：C．【分析】根据集合A,B表示的意义，A∩B即求出y=x−1，y=ln7．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知，fx因为sin所以fx而周期T=2π所以函数fx的最大值和周期分别是2故选：A.【分析】先利用辅助角公式化简函数f(x)，进而根据正弦函数的性质即可求解.8．【答案】A【解析】【解答】解：A、因为函数的定义域为R，而f(-x)=(-x)3=-x3B、因为函数的定义域为R，而f(-x)=-x+1=xC、因为函数的定义域为R，而f(-x)=(-x)2=D、因为函数的定义域为R，而f(-x)=2-|-x|=故选：A.【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可.9．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、例如1，1，1，1，1，1，6，此时x=127B、标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为10，标准差是0，并不能保证每天新增病例数不超过5人，故选项B错误；C、当极差等于0或1，在x≤3的条件下，则最大值不超过3；若极差等于2，假设最大值为6，最小值为4，则xD、若最小值是1时，则最大值不超过5；若最小值是0时，则最大值不超过4，故每天新增感染人数不超过5人，故选项D正确.故选：CD.【分析】举例说明即可判断选项AB；利用假设法可判断选项C、D.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因为fx+π3−b=b−fπ3−x因为fx=f5π3所以函数fx为周期函数，其周期为T=4×所以fx=f53πB、因为函数fx关于π3,b中心对称，所以g所以gxC、由于没有明确的解析式，无法得知函数fxD、因为函数fx关于π3,b所以函数hx的最大值与最小值之和为0，所以fx+π所以函数fx的最大值与最小值之和为2b，所以2b=2，解得b=1故选：ABD.【分析】根据已知条件可知函数fx的对称中心为π3,b及对称轴为x=5π6，进而可得函数的周期T=2π，得fx=f53π−x=f−π3−x，即可判断选项A；根据函数fx11．【答案】B,C【解析】【解答】解：AB、因为点Pt,−2t(t<0)在第二象限，所以C、tanα=D、因为sinα>0，cosα<0，所以点故选：BC.【分析】根据P点的坐标可知角α的终边的位置即可判断选项AB；根据三角函数的定义求得tanα=yx12．【答案】±1【解析】【解答】解：因为函数fx所以f−x所以f所以f-x=f因为fx所以f−x所以f−x即为f−x+f由①②可得fx=sin∃x1∈R，使得函数fx在点P所以cosx所以cosx所以sin2x1所以cos2φ=1，cos2故答案为：±1.【分析】根据已知条件和奇偶函数的定义即可得f-x=fx−2sinxcosφ，f−x+fx−2cos13．【答案】240【解析】【解答】解：先将2名女生看成做一个元素排在一起，有A2再将其与其他4名男生进行全排列，有A55种情况，则其不同的排列方法为故答案为：240.【分析】利用捆绑法将2个女生排在一起，再与4个男生进行全排列即可求不同的排法总数.14．【答案】30【解析】【解答】解：取C1A1,CA的中点E,F，连接B1E与BF，

由题意可知，△A1B1C1是等边三角形，E是A1C1的中点，所以B1E⊥A1C1，

因为AA1⊥平面过D作DH//B1E，交EF于H，所以连接AH，所以∠DAH=α，因为DH=B1E=因为α∈0,π2故答案为：π6【分析】取C1A1,CA的中点E,F，连接B1E与BF，根据正三棱柱的性质可知B1E⊥平面CAA1C1，过D作DH//B1E，交EF于H，进而可知DH⊥平面CAA1C1，即∠DAH=α，正三棱柱15．【答案】解：(1)因为A+B+C=π，所以cosC=-cos(A+B)，即sinA因为A∈(0,π)，所以sinA≠0，所以sin因为B∈(0,π)，所以B=π3.

(2)由余弦定理可得，所以3=a2+1−a，即a2−a−2=0所以S△ABC【解析】【分析】(1)利用诱导公式和两角和的正弦公式化简可得sinB−3cosB=0，进而利用同角三角函数的关系式可得tanB=3，即可求得角B的大小；

(2)利用余弦定理b216．【答案】（1）证明：∵AB⊥AD，AB⊥BC，∴AD∥BC，

又∵AD⊂平面SBC，BC⊄平面SBC，

∴BC∥（2）解：∵SA⊥平面ABCD，AB、AD⊂平面ABCD，

∴SA⊥AB，SA⊥AD，

∴SA，AD，AB两两垂直，

如图所示，以AD,AB,AS所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，

∴A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(12,0,0)，S(0,0,1)，

∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，SA⊥AB，AB⊥AD，

SA∩AD=A，SA，AD⊂平面SAD，

∴AB⊥平面SAD，

∴平面SAD的一个法向量为AB=(0,1,0)，

设n=(x,y,z)为平面SBC的一个法向量，

∵BC=(1,0,0)，SB=(0,1,−1)，

∴x=0y−z=0，令z=1，则x=0，y=1，∴n=(0,1,1)，

设平面SAD与平面SBC的夹角大小为θ，

∴cosθ=|cos<AB,【解析】【分析】（1）根据线线垂直的性质可知AD∥BC，进而利用线面平行判定定理可得AD∥（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面SBC与平面SAD的法向量，进而利用向量的夹角公式计算即可求解.（1）∵AB⊥AD，AB⊥BC，∴AD∥又AD⊂平面SBC，BC⊄平面SBC，∴BC∥平面SAD（2）∵SA⊥平面ABCD且AB、ADC⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，又∵AB⊥AD，故分别以AD,AB,AS所在直线为x轴，y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，如图所示：由SA=AB=BC=1，AD=1可得：A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(12,0,0)由已知SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，SA⊥AB，AB⊥AD，SA∩AD=A，SA，AD⊂平面SAD，所以AB⊥平面SAD，∴AB为平面SAD的一个法向量，且AB设n=(x,y,z)为平面SBC则n⊥BC，∴n⋅BC∵BC=(1,0,0)，∴x=0令z=1，则x=0，y=1，∴n设平面SAD与平面SBC的夹角大小为θ，∴cos由θ∈(0,π2]得：平面SCD与平面17．【答案】解：（1）因为an+1=n+12nan，所以an+1n+1=1所以ann（2）由（1）知，Sn=两边同乘12得，12①-②得，12所以Sn=2−n+2取bn+1当n≥2时，n2+2n>2n+3>0恒成立，则即数列bn从第二项开始是单调递减的，

又b1=32若bn≤λ恒成立，则【解析】【分析】（1）由递推关系化简可得an+1n+1=12·ann（2）先用错位相减法数列an的前n项和为Sn，进而可求得bn的通项公式，进而作商可知数列bn从第二项开始是单调递减的，即可求得数列b18．【答案】解：由题意可知，x2+m−2所以Δ=m−22−16≤0所以m的取值范围是−2,6.【解析】【分析】将问题转化为x2+m−2x+4≥0在实数集上恒成立，可得判别式19．【答案】（1）解：由题意可得，f'x=ex−acosx，所以f'0=1−a，

又f0=1，所以y=fx在0,f0处的切线方程为y=1−ax+1（2）证明：由（1）得fx=ex−sinx，所以f'x=ex−cosx，

当x∈0,+∞时，f'x>0，所以fx在0,+∞上单调递增，即x∈0,+∞时，函数fx无极大值点.

当x∈−π2,0时，令gx=f'x，

所以g'x=ex+sinx，所以g'x在−π2,0上单调递增，

又g'−π4=1eπ4−12<0，g'0=1>0，

所以存在x0∈(−π4,0)，使得g'(x0)=0，即ex0+sinx0=0，【解析】【分析】（1）先对函数fx进行求导，进而利用导数的几何意义，求出曲线y=fx在0,f0（2）根据(1)先求得函数fx的解析式，进而对函数进行求导，进而求