四川省成都市2025届高三第二次诊断性检测数学试题数学试卷（含答案）

第第页四川省成都市2025届高三第二次诊断性检测数学试题数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．若1−iz=iA．−12+12i B．−2．已知集合A={x|xA．A∩B={x|x<−1} B．A∩B={x|−1<x<1}C．A∪B={x|x<−1} D．A∪B={x|x<1}3．居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称CPI），是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况（同比=本期数−去年同期数A．2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格B．2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格C．2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格D．2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格4．已知两个非零向量a,b满足a+b=A．b B．−b C．2a 5．袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（）A．1325 B．1225 C．356．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m=−A．1052 B．10−52 7．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为FA．102 B．10 C．52 8．若函数fx=eA．−∞,0∪C．−∞,−1∪二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)=sin(A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于直线x=πC．f(x)在(π3,5π6)10．已知数列an的通项公式an=n−22n−15A．数列{1B．∃n∈N*C．当n=8时，SnD．数列an−11．如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD,AB⊥BC,AB=2CD=2,BC=CC1=2，M是CCA．A1B．棱柱ABCD−AC．直线l1,D．四面体A1BC1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知角θ的终边过点P(3,4)，则sinθ+2cos13．设函数f(x)=2x3+ax2+bx，若f(x)的图象过点P(1,3)，且曲线y=f(x)在(0,0)14．对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线x4+y四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知3c=2a（1）求A；（2）若a=3，且△ABC的周长为3+3，求16．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA//平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．17．已知椭圆C上的动点M(x,y)总满足关系式(x+1)2+y2+(x−1)2+y2=2a(a>1)，且椭圆C（1）求抛物线Γ的方程和椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l交抛物线Γ于M,N两点，交椭圆C于A,B两点，若MF⋅NF=218．某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为13，派出专识题的概率为23.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为（1）求该选手在一轮答题中答对题目的概率；（2）记该选手在第n轮答题结束时挑战依然未终止的概率为pn（i）求p3（ii）证明：存在实数λ，使得数列pn+119．对于给定集合A⊆a,b∣a≥0,b≥0，若存在非负实数K1,K2，对任意的a,b∈A（1）证明：集合a,b∣a≥0,b=1具有性质1（2）若集合a,b∣a≥0,b≥0,a+b=1具有性质K1,（3）若集合a,b∣a≥0,b≥0,a3+b

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：z=i故答案为：A.【分析】根据已知条件和复数的除法运算法则，从而得出复数z.2．【答案】B【解析】【解答】解：依题意，集合A={x|x<1},B={x|2对于A、B，因为A∩B={x|−1<x<1}，故A错误、B正确；对于C、D，因为A∪B=R故答案为：B.【分析】利用高次不等式求解方法、指数函数的单调性解不等式的方法，从而得出集合A和集合B，再利用交集、并集的运算法则，从而判断出各选项，进而找出正确的选项.3．【答案】C【解析】【解答】解：对于A，由题可知，2024年10月份食品烟酒类价格同比涨幅为2%所以2024年10月份食品烟酒类价格高于2023年10月份食品烟酒类价格，故A错误；对于B，由图可知，2024年10月份教育文化娱乐类价格环比涨幅为0.2%所以2024年10月份教育文化娱乐类价格高于2024年9月份教育文化娱乐类价格，故B错误；对于C，因为2024年10月份医疗保健类价格环比涨幅为0.0%，

又因为2024年10月份医疗保健类价格同比涨幅为1.1%所以2024年10月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格，故C正确；对于D，因为2024年10月份居住类价格环比涨幅为0.0%，

又因为2024年10月份居住类价格同比涨幅为−0.1%所以2024年10月份居住类价格低于2023年10月份居住类价格，故D错误.故答案为：C.

【分析】根据题意结合统计的知识，从而逐项判断找出结论正确的选项.4．【答案】C【解析】【解答】解：由a+b=a−b，所以2a−b在向量a故答案为：C.【分析】由条件a+b=a−b化简得5．【答案】D【解析】【解答】解：从袋中不放回地依次随机取出2个球的试验有C5取出的2个球颜色相同的事件有C3所以这2个球颜色相同的概率为C3故答案为：D.【分析】根据已知条件，利用组合数公式和古典概率公式，从而得出这2个球颜色相同的概率.6．【答案】D【解析】【解答】解：令北极星与牛郎星的亮度分别为I1,I2，两式相减得−52lgI1故答案为：D.【分析】利用已知的函数关系建立方程，再结合对数运算法则和指数式与对数式的互化公式，从而得出北极星与牛郎星的亮度之比.7．【答案】A【解析】【解答】解：设P(x,y)，F(c,0),c=因为F关于直线y=3x的对称点为P，所以yx−c解得x=−4c因为点P在C上，

所以(−则16所以e2=52或故答案为：A.【分析】先求出点P坐标，再代入双曲线方程结合双曲线离心率公式变形，从而得出双曲线C的离心率.8．【答案】A【解析】【解答】解：由fx=e则f'令gx=aln则g'当a=0时，gx=1即函数fx在−1,+∞上单调递增，此时函数当a≠0时，令g'x=0当a<0时，x=1a−1<−1，

则g'x又因为x→−1时，gx→+∞；x→+所以存在x0∈−1,+∞，使得当a>0时，x=1则−1<x<1a−1时，g'x所以函数gx在−1,1a则gx设ha=a−alna，当0<a<1时，h'a>0；当a>1所以函数ha在0,1上单调递增，在1,+又因为he=0，且0<a<1时，则0<a≤e时，gxmin当a>e时，gxmin<0，且当x→−1时，gx→+∞；

综上所述，a的取值范围为−∞故答案为：A.

【分析】对函数fx求导，设gx=alnx+1+19．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，因为函数f(x)的最小正周期为2π2对于B，因为f(π12)=sin(2×π12对于C，当x∈(π3,5π6)故f(x)在(π对于D，当x∈(0,π)时，2x−π6∈(−π6,11π6解得x=π12或x=7π12，即故答案为：ACD.

【分析】根据已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象的对称性、正弦型函数的单调性、零点存在性定理，从而逐项判断找出正确的选项.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，由an=n−2则12an+1对于B，因为a7=−5，a8对于C，因为an=12⋅2n−15+112n−15=1a1当n≥8时，数列an单调递减，an>对于D，因为an又因为(2n−15)(2n−13)=4(n−7)2−1，

当n=7时，(2n−15)(2n−13)当n≤6或n≥8时，(2n−15)(2n−13)>0，

且当n=6或n=8时，(2n−15)(2n−13)取最小值3，所以数列an−a故答案为：ABD.

【分析】利用已知的通项公式结合等差数列定义、数列的单调性、二次函数的图象求最值的方法，从而逐项判断，找出正确的选项.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BB以点B为原点，直线BC,BA,BB1分别为则B(0,0,0),C(2对于A，因为BA1=(0,2,2),MD1=(0,1,22)=1对于B，在梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,AB=2CD，

则∠BAD为锐角，∠BCD=90因此∠BAD+∠BCD<180∘，梯形ABCD无外接圆，

则棱柱对于C，因为α/平面BDD1B1，α∩平面A则l1//BD，

令A1C1∩B1D因此直线l1,l2所成的角等于直线BD,BE所成的角，

由则E(223,2所以直线l1,l对于D，令BD∩AC=F,AB1∩则点G,H,I,J是直棱柱ABCD−AGH//A1C1//IJ,GH=12A1C1=IJ，四边形GHIJ是平行四边形，A1C1⊄平面GHIJ，

则A1C1//平面GHIJ，同理又因为BF//B1E，则四边形BB1EF为平行四边形，FE//BB1，

则FE⊥平面A1B1四面体A1BC1D所以四面体A1BC1D与四面体A故选答案为：ABD.

【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，再利用空间位置关系的向量证明，则判断选项A；利用异面直线夹角的向量求法判断出选项C；确定直角梯形是否有外接圆，从而判断选项C；作图求出四面体A1BC12．【答案】10【解析】【解答】解：由角θ的终边过点P(3,4)，得tanθ=所以sinθ+2故答案为：10.【分析】利用正切函数的定义和同角三角函数基本关系式，从而得出sinθ+213．【答案】−2【解析】【解答】解：因为函数f(x)=2x3+ax2+bx，求导得f'(x)=6x2+2ax+b，则f依题意，得出b=32+a+b=3，所以a=−2故答案为：-2.【分析】根据已知条件和导数的几何意义，从而求出切线方程，再建立方程组求出a的值.14．【答案】2【解析】【解答】解：因为把x换成−x，方程不变，所以曲线x4+y因为把y换成−y，方程不变，所以曲线x4+y因为把x换成−x，同时把y换成−y，方程不变，所以曲线x4因为把x换成y，同时把y换成x，方程不变，所以曲线x4+y因此最小覆盖圆圆心必在坐标原点，所以最小覆盖圆的半径为曲线x4∵x∴(x2∴0≤因此最小覆盖圆的半径为2.故答案为：2.

【分析】先分析曲线的图象的对称性，再求曲线上点到原点距离最大值，从而得出曲线x415．【答案】（1）解：在△ABC中，

由3c=2asinC和正弦定理得3sinC=2sinAsinC，

所以A=π3或（2）解：由△ABC的周长为3+3，a=3，得在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+则2bc(1+cosA)=6，

当A=2π3时，bc=6，则当A=π3时，bc=2，则b2−3b+2=0，解得所以，当A=2π3时，b无解；当A=π3时，【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理边化角结合三角形中角A的取值范围，从而求出A的值.（2）由（1）的结论结合余弦定理以及分类讨论的方法，从而列式求解得出满足条件的b的值.（1）在△ABC中，由3c=2asinC及正弦定理得3则sinA=32所以A=π3或（2）由△ABC的周长为3+3，a=3，得在△ABC中，由余弦定理得a2=b则2bc(1+cosA)=6，当A=2π3时，bc=6，于是当A=π3时，bc=2，于是b2−3b+2=0，解得所以当A=2π3时，b无解；当A=π3时，16．【答案】（1）证明：在四棱锥P−ABCD中，

PD⊥底面ABCD，AD,DC⊂底面ABCD，则PD⊥AD,PD⊥DC，

由底面ABCD是正方形，得AD⊥DC，以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设DC=2，

则A2,0,0PA=2,0,−2,DB=2,2,0,则DB⋅m=2x1+2y1=0DE⋅又因为PA⊄平面EDB，

所以PA//平面EDB.（2）证明：由（1）知，PB=2,2,−2，

由PB⋅又因为EF⊥PB且EF∩DE=E,EF,ED⊂平面EFD，所以PB⊥平面EFD.（3）解：由（1）知，C0,2,0，且CB设平面CPB的法向量为n=x2,y2,z2因为DB=(2,2,0),DP=(0,0,2)，又因为CA=2,−2,0所以DB⊥CA,DP⊥CA，

则平面PBD的一个法向量为CA=2,−2,0，

则cos〈所以，平面CPB与平面PBD的夹角为π3【解析】【分析】（1）以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面EDB的法向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出PA//平面EDB（2）由（1）知PB=2,2,−2，再利用PB⋅DE=0得出PB⊥ED，再结合EF⊥PB且EF∩DE=E,EF,ED⊂平面EFD（3）由（1）知，C0,2,0，且CB=2,0,0,PC=0,2,−2，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面CPB（1）在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD,DC⊂底面ABCD，则PD⊥AD,PD⊥DC，由底面ABCD是正方形，得AD⊥DC，以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设DC=2，则A2,0,0PA=2,0,−2,DB=则DB⋅m=2x1+2y而PA⊄平面EDB，所以PA//平面EDB.（2）由（1）知，PB=2,2,−2，由PB⋅又EF⊥PB，且EF∩DE=E,EF,ED⊂平面EFD，所以PB⊥平面EFD.（3）由（1）知，C0,2,0，且CB设平面CPB的法向量为n=x2,y2,DB=(2,2,0),DP=(0,0,2)，而CA即DB⊥CA,DP⊥因此cos〈n,CA〉=所以平面CPB与平面PBD的夹角为π317．【答案】（1）解：由椭圆C：(x+1)2+y2+因为F(1,0)是抛物线Γ:y2=2px的焦点，

则由对称性不妨令P(x0,y0)(y0≥0)，

由|PF|=53因此椭圆C的长半轴长a=2，短半轴b=a所以椭圆C的标准方程为x2（2）解：直线l不垂直于y轴，设其方程为x=ty+1，

M(x1,由MF⋅NF=2AF⋅BF，由x=ty+1y2=4x消去x，得y由x=ty+13x2+4y2=12消去x因此183t2所以直线l的方程为6x±y−【解析】【分析】（1）根据已知条件求出焦点坐标，再由抛物线方程求出点P的坐标，从而求出a,b的值，进而得出椭圆C的标准方程.（2）利用已知条件联立直线与抛物线、椭圆方程，再利用韦达定理和弦长公式列式求解，从而得出直线l的方程.（1）由椭圆C：(x+1)2+y而F(1,0)是抛物线Γ:y2=2px的焦点，则由对称性不妨令P(x0,y0)(y即点P(23,因此椭圆C的长半轴长a=2，短半轴b=a所以椭圆C的标准方程为x（2）直线l不垂直于y轴，设其方程为x=ty+1，M(x由MF⋅NF=2AF⋅由x=ty+1y2=4x消去x，得y由x=ty+13x2+4y2=12因此183t2所以直线l的方程为6x±y−18．【答案】（1）解：设事件A=“一轮答题中系统派出通识题”，

事件B=“该选手在一轮答题中答对”，

依题意，P(A)=13,P(A)=23，P(B|A)=35（2）（i）解：设事件Bn=“该选手在第n轮答对题目”，

各轮答题正确与否相互独立，

由（1）知，P(Bn)=13,P(Bn)=23，

当n=1时，挑战显然不会终止，即p1=1；

当n=2时，则第1、2轮至少答对一轮，p2=1−P(B1B2)=1−P(B1)P(B2)=59

由概率加法公式得：

p3=P(B3)p2+P(B2B3)p1=P(B3)p2+P(B2)P(B3)p1

=13×59+13×23×1=1127；

同理可得：

p4=P(B4)p3+P(B3B4)p2=P(B4)p2+P(B3)P(B4)p2、

=13×1127+13×23【解析】【分析】（1）根据已知条件和全概率公式计算得出该选手在一轮答题中答对题目的概率.（2）（i）将第3轮答题结束时挑战未终止的事件进行分拆，再利用互斥事件的加法公式和相互独立事件的乘法公式，从而求出p3，同理求出p4.

（ii）利用概率的加法公式和乘法公式列出递推公式以及全概率公式，再利用构造法和等比数列的定义，从而证出存在实数λ，使得数列（1）设事件A=“一轮答题中系统派出通识题”，事件B=“该选手在一轮答题中答对”，依题意，P(A)=13,P(因此P(B)=P(A)P(B|A)+P(A所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为13（2）（i）设事件Bn=“该选手在第由（1）知，P(B当n=1时，挑战显然不会终止，即p1当n=2时，则第1、2轮至少答对一轮，p2由概率加法公式得p3=P(同理p4=P(（ii）设事件Cn=“第当n≥3时，第n轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：①第n轮答对，且第n−1轮结束时挑战未终止；②第n轮答错，且第n−1轮答对，且第n−2轮结束时挑战未终止，因此第n轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为Cn则P(C因此P(C当n≥3时，pn=13p当n≥2时，pn+1−λp而pn+1=13pn+当n=1时p2因此当λ=−13时，数列{pn+1+当λ=23时，数列{pn+1−所以存在实数λ=−13或λ=219．【答案】（1）证明：要证集合a,b∣a≥0,b=1具有性质1即证∀a≥0，都有1+a因