山东省济南市平阴县实验高级中学2025-2026学年高二上学期1月阶段检测数学试卷(含解析)

2024级高二上学期1月份阶段检测数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的。

1.已知a=(2,-1,3),b=(-4,-2,x),且a⊥b,则x的值为()

A.1B.2C.3D.4

2.双曲线的渐近线方程为()

A.y=±4xB.y=±2xD.

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a₄=7,S₅=25,则a₁=()

A.1B.2C.3D.5

4.若直线l₁:ax+3y-1=0与直线l₂:3x+ay+1=0平行，则实数a为()

A.-3B.3C.3或-3D.1或-1

5.已知数列{an}满足则a2025=()

A.-1B.2C.3D.

6.根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，

一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.

如图所示，从A(6,m)沿直线y=m发出的光线经抛物线y²=6x两次

反射后，回到光源接收器D(5,m₂),则该光线经过的路程为()

A.11B.12C.14D.16

7.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，,AB=AC=AA₁=1,已知G与E分别为AB₁

和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF

的长度的取值范围为()

A.[√2,√3]B.

C.D.

8.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，F₁,

F₂为该椭圆的焦点，P为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1,,则下列结论不正

确的是()

A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为

C.满足∠F₁PF₂=90°的点P共有4个D.|PF|·|PF₂|的最大值为8

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知数列{a}的前n项和Sₙ=n²-11n,则()

A.当且仅当n=5时S。取到最小值B.aₙ=2n-12

C.数列是等差数列D.|a|+|a₂|+…+|a₁₀|=50

10.已知圆C:x²-4x+y²+8y+4=0,则下列结论正确的是()

A.圆C关于直线y=-2x对称B.对Va∈R,直线ax-y-2a-1=0与圆C都相交

C.点P(x,y)为圆C上任意一点，则(x+1)²+y²的最大值为9

D.圆C与圆(x+1)²+y²=9的公共弦长为

11.在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点到点iF(-√2,0),F₂(√2,0)的距离之积为定值

λ(λ>0),且曲线C经过坐标原点，若点P(x₀,y%)为曲线C上一点，则下列结论正确的是()

A.点(-2,0)在曲线C上B.y。的取值范围为[-√2,√2]

C.曲线C的方程为(x²+y²)²=4(x²-y²)D.x?+y²的最大值为4

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。

12.已知a=Q1,0,1),b=(-2,-1,1),则|a-b|=·

13.已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F,0为坐标原点，若在C的左支上

存在关于x轴对称的两点A,B,使得|AF|=|AB|,且BO⊥AF,则C的离心率为_

14.《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”

问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个

剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2,被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，

分别得到数列{xn},{yn},将{xn},{yn}中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，

得到数列{bn},则b₁00=

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.等差数列{an}满足a₁+a₂=10,a₆-a₄=4.

(1)求{an}的通项公式和前n项和Sn;

(2)设等比数列{bn}满足b₂=a₃,b₃=a₇,求数列{bn}的前n项和Tn·

16.已知圆C经过点A(0,3),B(2,5),且圆心C在直线x-y+1=0上.

(1)求圆C的标准方程；

(2)求过点P(4,6)与圆C相切的直线方程.

17.已知抛物线E:y²=2px(p>0)经过点P(1,2).

(1)求抛物线E的方程；

(2)设直线l:y=kx+m交抛物线E于A、B两点，且直线PA与PB倾斜角互补，求k的值.

18.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，D是AC的中点，AB=AP=2,PA⊥

平面ABC.

(1)求AB与平面PBD所成角的正弦值；

(2)若AMl平面PBC于点M,求平面ACM与平面ACP夹角的余弦值.

19.极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆C(a>b>0),极点

M(x₀,y)(不是坐标原点)对应椭圆C的极线为lM.已知F₁,F₂为椭圆C的左右

焦点，点M为C上动点，若,则M对应椭圆C的极线经过点(4,-√2).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若动点M对应椭圆C的极线l交x=±a于A,B两点，求证：以AB为直径的圆恒过F₁,

F₂;

(3)若P(xp,yp)为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线lp交椭圆C于Q,R

两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明

理由.

2024级高二上学期1月份阶段检测数学试题答案

1-8.BCABBCCD9.BCD10.ABD11.ACD12.√1013.√3+114.239

1.【解析】因为a⊥b,所以2×(-4)+(-1)×(-2)+3x=0,解得x=2.故选：B

3.【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为a₄=7且S₅=25,可得得a₁=1,d=2.故选：A.

4.【解析】由题意可得：a×a-3×3=0,解得：a=±3,

当a=-3时，直线l₁:-3x+3y-1=0即3x-3y+1=0,与直线l₂:3x-3y+1=0重合，舍去，

当a=3时，直线l₁:3x+3y-1=0与直线l₂:3x+3y+1=0平行，故a=3,故选：B.

5.【解析】由,则a₂=-1,a₃=2,所I

所以数列{an}是周期为3的周期数列，则a2025=a₃=2.故选：B.

6.【解析】由抛物线方程y²=6x得设B(x₁,m),C(x₂,m₂),

由抛物线性质，BC与x轴的交点即为抛物线的焦点，所以AB|=6-x₁,|BC|=x₁+x₂+3,|CD|=5-x₂,

所以AB|+|BCl+|CD|=6-x₁+x₁+x₂+3+5-x₂=14,即该光线经过的路程为14,故选C

7.【解析】在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC,以点A为坐标原点，AB,AC、AA₁所在直线分别

为x、V、二轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)、

,设点F(x,0,0)、D(0,y,0),

由于GD⊥EF,贝,可得x+2y-1=0,∵x∈(0,1),则

.故选：C.

8.【解析】设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为C,椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，

则由截面与圆柱底面成锐二面角,得故A选项正确；

显然a=2,2b=2,解得b=1,则c=√a²-b²=√3,离心率,故B选项正确；

以椭圆的对称中心0为圆心，√3为半径作圆，由b<c,可知与椭圆有4个交点，所以满足∠F₁PF₂=90°的点P共

有4个，故C选项正确；由椭圆定义，可得P|F₁|+PF₂|=2a=4,,根据不等式，可得|PF₁|+|PF₂|≥2√PF|·|PF₂|,

解得|PF|·|PF₂|≤4,当且仅当|PF|=|PF₂|=2时，P|F|·|PF₂|取得最大值4,故D选项错误.故选：D.

9.【解析】选项A,已知Sₙ=n²-11n,这是一个二次函数，开口向上，对称轴为

由于n是正整数，因此当n=5或n=6时，S。取得最小值，故A错误；

选项B,由题意得Sₙ=n²-11n,当n≥2时，a=Sₙ-Sₙ₋1=n²-11n-[(n-1)²-11(n-1)]=2n-12,

当n=1时，a=S₁=1-11=-10,上式也成立，所以aₙ=2n-12,故B正确；

选项C,由题意得

,所以数列是等差数列，故C正确；

选项D,令a=2n-12≥0,则解得n≥6,所以当n≥7时，a₀>0,当n≤5时，a₀<0,当n=6时，aₙ=0,

故|a|+|a₂|+…+|a₁₀F-a-a₂-a₃-a₄-a₅+a₆…+a₁₀=S₁₀-2S₅=50,故D正确.故选：BCD.

10.【解析】圆C的标准方程为：(x-2)²+(y+4)²=16,

对于A,因圆心(2,-4)在直线y=-2x上，故圆关于直线y=-2x对称，即A正确；

对于B,对Va∈R,直线ax-y-2a-1=0即a(x-2)-y-1=0,则直线经过定点(2,-1),

而该点在圆(x-2)²+(y+4)²=16内，故Va∈R,直线ax-y-2a-1=0与圆都相交，即B正确；

对于C,依题意，P(x,y)在C:(x-2)²+(y+4)²=16上，而√(x+1)²+y²可理解为圆上的点P(x,y)与点

A(-1,0)的距离d,由图知d-|CA|+r=√(2+1)²+(-4)²+4=9,

所以(x+1)²+y²的最大值为81,故C错误.

对于D,将(x-2)²+(y+4)²=16与(x+1)²+y²=9相减得，公共弦所在直线的方程为：3x-4y-6=0,

圆心C(2,-4)到直线3x-4y-6=0的距离等于,所以公共弦长为.故D正确，故选：ABD

11.【解析】对于C,因为曲线C经过坐标原点，所以F₁O|.|F₂O|=λ=2.因为点P(x₀,y。)为曲线C上一点，所

以|PF|·|PF₂|=2,所以√(x+√2)²+38√(x%-√2²+y8=2整理得(x²+y)²-4(x²-v2)=0,

所以曲线C的方程为((x²+y²)²=4(x²-y²),所以C选项正确；

对于A,点(-2,0)的坐标满足方程(x²+y²)²-4(x²-y²)=0,所以A选项正确；

对于B,△PF₁F₂的面积

所以sin∠FPF₂=√2|%|,存在使得sin∠FPF₂=1,|v。|取最大值，

由题意，P为原点也符合题意，,B选项错误；

对于D,∵2PO=(PF₁+PF₂),则4Po²=(PF+PF₂)²4Po²=|PE|²+|PF₂²+2|PP|PE₂|cos∠FPF₂①,

由余弦定理得FFI²=P|²+|P₂²-2|PE||P|·cos∠FPĘ₂,∴8=|PE²+|PE₂²-2|P|P₂|cos∠FPF₂②,

联立①②可得

4Po²-84|PF||PF₂|cos∠F₁PF₂,即Po²=2cos∠F₁PF₂+2≤4,

当P点位于F₁F₂的两侧且在x轴上时“=”成立，即x?+y2的最大值为4,所以D选项正确.故选：ACD.

13.【解析】解法1:AB⊥x轴，令垂足为D,由双曲线的对称性知|BFAFHAB|,则△ABF是正三角形，

又BO⊥AF,FO⊥AB,则O是△ABF的中心，|AO=OF|=c,而∠AOD=60,

点在双曲线C,因此即

整理得即e⁴-8e²+4=0,解得e²=4+2√3=(√3+1)²,

所以C的离心率e=√3+1,故答案为：√3+1

解法2:因为AB⊥x轴，令垂足为D,由双曲线的对称性知|BF=AF=|AB|,

则△ABF是正三角形，又BO⊥AF,FO⊥AB,则O是△ABF的中心，

因为∠AOD=60,

取双曲线的左焦点F',连AF′,由题意知点D为OF′的中点，

所以∠AF'D=60,即AF′⊥AF,在Rt△AF'F中，|AF'|=c,|AF|=√3c

由双曲线的定义可知|AF|-|AF'|=√3c-c=2a,即(√3-1)c=2a,所!

14.【解析】因为{xn}={2,5,8,11,…,{yn}={2,6,10,14,…},

可知数列{xn}是首项为2,公差为3的等差数列，{yn}是首项为2,公差为4的等差数列，

可得xn=2+3(n-1)=3n-1,yn=2+4(n-1)=4n-2,

又因为数列{xn},{yn}的相同的数组成的数列为{Zn}={2,14,26,…},

可知数列{zn}是首项为2,公差为12的等差数列，可得zn=2+12(n-1)=12n-10,

则数列{bn}依次为x₂,y2,x₃,Y3,x4,x6,y₅,x₇,y6,xg,…,可得bsn=x4n,所以b₁00=xg₀=239.故答案为：239.

15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d,则2d=a₆-a₄=4,可得d=2,………2分

∴a₁+a₂=2a₁+d=2a₁+2=10,解得a₁=4,4分

则an=a₁+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2.6分

所以，…………8分

(2)设等比数列{bn}的公比为q,…………11分

所以，…………13分

16.解：(1)设圆标准方程为(x-a)²+(v-b)²=r²(r>0),2分

由题意得9-…………4分

所以圆的标准方程为(x-2)²+(y-3)²=4;………7分

(2)当直线的斜率不存在时，x=4符合题意，…………9分

当直线斜率存在时，设该斜率为k,此时直线方程为y-6=k(x-4),

即kx-y-4k+6=0,圆心(2,3)到该直线的距离为r,即…………11分

解得…………13分

此时直线方程为5x-12y+52=0,…………14分

故所求直线方程为x=4和5x-12y+52=0.…………15分

17.解：(1)由题意知：4=2p,∴p=2,所以抛物线方程为y²=4x…………4分

(2)联立方程,得k²x²+(2km-4)x+m²=0,

设A(x₁,Y1),B(x,y₁),

则△=(2km-4)²-4k²m²=16-16km>0,即km<1,,…………8分

因为直线PA与PB倾斜角互补，kpA+kpB=0…………10分

整理得：解得：k=-1…………15分

18.解：(1)因为△ABC为等边三角形，D是AC中点，则BD⊥AC,且PA⊥平面ABC,

以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴，过D平行于PA的直线为二轴，建立空间直角坐标系，…1分

则A(0.-1L.0).B(√3.0.0).C(0.1.0).,D(0.0.,0).P(0.-1.2),

可得DB=(√3,0,0),DP=(0,-1,2),AB=(√3,1,0),……3分

设平面PBD的法向量为m=(x,y,z),

令y=2,则x=0,z=1,可得m=(0,2,1),……5分

……7分

所以AB与平面PBD所成角的正弦值为……8分

(2)由(1)可得：PC=(0,2,-2),BC=(-√3,1,0),AC=(0,2,0),

设平面PBC的法向量为n=(x₁,y,z₁),则

令x₁=1,则y₁=Z₁=√3,可得n=(1,√3,√3),……11分

因为AM⊥平面PBC,则直线AM的方向向量可以为n=(1,√3,√3),……12分

设平面ACM的法向量为贝

令x₂=√3,则y₂=0,z₂=-1,可得n₂=(√3,0,-1),……14分

由题意可知：平面ACP的法向量可以为n₃=(1,0,0),……15分

所以