八年级数学下册aby专项突破练6 判定平行四边形的五种常用方法

第十八章平行四边形专项突破练6判定平行四边形的五种

常用方法荣德基2UDDE方法1

利用两组对边分别平行判定平行四边形1.如图，在-ABCD

中

，E,F

分别为AD,BC上的点，且BF=DE,连接AF,CE,BE,DF,AF

与BE相交于点M,DF

与CE相交于点N.求证：四边形FMEN为平行四边形.证明：∵

四边形ABCD

是平行四边形，

DE=BF

,∴DE兰BF.:四边形BFDE为平行四边形.∴BE//DF.

同

理

，AF//CE.∴

四边形FMEN为平行四边形.BC方法2利用两组对边分别相等判定平行四边形2.如图，在四边形ABCD

中，AB=DC,AD=BC,点E在BC上，点F在AD

上，AF=CE,EF

与对角线BD

相交于点0.求证：0是BD

的中点.证明：如图，连接BF,DE.∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.

∴AD//BC.∵AF=CE,AD=BC,∴DF=BE.又∵

DF//BE,∴四边形BEDF

是平行四边形.

∴OB=0D,

即0是BD的中点.3.如图，已知△ABD,△BCE,△ACF

都是等边三角形.求证：四边形ADEF

是平行四边形.证明：∵△ABD,△BCE,△ACF都是等边三角形，∴BA=BD=AD,BC=BE=CE,AF=AC=CF,∠DBA=∠EBC=60°.∴∠EBC-∠EBA=∠DBA-∠EBA,即∠ABC=∠DBE.∴△ABC≌△DBE(SAS).∴AC=DE.∴AF=DE.同理可证△ABC≌△FEC,∴AB=FE.∴AD=EF.∴

四边形ADEF是平行四边形.方法3利用一组对边平行且相等判定平行四边形4.如图，在-ABCD中，点E,F

分别是边AB,CD

的中点，求证：

AF=CE.证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AB//CD,AB=CD.∵

点E,F分别是边AB,CD

的中点，

,

∴AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE.5.

[教材P50习题T₄变式]如图，点E,F在□ABCD的边BC,AD

上

，

,连接BF,DE.求证：四边形

BEDF

是平行四边形.证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD=BC,AD//BC.又∵

DF//BE,∴

四边形BEDF

是平行四边形.,

∴BE=DF.方法4利用两组对角分别相等判定平行四边形6.

[教材P50习题T₁0变式]如图，在-ABCD中，BE

平分∠ABC,

交AD

于点E,DF平分∠ADC,

交BC于点F,那么四边形BFDE是平行四边形

吗?请说明理由.解：四边形BFDE

是平行四边形.理由：在-ABCD中，∠ABC=∠ADC,∠A=∠C.∵BE平分∠ABC,DF

平分∠ADC,

.∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF.∵∠DFB=∠C+∠CDF,∠BED=∠ABE+∠A,∴∠DFB=∠BED.∴四边形BFDE是平行四边形.7.

[教材P47习题例4变式]如图，在-ABCD

中，∠DAB=60

°,

点E,F

分别在CD,AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴DC//AB,∠DCB=∠DAB=60°.∴∠ADE=∠DAB=∠DCB=∠CBF=60°.∵AE=AD,CF=CB,∴△AED,△CFB

是等边三角形.∴∠AEC=∠BFC=60°,

∠EAD=∠FCB=60°.∴∠EAF=∠FCE=120°.∴

四边形AFCE是平行四边形.(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°”,

上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.解：上述的结论还成立.证明如下：∵

四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD,AD=BC,DC//AB,AD//BC.∴∠ADE=∠BCD,∠BCD=∠CBF.∴∠ADE=∠CBF.∵AE=AD,CB=CF,∴∠ADE=∠AED,∠CBF=∠CFB.∴∠AED=∠CFB.又∵∠ADE=∠CBF,AD=CB,∴△ADE≌△CBF(AAS).∴∠DAE=∠BCF,

∴∠EAF=∠ECF,∴

四边形AECF

是平行四边形.方法5利用对角线互相平分判定平行四边形8.如图①,□ABCD

中，点0是对角线AC

的中点，EF

过点0,与AD,BC

分别相交于点E,F,GH

过点0,与AB,CD

分别相交于点G,H,连

接EG,FG,FH,EH.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD//BC.

∴∠EAO=∠FCO.∵0是AC

的中点，∴OA=OC.∴△OAE≌△OCF(ASA).∴OE=0F.同理可得OG=0H,∴

四边形EGFH

是平行四边形.在△OAE

和△OCF

中

，(2)如图②,