03实际问题与二元一次方程组课件人教版数学七年级下册

目录LOGO10.3实际问题与二元一次方程组第十章二元一次方程组学习目标课时讲解1课时流程2列二元一次方程组解应用题的基本步骤列方程组解应用题的常见题型逐点导讲练课堂小结作业提升知1－讲探究新知知识点列二元一次方程组解应用题的基本步骤11.基本思想方法列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组.探究新知2.注意事项：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等；(4)方程(组)的解要符合问题的实际意义；(5)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程.知1－讲探究新知知1－讲3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题；(2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)；(3)找：找出能表示题意的两个等量关系；(4)列：根据等量关系列出方程组；(5)解：解这个方程组，求出未知数的值；(6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案(包括单位名称).探究新知知1－讲特别解读找等量关系的方法：1.抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；2.根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；3.挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；4.借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系.知1－练探究新知[母题教材P94例4]快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送件和揽件数量.某快递公司的快递员小李送货物100件和揽货物40件，提成为230元；送货物120件和揽货物20件，提成为220元.求快递员小李送1件货物和揽1件货物的提成分别为多少元.例1知1－练探究新知解题秘方：根据送货物100件的提成+揽货物40件的提成=230元；送货物120件的提成+揽货物20件的提成=220元列方程组求解.知1－练探究新知

知1－练探究新知1-1.某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元(两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变)，A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？知1－练探究新知探究新知知2－讲知识点列方程组解应用题的常见题型2类型基本数量关系和差倍分问题较大量=较小量+多余量，总量=一份的量×份数

探究新知知2－讲行程问题路程(s)=速度(v)×时间(t).(1)相遇问题：甲路程+乙路程=总距离.(2)追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追者走的路程.(3)航行问题：①顺水速度=静水速度+水流速度；②逆水速度=静水速度-水流速度工程问题工作量=工作效率×工作时间总工作量=个体工作量之和

探究新知知2－讲销售问题利润=售价-成本售价=标价×(当打n

折销售时)利润率=×100%增长(降低)率问题原量×(1+增长率)=增长后的量原量×(1-降低率)=降低后的量

知2－讲探究新知特别提醒不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“售价”“标价”“折扣”等等.这些词语往往是表示数量关系和寻找等量关系列方程的关键.探究新知知2－练

解题秘方：紧扣人数之间的数量关系，关键是和、差、倍、分关系，建立已知量与未知量的等量关系.例2

探究新知知2－练解：设甲班有x人，乙班有y

人，根据题意，得解得答：甲班有48人，乙班有45人.知2－练探究新知2-1.

[期末·上海闵行区]某学校5月开展校园科技节，已知七年级(1)班和(2)班各有48人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中(1)

班参加人数的2倍比(2)班没参加的人数多5，而(2)班参加的人数比(1)班没参加的人数的一半少1.求这两个班各有多少人参加模型比赛.探究新知知2－练探究新知知2－练有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字的9倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原三位数.解题秘方：一个三位数可以表示为各个数位上数字乘以相应计数单位的和：三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字.例3探究新知知2－练解：设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位数为y，由题意得解得所以4×100＋39=439.答：原三位数为439.探究新知知2－练3-1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，若这个两位数加上9，所得的两位数的数字顺序与原来两位数的数字顺序恰好颠倒，求原两位数.探究新知知2－练现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，问：用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底，可以正好做成一批完整的盒子？解题秘方：解配套问题的关键是从相关描述中找到“配出一套”所对应的数量关系，本题中“一个盒身配两个盒底”隐含的数量关系是盒底的数量=2×盒身的数量.例4

探究新知知2－练

探究新知知2－练4-1.[期末·北京丰台区]青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱.现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具.若一名工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数，可使生产的茶具配套？探究新知知2－练探究新知知2－练小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表所示.例5购买商品A的数量/个购买商品B的数量/个购买总费用/元第一次购物651140第二次购物371110第三次购物981062

知2－练探究新知解题秘方：根据未打折时的购买情况求标价，根据打折时的购买情况求折扣.探究新知知2－练(1)在这三次购物中，第_____次购物打了折扣；解：在第三次购物时，购买数量增加但总费用减少，可以判断小林在第三次购物时打了折扣.三探究新知知2－练(2)求出商品A，B每个的标价；

探究新知知2－练(3)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？

知2－练探究新知5-1.[期末·西安未央区]为落实教育部门安排的学生社会实践活动，学校决定借此机会培养学生的“财商”.某校八年级利用课后延时服务时间进行物品义卖，某班用100元批发了笔记本和中性笔共80个参加义卖，笔记本和中性笔的批发价与义卖价如表所示：知2－练探究新知该班当天卖完这些笔记本和中性笔的利润为多少元？品名笔记本中性笔批发价/(元/个)2.50.5义卖价/(元/个)31探究新知知2－练探究新知知2－练在某市“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条4000m长的公路，甲队每天修建200m，乙队每天修建250m，一共用18天完成例6

解题秘方：根据工程问题中的等量关系列方程组，设出的未知数不同，所列的方程组也不同.知2－练探究新知

甲队修建的时间乙队修建的时间184000知2－练探究新知(2)陈彬同学的思路是设甲工程队一共修建了am公路，乙工程队一共修建了bm公路.请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天.

知2－练探究新知6-1.[模拟·海南]海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A，B两款无人机协同喷洒生态农药，已知A型无人机每小时可喷洒12hm2，但电池续航为5h；B型无人机每小时喷洒10hm2，续航可达6h.某日，A，B两款无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积为360hm2，且所有无人机累计飞行35h，问：A，B两款无人机各出动多少架？探究新知知2－练探究新知知2－练

例7

探究新知知2－练解题秘方：等量关系相向而行汽车h行驶的路程+摩托车h行驶的路程=160km同向而行汽车h行驶的路程=摩托车(1+)h行驶的路程探究新知知2－练

相等关系中的单位要统一所设非所求，需进一步代入计算探究新知知2－练7-1.某中学新建的塑胶操场跑道的一圈长为400m.甲、乙两名运动员若从同一起点同时出发，相背而跑，则40s后首次相遇；若从同一起点同时出发，同向而跑，则200s后甲首次追上乙.求甲、乙两名运动员的速度.探究新知知2－练探究新知知2－练[母题教材P104练习T3]某人骑自行车从A地出发去B地，先以每小时12km的速度下坡，再以每小时9km的速度在平路上行驶至B地，共用55min；回来时他以每小时8km的速度通过平路后，再以每小时4km的速度上坡至A地，共用1.5h.求A，B两地之间的路程.例8探究新知知2－练解题秘方：解决上、下坡路程的往返问题时，虽然速度发生了改变，但每段路程不变，根据时间总量列方程组求解.探究新知知2－练解：设从A地到B地的下坡路程为xkm，平路路程为ykm.由题意，得解得x＋y=3＋6=9.答：A，B两地之间的路程为9km.知2－练探究新知8-1.

甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每小时行驶20km，平路每小时行驶30km，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米.探究新知知2－练解：从下午1点到下午3点30分共2.5h，由题意可知汽车从乙地返回甲地的时间是下午4点，从下午4点到下午6点48分共2.8h.设甲地到乙地的行驶过程中平路是xkm，上坡路是ykm，则下坡路是(74－x－y)km.探究新知知2－练探究新知知2－练A，B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.解题秘方：本题关键是找到各速度之间的关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，再结合公式“路程=速度×时间”列方程组求解.例9

探究新知知2－练解：设轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h.由题意，得解得答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h.知2－练探究新知9-1.

一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要4h，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要4.2h，若甲地和乙地的航线距离是4200km，求这架飞机在无风时的平均速度和风速.探究新知知2－练探究新知知2－练某中学现有在校学生4200人，计划一年后在校初中生人数增加8%，在校高中生人数增加11%，这样全校在校学生总人数将增加10%.该校现有在校初中生、在校高中生各多少人？例10探究新知知2－练解题秘方：本题中在校初中生人数增加的基准、在校高中生人数增加的基准、全校在校学生增加的基准不同，分别是现有的在校初中生人数、现有的在校高中生人数、现有的在校学生总人数.探究新知知2－练

探究新知知2－练10-1.某农场去年大豆和小麦的总产量为200t，今年大豆和小麦的总产量为225t，其中大豆比去年增产5%，小麦比去年增产15%，求该农场今年大豆和小麦的产量各是多少吨.探究新知知2－练探究新知知2－练[新考向数学文化]《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同)，称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两？例11

探究新知知2－练解题秘方：根据题意可得等量关系：9枚黄金的质量等于11枚白银的质量；(10枚白银的质量+1枚黄金的质量)-(1枚白银的质量+8枚黄金的质量)等于13两，根据等量关系列出方程组求解即可.探究新知知2－练

知2－练探究新知11-1.[期末·咸阳秦都区]《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数，两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘，问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人，若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题.探究新知知2－练探究新知知2－练[母题教材P103练习T1]小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图10.3-1所示.小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图10.3-2所示的正方形，不过中间留下一个空白，恰好是一个边长为2cm的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？例12探究新知知2－练解题秘方：根据拼图方式找出小长方形的长和宽之间的数量关系解决问题.解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm.根据题意，得解得答：每个小长方形的长为10cm，宽为6cm.知2－练探究新知12-1.

[月考·长春双阳区]某校举办学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品.若大长方形的长和宽分别为45m和30m，求小长方形的长和宽.探究新知知2－练探究新知知2－练[母题教材P119复习题T12]某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求.已知该厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元.例13探究新知知2－练思路导引：探究新知知2－练(1)若全部资金只用来购进其中两种型号的手机，共40部，则商场共有哪几种进货方案？

探究新知知2－练

探究新知知2－练

探究新知知2－练(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，在(1)的条件下，为使销售时获利最大，商场应选择哪种进货方案？探究新知知2－练方案一获利：120×30+80×10=4400（元）.方案二获利：120×20+120×20=4800（元）.因为4400元<4800元，所以方案二获利较多.所以商场应购进甲型号手机20部，丙型号手机20部.探究新知知2－练13-1.[期末·南京玄武区]某物流公司现有114t货物，计划租用A，B两种型号的车，经理发现运货货单上的一个信息是：A型车(满载)B型车(满载)运货总量3辆2辆38t1辆3辆36t探究新知知2－练根据以上信息，解答下列问题：(1)求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨.探究新知知2－练探究新知知2－练(2)若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物.①请你帮该物流公司设计租车方案；探究新知知2－练因此，该物流公司有3种租车方案：方案1：租用A型车14辆、B型车3辆；方案2：租用A型车9辆、B型车6辆；方案3：租用A型车4辆、B型车9辆．探究新知知2－练②若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次.经理让会计小李和小王核算一下具体运费.请你帮他们算算，最少租车费用是多少元？此时租车方案是什么？探究新知知2－练解：方案1的租车费用为800×14＋3×1000＝14200(元)，方案2的租车费用为800×9＋6×1000＝13200(元)，方案3的租车费用为800×4＋9×1000＝12200(元)．因为14200元＞13200元＞12200元，所以最少租车费用为12200元，此时租车方案是租用A型车4辆、B型车9辆．实际问题与二元一次方程组建模设、列二元一次方程组解二元一次方程组检验(答)实际问题方法图示法1[母题教材P119复习题T9]若甲、乙两人同时从相距28km的两地相向而行，则经过2h两人相遇.若甲、乙两人同时从相距28km的两地同向出发，则2.8h后甲能追上乙.求甲、乙两人的速度.例14解题秘方：用线段图(如图10.3-3)表示题目中的等量关系，根据线段图列出方程组求解.

方法点拨将题目中的条件及它们之间的关系用简单明了的示意图表示出来，根据图示中有关数量的内在联系，找到相等关系，列出方程组.方法列表法2[期末·北京通州区]某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地(运送一次)，现有A，B两种型号的车型可供选择，每辆车的运载量和运费如下表(假设每辆车均达到最大满载量)：例15型号AB汽车运载量(吨/辆)

58汽车每次运费(元/辆)

600800

若要将全部物资用A，B两种车来运送，运费恰好是18000元，问需A，B两种型号的车各几辆？

解题秘方：根据题意设需A型车x

辆，B型车y

辆，则可设计如下表格：AB合计运载量/吨5x

8y

170费用/元600x

800y

18000

方法点拨将题目中的有关数量及其关系填在事先设计好的表格内，根据表格逐层分析，找到等量关系，列出方程组.方法设辅助元法3甲、乙两个公交车站相向发车，一人在街上匀速行走，他发现每隔4min就迎面开来一辆公交车，每隔12min从背后开来一辆公交车.如果两车站发车的时间间隔相同，各车的速度相同，求两车站发车的时间间隔.例16解题秘方：相遇时：车走的路程+人走的路程=间隔距离；追及时：车走的路程-人走的路程=间隔距离.

方法点拨有一类问题，若按常规的方法设未知数，则很难找到其中的等量关系.此时，可以根据题目的特点，恰当地增设一个或几个辅助元，设而不求，将问题适当地转化.易错点在列方程组时，单位不统一造成错误某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地.如果他以50km/h的速度行驶，那么就会迟到24min到达乙地；如果他以75km/h的速度行驶，那么可提前

24min到达乙地.求甲、乙两地之间的距离.例17解题秘方：根据相同的距离用不同的速度行驶所需的时间列方程组求解.

诊误区：当单位不统一时，所列方程的左右两边表示的量实际是不相等或者某个量是没有意义的，所以在列方程(组)解决实际问题时，需要特别注意统一单位，如：例题中的速度单位是km/h，而时间单位是min，需换算单位.[中考·盐城]中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为_______尺.考法利用二元一次方程组解决古算术问题1例1815试题评析：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键.

[中考·自贡]某小区人行道地砖铺设图案如图10.3-4所示，用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长40cm，则小地砖短边长为()A.7cm B.8cmC.9cm D.10cm考法利用二元一次方程组解决几何问题2例19试题评析：本题主要考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．由图示可得等量关系：①2个小平行四边形的长=1个小平行四边形的长+4个小平行四边形的宽，②1个小平行四边形的长+1个小平行四边形的宽=40cm，列出方程组，解方程组即可．

[中考·吉林]如图10.3-5，钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.考法利用二元一次方程组解决和差倍分问题3例20试题评析：本题考查二元一次方程组的实际应用，解题关键是从题目中提炼出等量关系.

[中考·广西]自2025年5月9日起至2025年12月31

日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：考法利用二元一次方程组解决表格问题4例21

湖南境内路段广西境内特定路段广西境内其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折试题评析：本题考查列代数式和列二元一次方程组解决实际问题，结合表格分析得出等量关系是解题关键.(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a

元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元.解：此行程实际支付高速费用为0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)元.(2)周日他们从A市到K市(全程在广西境内)，高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．

1.[新考向数学文化中考·宿迁]《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．

D2.[母题教材P99习题T5]甲、乙两地相距100km，一艘轮船往返于甲、乙两地之间，顺流用4h，逆流用5h，则这艘轮船在静水中的航速与水速分别是(

)A.24km/h，8km/hB.22.5km/h，2.5km/hC.18km/h，24km/hD.12.5km/h，1.5km/hB3.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图①就是一个幻方.图②是一个未完成的幻方，则x与y的和