八年级数学下册ac01-第1课时 角平分线的性质与判定

荣德基

第一

章三角形的证明及其应用5角平分线第1课时角平分线的性质与判定1.

已知AF

是等腰三角形ABC

底边BC

上的高，若点F到直线AB

的距离为3,则点F到直线AC

的距离为(C)A.B.2C.3D.基础提优题荣德基UDoE

阳2.

[2025江门月考]如图，在△ABC中，∠B=90°,DE垂直平分AC,DB=DE,

则∠C的度数为(

C

)A.30°

B.45°

C.60°D.75°基础提优题(第2题)荣德基UDoE

阳【点拨】连接CD.

∵∠B=90°

I∴∠A+∠ACB=90°∵DE

垂直平分AC,∴DA=DC,

∴∠A=∠ACD.∵DB=DE,∠B=90°,DE⊥AC,∴CD是∠ACB的平分线，∴∠

ACD=∠BCD,∴∠A=∠ACD=∠BCD,基础提优题∴∠ACB=2∠ACD=60°.(第2题)荣UDoE德

3.如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC

上的高，在BA,BC

上分别截取线段

BE,BF,

使BE=BF;

分别以点E,F为圆心，大于EF

的长为半径画弧，在

∠ABC内，两弧交于点P,作射线BP,

交AD于点M,

过点M作MN⊥AB

于点N.若MN=2,AD=4MD,

则AM=6

(第3题)基础提优题荣德基UDoE

阳A基础提优题4.新考向

知识情境化小明将两把完全

相同的直尺如图放置在∠AOB上，两

把直尺的接触点为P,边OA

与其中一

把直尺边缘的交点为C,点C,P

在这

把直尺上的刻度读数分别是2cm,5cm,则OC

的长度是3

cm(第4题)荣德基UDoE

阳基础提优题5.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,

过

点C作CE⊥AD

于点E,连接AC.若∠BAD=60°,CE=√3,且AC恰好平分3

√3∠BAD,

则△ABC

的面积

为

2

(第5题)荣UDoE德

6.如图，CB=CD,∠D+∠ABC=180°,

CE⊥AD(1)求证：AC平分∠DAB;基础提优题于点E.荣德基UDoE

阳DECAB【证明】如图，过点C作CF⊥AB,

交AB的延长线于点F.∵CE⊥AD,

∴∠DEC=∠CFB=90°.基础提优题荣德基∵∠D+∠ABC=180°,∠CBF+∠ABC=180°,∴∠D=∠CBF.又∵

CD=CB,∴△CDE≌△CBF(AAS).∴CE=CF,∴AC

平分∠DAB.基础提优题荣德基UDoE

阳∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).∴AF=AE=10.由(1)可得△CDE≌△CBF,∴BF=DE=4.∴AB=AF—BF=6.基础提优题(

2

)

若AE=10,DE=4,求AB

的长.【解】在Rt△ACE和Rt△ACF中

，

D德综合应用题7.

[2025合肥蜀山区期末]如图，分别以△ABC

的边AB,AC

为直角边，向外作等腰

直角三角形ABD,ACE,

连接BE,CD,BE,CD交于点F,连接AF.下列结论中不一定成立的是(

D

)A.BE=CD

B.∠EFC=90°C.FA平分∠BFC

D.∠DAF=∠DCA荣德基UDoE

阳【点拨】由题意得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,

∴易得∠BAE=∠DAC,

∴△BAE≌△DAC(SAS),

∴BE=CD,故A正确，不符合题意；如图①.

∵△BAE≌△DAC,

∴∠1=∠2.

∵∠3=∠4,∴∠DFB=∠DAB=90°,∴∠EFC=90°,故B正确，不符

合题意；综合应用题

E基①∴S△BAE=S△DAC

·∵BE=CD,∴AM=AN.∴FA平分∠BFC,

故C正确，不符合题意；现有条件不足以证明∠DAF=∠DCA,故D符合题意，故选D.EDF

NAB

C②综合应用题如图②,过点A作AM⊥BE于点M,

作AN⊥DC于点

N.

∵△BAE≌△DAC,荣德基UDoE

阳火8.如图，∠BAC=30°

,∠BAC的平分线上有一点P,PM//AB,PD⊥AB,PM=6,

则AD=

6+3

√3

.BPAM综合应用题(第8题)荣德基综合应用题【点拨】如图，过P作PF⊥AC

于点F.

∵AP

平分∠BAC,PD⊥AB,∴PD=PF,∠BAP=∠CAP.

在Rt△ADP和Rt△AFP中

，∴Rt△ADP≌Rt△AFP(HL).∴AD=AF.∵PM//AB,∠BAC=30°,荣德基UDoE

阳综合应用题∴∠FMP=∠BAC=30°∵PM=6,∴PF=3.∴MF=√PM²-PF2=

√6²-32=3

√3.∵PM//AB,

∴∠BAP=∠APM,∴∠CAP=∠APM.∴AM=PM=6.∴AD=AF=AM+MF=6+3√3.DMBPC荣德基A综合应用题

荣UDoE德

9.如

图

，AB//CD,BP,CP分别平分∠ABC,∠DCB,AD过

点P,且与AB

垂直，若AD=8cm,BC=10

cm,则四边形ABCD

的面积是40

cm²

.(第9题)【点拨】如图，过点P作PE⊥BC于点E.因为AD⊥AB,AB//CD,

所以AD⊥CD.因为BP

平分∠ABC,CP

平分∠DCB,

所以易得又因为BP=BP,所以Rt△EBP≌Rt△ABP(HL),

所以S△EBP=S△ABP.同理可得Rt△ECP≌Rt△DCP,

所以S△ECP=S△DCP,所以四边形ABCD的面积=2S·PE=40cm²

.综合应用题荣UDoE德

10.如

图

，AE

是∠CAM

的平分线，点B

在射线AM上

，DE是线段BC

的垂直平分线，交AE

于点E,交BC

于点D,EF⊥AM于点F.

若∠ACB=26°,∠CBE=25°,

则∠AED=

39°

.CD

EA综合应用题荣德基【点拨】如图，连接CE,过点E作ER⊥AC于点R,交CD于点Q,设AE交BC

于点0.因为DE是线段BC的垂直平分线，A所以∠

EDB=90°,CE=BE,

所以∠ECB=∠CBE=25°,∠DEB=90°-25°=65°.ER⊥AC,ED⊥BC,

所以∠

QRC=∠QDE=90°,

所以∠ACB+∠CQR=90°,∠EQD+∠QED=90°

.

因为CR/

0Do

EBF因

为综合应用题荣德基UDoE

阳M∠CQR=∠EQD,所

以∠QED=∠ACB=26°.

因

为AE

平分

∠CAM,ER⊥AC,EF⊥AM,所以ER=EF.

在Rt△ERC和Rt△EFB中，所以Rt△ERC≌Rt△EFB,所以∠EBF=∠ACE=∠ACB+∠ECD=

26°+25°=51°

.综合应用题荣德基UDoE

阳因为∠EFB=90°,

所以∠BEF=90°-∠EBF=90°-51°=39°,所以∠REF=∠RED+∠BED+∠BEF=26°+65°+39°=130°

.因为∠ARE=∠AFE=90°,

所以综合应用题荣德基UDoE

阳A综合应用题∠CAM=360°-90°-90°-130°=50°.因为AE平分∠CAM,所以∠DOE=∠CAE

十∠ACB=25°+26°=51°.

因为∠EDB=90°,所以∠AED=90°-∠DOE=90°-51°=39°.,所以荣德基UDoE

阳①②

③(1)如图①,点N在BC的延长线上，∠ABC的平分线与∠ACN的平分线交于点D,求证：∠BAC=2∠D;综合应用题11.荣UDoE德

综合应用题【证明】∵∠ABC的平分

线与∠ACN

的平分线交于点

D,∴∠ABD=∠CBD∠DCN=∠D+∠CBD,∴∠BAC+∠ABC=2∠D+2∠CBD,

∴∠BAC=2∠D..∵∠ACN=∠BAC+∠ABC,

D德②①③(2)如图②,点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，∠ABC

的平分线与∠ACN

的平分线交于点D,过点D作

DE⊥BC交BC的延长线于点E.连接AD,求证：AD平分

∠CAM;综合应用题①

②

③荣UDoE德

【证明】如图①,过点D作DP⊥BM于点P,DQ⊥AC

于点Q,∵DE⊥BC,BD

平分∠ABC,CD

平分∠ACN,∴DP=DE,DQ=DE,∴DP=DQ,∴AD平分∠CAM综合应用题荣UDoE德

①的延长线于点P,DQ⊥AC交BC

的延长线于点E.∵2∠ACD+∠ACB=180°∠ACB+∠ACE=180°

,于点Q,DE⊥BC,综合应用题(3)如图③,在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,2∠ACD+∠ACB=180°,

若∠BDC=20°,【解】如图②,过点D分别作DP⊥BA交BA求∠DAC的度数.荣UDoE德

②∴∠ACE=2∠ACD,∴CD

平分∠

ACE.又∵BD

平分∠ABC,∴由(1)得∠BAC=2∠BDC=40°

.∴∠CAP=180°—∠BAC=140°.由(2)得

AD

平分∠

CAP,综合应用题荣UDoE德

②①

②

③(1)【初步探究】如图①,当点A,C,D

在同一条直线上时，连接BD,AE,延长AE交BD于点F,则AE

与BD的数量

关系是

AE=BD,

位置关系是

AE⊥BD

;创新拓展题12.

【问题情境】在△ABC和△DEC中

，AC=BC,

DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°.荣UDoE德

上时，连接AE,BD,BD仍然成立?请说明理由.B乐F五A

C

D①交AE于

点F,(1)B

B

E

c有

AG

D③不在同一条直线中的结论是否E(2)

【类比探究】如图②,当点A,C,D创新拓展题F

D②荣德基UDoE

阳A即∠

BCD=∠ACE.又因为AC=BC,EC=DC,所以△

ACE≌△

BCD(SAS),所以∠1=∠2,AE=BD.因为∠3=∠4,所以∠BFA=∠BCA=90°,所

以AE⊥BD.【解】成立.理由：如图①,因为∠ACB=∠ECD,所以∠ACB+