四川省绵阳市游仙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

四川省绵阳市游仙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列事件中，属于必然事件的是（）A.13个人中至少有两个人出生月份相同B.掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3C.射击运动员射击一次，命中靶心D.2025年有366天3.将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则得到的抛物线解析式是（）A. B.C. D.4.若关于x的方程满足，则必有一根为（）A9 B. C.3 D.5.如图，中，，点在上，过点，且与相切于点，连接．若，，则的长为（）A.6 B. C. D.6.抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（）A. B. C. D.7.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（）A.或 B.或 C.或 D.8.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（）A.12 B. C. D.9.一个两位数等于它个位上数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（）A. B. C.或 D.无法确定10.唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“明轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度为，则该桨轮船轮子半径为（）A B. C. D.11.如图，圆锥的底面半径，母线，为底面直径，为底面圆周上一点，，为上一点，，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A. B. C. D.12.如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点………，前n行的点数和不能是以下哪个结果（）A.55 B.95 C.78 D.120二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡的横线上．13.方程的根是______．14.在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是_____．15.一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球．16.如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是_____．17.一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间________（s）．18.如图，点是⊙外一点，与⊙相切于点，交⊙于点，点，分别为线段，上的动点，若，，则的最小值为________.三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（1）解方程：．（2）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应，请直接写出点和点的坐标，并求边扫过形成扇形的弧长．20.九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院．（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；（2）求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率．21.某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．22.等边的边长为4，D为的中点，绕点B顺时针旋转得到，点A的对应点为F，点D的对应点为E，连接，．（1）求的度数；（2）求长度．23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出不等式的解集；（3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标．24.已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．（1）若，_______，求的度数．①；②．（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）（2）若，求长．（3）若，求证：．25.如图（1），抛物线与轴交于，B两点，与y轴交于C，顶点．（1）写出抛物线的解析式，点B，点C的坐标；（2）直线交抛物线于点E，F（点E在点F的右边），交直线于点G，若，求t的值；（3）如图（2），点M是抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为m，当是锐角三角形时，求m的取值范围．

四川省绵阳市游仙区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．故选：A2.下列事件中，属于必然事件的是（）A.13个人中至少有两个人出生月份相同B.掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3C.射击运动员射击一次，命中靶心D.2025年有366天【答案】A【解析】【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．【详解】解：A、13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有12个月，13个人即使平均分配12个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意；B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意；；C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意；D、2025年有365天，故为不可能事件，不符合题意，故选：A．3.将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则得到的抛物线解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则得到的抛物线解析式，故选：D．4.若关于x的方程满足，则必有一根为（）A.9 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根据可得，然后代入到原方程中得到，可得，由此即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴必有一根为3，故选C．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意把原方程化为是解题的关键．5.如图，中，，点在上，过点，且与相切于点，连接．若，，则的长为（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图所示，连接，过点作于点，根据切线的性质可得，可证是角平分线，可得，运用锐角三角函数的计算得到，由此得到，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，∵过点，且与相切于点，∴，又，即，∴，∴，∵，∴，∴，即平分，∵，∴，且，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，在中，，∴，∴，故选：B

．【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，掌握切线和锐角三角函数的计算方法是关键．6.抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．先根据二次函数的解析式求出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为，∴抛物线与轴另一交点坐标为．故选：A．7.如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（）A.或 B.或 C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行求解即可．【详解】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，∴不等式的解集为或，故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．8.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，点O是正六边形的中心，则的长为（）A.12 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题根据正多边形性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和求得，作于点，利用等腰三角形性质得到，根据30度所对直角边等于斜边一半求得，再利用勾股定理求得，即可解题．【详解】解：由题知，，，，作于点，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了正多边形性质、等腰三角形性质、30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．9.一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（）A. B. C.或 D.无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为．依题意得：，解得:.∴这个两位数为或．故选：C．10.唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“明轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子被水面截得线段为，轮子的吃水深度为，则该桨轮船轮子半径为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．过圆心P作于点D，交于点C，连接，根据垂径定理可得，设该桨轮船轮子的半径为r，则，，在中，根据勾股定理即可列出方程，求解即可．【详解】过圆心P作于点D，交于点C，连接．由题意可得，∵过圆心P，且，∴，设该桨轮船轮子的半径为r，则，，∵在中，，即，解得，∴该桨轮船轮子半径为.故选：B11.如图，圆锥的底面半径，母线，为底面直径，为底面圆周上一点，，为上一点，，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先得到弧的长，然后求得弧所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得的长即可．【详解】解：如图：∵，∴设弧所对圆心角的度数为n，∴，解得，∴，∴．故选：D．【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．12.如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点………，前n行的点数和不能是以下哪个结果（）A.55 B.95 C.78 D.120【答案】B【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，前n行的点数之和为，再分别求出该代数式的值分别为55、95、78、120时n的值即可判断．【详解】解：前n行的点数之和为，若前n行的点数之和为55，则，解得或（舍），即前10行的点数之和为55，不符合题意；若前n行的点数之和为95，则，解得，n不是整数，即不存在前n行的点数之和为95，符合题意；若前n行的点数之和为78，则，解得或（舍），即前12行的点数之和为78，不符合题意；若前n行的点数之和为120，则，解得或（舍），即前15行的点数之和为120，不符合题意；故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡的横线上．13.方程的根是______．【答案】，【解析】【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴或，解得：，．故答案为：，．【点睛】本题考查解一元二次方程—因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．14.在反比例函数y＝的图象的每一支曲线上，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是_____．【答案】m＜2【解析】【分析】根据反比例函数的增减性，列出关于m的不等式，进而即可求解．【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，∴m-2＜0，即：m＜2．故答案是：m＜2．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则k＜0，是解题的关键．15.一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球．【答案】12【解析】【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6，得到摸到黑球的概率为0.6，设黑球有个，根据黑球的数量等于总量乘以概率，列出方程进行求解即可．【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在0.6，∴摸到黑球的概率为0.6，设黑球有个，则：，解得：；故答案为：12．16.如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是_____．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理的推论及勾股定理是解题的关键．由“点是的中点，”，根据垂径定理的推论可知，所在圆的圆心在所在的直线上，延长到圆心，连接，设所在圆的半径长为，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出所在圆的半径长．【详解】解：如图，延长到圆心，连接，设所在圆的半径长为，则，，，在中，根据勾股定理可得：，，解得：，所在圆的半径长为，故答案为：．17.一个小球从水平面开始竖直向上发射，小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则小球从发射到回到水平面共需时间________（s）．【答案】8【解析】【分析】根据题意可求得函数的对称轴，从而根据函数的对称性，可以解答本题．【详解】解：由题意可得，

的对称轴为直线，∴当x=4，h取得最大值，∴由函数的对称性可得：小球从发射到回到水平面共需时间.故答案为：8.【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18.如图，点是⊙外一点，与⊙相切于点，交⊙于点，点，分别为线段，上的动点，若，，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】延长PO交⊙于Q，过点A作AA＇⊥OP于C，过A＇作A＇N⊥AP于N，延长PB交⊙于Q，根据切割线定理，得到，先求出圆的半径，再求出，由和求出AC，2AC=AA＇，AN=，求出AN，即AM=MN的最小值；【详解】延长PO交⊙于Q，过点A作AA＇⊥OP于C，过A＇作AN⊥AP于N，延长PB交⊙于Q，设⊙半径为r，根据切割线定理得，，∴，∴r=3；∴OA=3，OP=5；∴；∵AA＇⊥OP，∴°，∴P+PAA＇=90°，2+PAA＇=90°，1+PAA＇=90°，即1=2=P，∴，∴，∴AC=，∴AA＇=，又，∴AN=.∴AM+MN的最小值为：.故答案为.【点睛】本题主要考查了切割线定理，三角函数的性质，掌握切割线定理，三角函数的性质是解题的关键.三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（1）解方程：．（2）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应，请直接写出点和点的坐标，并求边扫过形成扇形的弧长．【答案】（1）；（2）图见解析，；【解析】【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，坐标与图形—旋转变换，勾股定理，求弧长，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据坐标的旋转变换写出点和点的坐标，再由勾股定理求出的长，再由弧长公式计算即可得解．【详解】解：（1），移项得，，，，∴原方程的解为；（2）如图，即为所求，由图可知，；，，∴边扫过形成扇形的弧长．20.九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院．（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；（2）求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）画树状图，得到共有种等可能的结果；（2）根据树状图得到的结果有种，利用概率公式计算即可．【小问1详解】解：根据题意画树状图如下，共有共种等可能的结果；【小问2详解】解：由树状图得，的结果有种，组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率．21.某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．【答案】（1）W1=﹣x2+32x﹣236；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W2至少为88万元．【解析】【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；（2）构建方程即可解决问题；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题.【详解】（1）W1=（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x2+32x﹣236．（2）由题意：20=﹣x2+32x﹣236．解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元．（3）由题意：14≤x≤16，W2=（x﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x2+31x﹣150，∵14≤x≤16，∴抛物线的对称轴x=15.5,又14≤x≤16.x=14时，W2有最小值，最小值=88(万元)，答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题.22.等边的边长为4，D为的中点，绕点B顺时针旋转得到，点A的对应点为F，点D的对应点为E，连接，．（1）求的度数；（2）求的长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，可得，，由平行线的性质可求解；（2）过点C作于H，由直角三角形的性质可得，，由勾股定理可求解．【小问1详解】解：∵是等边三角形，D为的中点，∴，，，∵绕点B顺时针旋转得到，∴，∴，，∵，∴，∴；【小问2详解】解：如图，过点C作于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴由勾股定理得：，∵等边的边长为4∴，∵D为的中点，∴，∵，∴，解得：（负值舍去），∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质，解一元二次方程等，解题的关键是熟练掌握相关的性质．23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）请直接写出不等式的解集；（3）若点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数解析式为（2）不等式的解集为或（3）满足条件的点的坐标为或或【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．（1）利用待定系数法计算即可得解；（2）由函数图象即可得解；（3）先求出点的坐标，设点，再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可．【小问1详解】解：将代入得：，解得：，∴反比例函数的解析式为；将代入反比例函数解析式可得，∴，将，代入反比例函数解析式可得，解得：，∴一次函数解析式为；【小问2详解】解：由图象可得：不等式的解集为或；【小问3详解】解：∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为，∴点的纵坐标为，∴，设点，∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴当为对角线时，与互相平分，∴，∴，∴；当为对角线时，与互相平分，∴，解得：，∴；当为对角线时，与互相平分，∴，解得：，∴；综上所述，满足条件的点的坐标为或或．24.已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点．（1）若，_______，求的度数．①；②．（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．）（2）若，求的长．（3）若，求证：．【答案】（1）若选择①，；若选择②，（2）（3）见详解【解析】【分析】（1）当选择①时，由题意易得，，然后可得是直径，则有点M是圆心，且四边形是平行四边形，进而问题可求解；若选择②，由题意易得，，设，则有，然后可得方程，进而问题可求解；（2）由题意易得，则可证，则有，进而问题可求解；（3）先证明，，则有，，然后根据可得，进而问题可求证．【小问1详解】解：当选择①时，∵，平分，∴，，∴，∴是直径，∵，∴，∴点M是圆心，且四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，∴都为等边三角形，∴，∴；若选择②，∵，平分，∴，，由可设，则有，∴，∵，∴，即，∴，