2026届新高考数学三轮冲刺复习函数与方程思想

2026届新高考数学三轮冲刺复习函数与方程思想函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以解决.方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决.思想概述方法一运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质.

例1√思路分析

[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0→f(x)为减函数→每一段都单调递减→x=1左侧的函数值不小于右侧的函数值.

解析批注

在函数的第一段中，虽然没有x=1，但当x=1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点.

√

解析批注

本题关键是理解“T同比不增函数”的含义，对于恒成立问题，一般是分离参数，转化成求函数的最值问题.解决本类题目的关键是理解函数相关概念的本质，也可以结合函数图象加以理解，严格按定义推导即可.规律方法方法二利用函数性质解不等式、方程问题函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题.

例2√思路分析

解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性.设g(x)=f(x+2)=log3(3x+3-x)，则其定义域为R，因为g(-x)=log3(3-x+3x)=g(x)，所以g(x)为偶函数，所以f(x+2)的图象关于直线x=0对称，所以f(x)的图象关于直线x=2对称.设y=3x+3-x，则y'=3xln

3-3-xln

3=(3x-3-x)ln

3，令y'>0，则3x-3-x>0，得x>0，解析

解析批注

本题关键是利用函数的奇偶性及单调性脱掉f列出不等式，然后解不等式.(2)设x，y为实数，满足(x-1)3+2025(x-1)=-1，(y-1)3+2025(y-1)=1，则x+y=

.

2思路分析

观察两方程形式特征→借助函数f(t)=t3+2

025t的单调性、奇偶性→f(x-1)=f(1-y)→求出x+y.令f(t)=t3+2

025t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数.由f(x-1)=-1=-f(y-1)=f(1-y)，可得x-1=1-y，则x+y=2.解析批注

本题关键是根据函数的特点构造函数，然后利用函数的单调性求解.函数与方程的相互转化：对于方程f(x)=0，可利用函数y=f(x)的图象和性质求解问题.规律方法方法三构造函数解决数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果.

例3√

解析

解析

解析

在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系使问题明晰化.规律方法专题训练一、单项选择题1.(2025·石家庄模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是A.y=f(|x|) B.y=f(x2)C.y=x·f(x) D.y=f(x)+x√因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(-x)=-f(x)，又因为f(|-x|)=f(|x|)，所以y=f(|x|)是偶函数，A不符合题意；令F(x)=f(x2)，则F(-x)=f(x2)=F(x)，所以F(x)是偶函数，B不符合题意；令M(x)=x·f(x)，则M(-x)=(-x)·f(-x)=x·f(x)=M(x)，所以M(x)是偶函数，C不符合题意；令N(x)=f(x)+x，则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x)，所以N(x)是奇函数，D符合题意.解析

√

解析3.(2025·上海模拟)定义在R上的函数f(x)为奇函数，其导数为f'(x)，且当x∈(-∞，0]时，f'(x)<1，则不等式f(x)-f(2026)≥x-2026的解集是A.(2026，+∞) B.[2026，+∞)C.(-∞，2026] D.(-∞，2026)√令g(x)=f(x)-x，当x∈(-∞，0]时，g'(x)=f'(x)-1<0，所以g(x)在(-∞，0]上单调递减，又因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，y=x为定义在R上的奇函数，所以g(x)为定义在R上的奇函数，则g(x)在(0，+∞)上单调递减，即函数g(x)在R上单调递减，所以由f(x)-f(2

026)≥x-2

026，可得f(x)-x≥f(2

026)-2

026，即g(x)≥g(2

026)，所以x≤2

026.解析

√

解析

解析

√

解析6.(2025·昭通模拟)已知函数f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)，若f(x)≤0，则a，b满足的关系式为A.a-2b=1 B.a+2b=1C.a=2b D.a=-2b√f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)=[x2(a-x)+(a-x)]log2(x+2b)=(x2+1)(-x+a)log2(x+2b)，又x2+1>0，所以f(x)≤0等价于(-x+a)log2(x+2b)≤0，又y=log2(x+2b)在定义域(-2b，+∞)上单调递增，且零点为1-2b