2026届新高考数学三轮冲刺复习+等差数列、等比数列

2026届新高考数学三轮冲刺复习等差数列、等比数列命题热度：本专题是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，主要以解答题的形式出现，选择题、填空题中也经常出现.分值约为11~24分.考查方向：考查重点一是等差数列、等比数列的基本运算；二是等差数列、等比数列的性质及其应用；三是等差数列、等比数列的判定与证明.考点一等差数列、等比数列的基本运算

例1√√

解析

解析(2)(2025·唐山模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a8+a13=-120，5S7-7S5=70，若Sk=Sk+1，则k等于A.27 B.28 C.54 D.55√

解析等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1，公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn=an2+bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an=pqn-1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.规律方法跟踪演练1

(1)(2025·南京模拟)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6等于A.7 B.6 C.3 D.2√

解析(2)(2025·九江模拟)为备战某次马拉松，某同学制定了一个为期20周的跑步训练计划.计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程(42.195公里)后，保持这个周训练量直至训练结束，则训练计划结束时，该同学跑步的总量是A.736公里 B.724公里C.692公里 D.660公里√

解析第12周到第20周每周的跑步量为44公里，总和为396公里，所以该同学跑步的总量是62+234+396=692(公里).解析考点二等差数列、等比数列的性质

(1)(多选)(2025·厦门模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a3+a18>0，S19<0，则A.S20<0 B.a11>0C.d>0 D.Sn≥S10例2√√√

解析(2)(2025·赣州模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S20=21，S30=49，则S10等于A.7 B.9 C.63 D.7或63√

解析等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.规律方法跟踪演练2

(1)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数为A.15 B.17 C.19 D.21√

解析(2)已知正项递增等比数列{an}的前n项之积为Tn，且T19=Tm(m≠19)，a15=1，则m=

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解析考点三等差数列、等比数列的判定与证明

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N*).(1)证明：数列{an+1-an}是等比数列；例3∵an+2=3an+1-2an，∴an+2-an+1=2(an+1-an)，∵a1=1，a2=3，∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列.证明(2)求数列{an}的通项公式；由(1)得an+1-an=2n(n∈N*)，∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n≥2)，又a1=1符合上式，∴an=2n-1(n∈N*).解

证明即bn+2-2bn+1+bn=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*)，∴{bn}是等差数列.证明

易错提醒跟踪演练3

(多选)(2025·贵阳模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=2Sn+n-1，则下列结论正确的是A.数列{S