广东省阳江市第三中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题（含答案）

第第页广东省阳江市第三中学2024--2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合A=−π,−e,0,1,A．0,1,e B．−e,0,1 C．−2．若z=1+i1−A．−1 B．1 C．2i D．3．已知向量a=2,−1,b=A．4 B．5 C．35 D．4．已知sinα+cosα=A．−247 B．247 C．−5．5件产品中有2件次品，现逐一检查，直至能确定所有次品为止，则第四次检测结束的概率为（）A．310 B．25 C．356．若函数fx=lnA．1 B．12 C．－1 D．7．已知Sn为等差数列an的前n项和，若a3A．−8 B．−18 C．0 D．128．过双曲线C:x22−y2=1的中心作直线l与双曲线C交于P、Q两点，设双曲线CA．33 B．1 C．2 D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．对于直线l:x+y−1=0，下列说法正确的有（）A．直线l过点0,B．直线l与直线y=x垂直C．直线l的一个方向向量为1,1D．原点到直线l:x+y−1=0的距离为110．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A．若B>C，则b>cB．sinC．若b2+cD．若b2+c11．若x+15A．aB．数据a0C．数据a0,aD．记i=05ai=μ，随机变量X~N三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．若函数fx=x2−2ax+413．已知抛物线C:x2=4y焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为2，则14．德阳市去年完工的华强沟水库是坝斜面与水平面所成的二面角为60∘，堤坝斜面上有一条直道CD与堤脚的水平线AB的夹角为30∘，小李同学沿这条直道从C处向上行走到10米时，小李升高了四、解答题（本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.）15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA−（1）求A；（2）若BD=2DA，BC=CD，求16．如图，已知四棱锥S−ABCD的底面为菱形，∠BAD=π（1）求证：AC⊥平面BDS；（2）若AB=2,BS=3,DS=1，求四棱锥17．已知函数fx（1）若直线y=−1与曲线y=fx相切，求a（2）讨论fx（3）若fx≤0在定义域内恒成立，求18．已知椭圆x2a2+y（1）求椭圆的方程；（2）设过点M0,2且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A、B，点O在以线段AB为直径的圆外（O为原点），求k19．已知an是公差不为0的无穷等差数列.若对于an中任意两项am，an，在an中都存在一项ai，使得（1）已知an=2n，bn=4n+3n=1,2,⋯，判断数列a（2）若数列an具有性质P，证明：a（3）若a1=18，求具有性质P的数列

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得B=x−2<x<3，所以A∩B=0,1,故答案为：A.【分析】解一元二次不等式得出集合B，再根据交集的运算法则，从而得出集合A∩B.2．【答案】A【解析】【解答】解：z=1+i1−故答案为：A.【分析】根据复数代数形式的乘法、除法运算，结合虚数的乘方求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：由2a−b=4−x,−4，且2a−所以b=6,2，

可得a−b=故答案为：B.【分析】根据向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，从而得出x的值，进而得出向量b→的坐标，再利用向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，从而得出a4．【答案】B【解析】【解答】解：将sinα+cosα=15与sin2α+cos2α=1联立，由二倍角公式，可得tan2α=故答案为：B.【分析】利用同角三角函数基本关系式和α∈0,π，从而得出角α的三角函数值，再利用二倍角的正切公式，从而得出5．【答案】C【解析】【解答】解：因为检验4次的方法总数为A5又因为恰好检验4次就停止，所以前三次中检验出一件次品，第4次检验出第2件次品，共C3或前三次中检验出一件次品，第4次检验出一件正品，共C3所以满足题意的概率为P=36+36故答案为：C．【分析】根据总的检验方法数易求恰好检验4次就停止，说明前三次中检验出一件次品，第4次检验出第2件次品或前三次中检验出一件次品，第4次检验出一件正品，再利用组合数公式，从而分别求出方法数后可得概率，再利用互斥事件加法求概率公式和古典概率公式，从而得出第四次检测结束的概率.6．【答案】D【解析】【解答】解：函数fx=lnex−1+mx的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，

因为函数fx=lnex−1所以f−x所以fx故选：D.【分析】先求得函数的定义域，进而根据偶函数的定义，可得f−1=f17．【答案】B【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d因为a3+S3=12, a4+又因为S9=9(a1故答案为：B.【分析】根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式，再结合已知条件得出S98．【答案】D【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，连接PF'、QF'，

由∠PFQ=2π3不妨设P在双曲线的右支上，再设PF'=m，PF=n，由双曲线的定义，可得PF在∆FPF'中，由余弦定理可得，则12=m2+所以S△PFQ故答案为：D.【分析】设双曲线的左焦点为F'，连接PF'、QF'，根据双曲线图形的对称性得到S△PFQ=S△PF9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、把0,1代入x+y-1=0中得0+1-1=0，显然直线l:x+y−1=0经过点(0,1)B、由l:x+y−1=0可得y=−x+1，所以直线l的斜率为k1=−1，而直线y=x的斜率为k2=1，所以C、若直线l的一个方向向量为1,1，则其斜率应该是k=1D、原点到直线l:x+y−1=0的距离为d=|−1|故选：AB.【分析】将0,110．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，在∆ABC中，B>C，则b>c，故A正确；对于B，因为sin(A+C)=对于C，由b2+c2>对于D，由b2+c2<a2，得cos故答案为：ABD.【分析】根据三角形中的边角关系判断出选项A；利用三角形内角和定理和诱导公式，则判断出选项B；利用已知条件和余弦定理以及三角形形状的判断方法，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于选项A：令x=0，则a0对于选项B：因为x+15的展开式的通项为Tr+1=可得a0又因为数据a0+1,a则平均数为x=方差为s2所以标准差为3，故B正确；对于选项C：将数据a0,a1,所以，该数据40%对于选项D：因为i=05所以PX<20故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件和赋值法，则判断出选项A；根据二项式定理求出展开式的通项，再利用平均数公式和方差公式，则判断出选项B；根据百分位数计算公式，则可判断选项C；根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.12．【答案】0,+∞【解析】【解答】解：因为函数fx图象的对称轴为直线x=a，

由fx在0,+∞所以，实数a的取值范围为0,+∞故答案为：0,+【分析】根据已知条件结合二次函数图象的对称性和单调性，从而得出实数a的取值范围.13．【答案】2【解析】【解答】解：由抛物线的定义，

则|PF|等于点P到抛物线的准线y=−1的距离，因为xP=2，代入x2=4y，所以|PF|=y故答案为：2.【分析】利用抛物线的定义进行距离转化，从而得出|PF|的值.14．【答案】5【解析】【解答】解：取CD上一点E，设CE=10米，

过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，

则线段EG的长就是所求的高度，在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，连接FG，

由三垂线定理的逆定理，得出FG⊥AB，所以∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，则∠EFG=60所以EG=EFsin故答案为：532.

【分析】取CD上一点E，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长为所求的高度，在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，得出FG⊥AB，则∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，从而得出∠EFG=6015．【答案】（1）解：因为sinA−sinBc−b=所以b2+c2−由0<A<180°，

​​​​​​​得（2）解：如图，

因为BD=2DA，BC=DC，

所以AD=13在∆ADC中，由余弦定理，

得DC则a2在∆ABC中，由余弦定理，

得BC则a2=所以c29+b2由c>0，解得b=43c，

代入①，得a2=139在∆ABC中，由余弦定理，

得cosB=【解析】【分析】（1）由题意结合正弦定理和余弦定理以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.（2）由（1）结合题意可得AD=13c，DC=a，在∆ADC和∆ABC中，利用余弦定理建立方程c29+b（1）sinA−sinB得b2+c由0<A<180°，得（2）如图，因为BD=2DA，BC=DC，所以AD=1在△ADC中，由余弦定理得DC即a2在△ABC中，由余弦定理得BC即a2=所以c29+由c>0解得b=43c，代入①得a2=在△ABC中，由余弦定理得cosB=16．【答案】（1）证明：设AC与BD相交于点O，因为底面ABCD为菱形，

所以AC⊥BD，且O为AC、BD中点，又因为AS=CS，

所以SO⊥AC,SO∩BD=O,SO、BD⊂平面BDS，所以AC⊥平面BDS.（2）解：因为底面ABCD是菱形，∠BAD=π3,AB=2，

所以∆ABD是等边三角形，

在∆BDS中，BS=3,DS=1,BD=2，满足根据勾股定理逆定理，可知∠BSD=90°，则由（1）知AC⊥平面BDS，

所以VS−ABCD又因为S△SBD所以VS−ABCD【解析】【分析】（1）由菱形的性质与等腰三角形的性质，从而可得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理得出直线AC⊥平面BDS.（2）由菱形的性质与勾股定理以及逆定理，从而得出SD⊥SB，结合（1）知AC⊥平面BDS，再利用三角形面积公式和四棱锥体积公式，从而得出四棱锥S−ABCD的体积.（1）设AC与BD相交于点O，因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC、BD中点.又因为AS=CS，所以SO⊥AC,SO∩BD=O,SO、BD⊂平面BDS，所以AC⊥平面BDS.（2）因为底面ABCD是菱形，∠BAD=π3,AB=2，所以△ABD在△BDS中，BS=3,DS=1,BD=2，满足根据勾股定理逆定理可知∠BSD=90°，即由（1）知AC⊥平面BDS，所以VS−ABCDS△SBD则VS−ABCD17．【答案】（1）解：因为fx=lnax+x由f'x=1x+1=0，

可得x=−1，

所以直线则f−1=ln−a−1=−1（2）解：因为a<0，

所以函数fx的定义域为−由f'x=x+1x<0，

可得−1<x<0，

由所以，函数fx的单调递增区间为−∞,−1（3）解：由（2）可得fxmax=f−1=又因为a<0，

所以，实数a的取值范围是−e【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得出切点的横坐标，再结合切线方程可得出切点的坐标，将切点坐标代入函数fx的解析式，从而可得实数a（2）利用函数的单调性与导数的正负的关系，从而得出函数fx（3）由（2）可得fxmax，再解不等式fxmax≤0（1）因为fx=ln由f'x=1x+1=0，可得x=−1，所以直线故f−1=ln（2）因为a<0，所以函数fx的定义域为−由f'x=x+1x<0可得故函数fx的增区间为−∞,−1（3）由（2）可得fxmax=f又因为a<0，故实数a的取值范围是−e18．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为c，

则2c=23，得c=因为椭圆离心率为ca=32，

解得所以，椭圆的方程为x2（2）解：设直线的方程为y=kx+2，Ax1,y由y=kx+2x24+y由Δ=16k2则x1+x因为点O在以线段AB为直径的圆外，

所以∠AOB为锐角，因为A,B,O不共线，

所以cos∠AOB>0则OA⋅OB>0，

又因为y所以x=12解得k2因为k2>3解得−2<k<−32或则实数k的取值范围为−2,−3【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦距公式和离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而可得a,b,c的值，进而得出椭圆的标准方程.（2）根据题意，设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，再根据韦达定理和点O在以线段AB为直径的圆外，则∠AOB为锐角其余弦值大于0，结合数量积的坐标表示和k2>3（1）设椭圆的半焦距为c，则2c=23，得c=又离心率为ca=32，解得故椭圆的方程为x2（2）设直线的方程为y=kx+2，Ax1,y由y=kx+2x24由Δ=16k2则x1+因为点O在以线段AB为直径的圆外，所以∠AOB为锐角，因A,B,O不共线，所以cos∠AOB>0故OA⋅OB>0因y所以x=解得k2因为k2>3解得−2<k<−32或故实数k的取值范围为−2,−319．【答案】（1）解：因为an=2n，aman=2m×2n=22mn=a2mn，又因为bn=4n+3，令m=1,n=2，

则b1b2=4+34×2+3=7×11=77，77=4×19+1

（2）证明：设数列an的公差为dd≠0，

因为数列an具有性质P，

同理，存在aj=ana则j−id=and，

因为