2023-2024学年广东深圳宝安中学九年级(上)期中数学试题及答案

2023-2024学年广东省深圳市宝安中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分，请将正确答案填涂在答题卡上）13分）如图所示的几何体的俯视图是()23分）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝下的概率是()33分）如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为()43分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度OP是()53分）已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，错误的是()63分）如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，则当∠A＝30°时，四边形的面积为()D.73分）某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为()A．200+200（1+x）2＝1400B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400C．200（1+x）2＝1400D．200（1+x）+200（1+x）2＝140083分）给出下列判断，正确的是()A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形.93分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是()A．9.6cmB．9.3cmC．8.6cmD．7.2cm103分）如图1，△ABC中，∠C＝90°,AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为()A．54二.填空题（每小题3分，共15分，请将正确答案填涂在答题卡上）113分）已知是，则的值是.123分）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有个.133分）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618已知CD＝80cm，则AB约是cm（结果保留整数）.143分）关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0的一个根是3，另一个根是b，则a+b=.153分）如图，△ABC中，点D在CA的延长线上，且DA＝2AC，连接BD，CE为中线，延长CE交BD于点F．若∠D=∠ABC，DF＝7，则BA=.三.解答题（本题共7大题，55分，其中第16题8分，第17题7分；第18题6分：第19题7分：第20题8分；第21题10分；第22题9分）.168分）解方程：（1）x2﹣8x+15＝0.177分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“国画”、B“古筝”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出如图不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了名学生，并将条形统计图补充完整；（2）B组所对应的扇形圆心角为度；（3）现选出了4名书法最好的学生，其中有1名男生和3名女生，要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到2名女生的概率.186分）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼AB高16米．当地中午12时，物高与影长的比是1：米.（2）当地下午14时，物高与影长的比是1：2．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子DE的长.197分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件.（1）若每件服装降3元，则每天能卖出件，每件服装的利润是元.（2）如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？208分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：四边形ABCD是菱形.（2）若AB＝13，BD＝10，求CE的长.2110分）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1=1.下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有，∴=1.请用上述定理的证明方法解决以下问题：（1）如图（3△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：=1，请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图（4等边△ABC的边长为3，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，试求AE的长.（3）如图（5△ABC的面积为4，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，求四边形BCEF的面积.229分）矩形ABCD中，AD＝4，AB＝6，点E为矩形ABCD边上的动点，连接CE.（1）如图1，若点E在AB边上，作点B关于CE的对称点B'，当点B'恰好落在对角线BD上，试求EB的长.（2）如图2，若点E在AD边上，作点D关于CE的对称点D'，连接AD'、CD'和BD'，当点E为AD的中点时，求△AD'B的面积.（3）如图3，点E在AB边上，作点B关于CE的对称点B'，射线EB'交AD边所在直线于点G，若DG=AD，直接写出BE的值.2023-2024学年广东省深圳市宝安中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分，请将正确答案填涂在答题卡上）13分）如图所示的几何体的俯视图是()B.D.【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.【解答】解：从上边看是两个有公共边的矩形，如图所示：故选：A.【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.23分）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝下的概率是()【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝下的概率.【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝下的占一种，所以两枚硬币都是正面朝下的概率=.故选：D.【点评】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P=.掌握概率公式是解题的关键33分）如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为()【分析】由四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形可得AB＝AE，利用正方形和正三角形的内角性质即可得答案.【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，又∵△ADE是正三角形，∴△ABE是等腰三角形，∠BAE＝90°+60°=150°,∴∠ABE=∠AEB＝15°.故选：A.【点评】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，解题首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题.43分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，若树高AB＝2m，树影AC＝3m，树与路灯的水平距离AP＝4.5m，则路灯的高度OP是()【分析】证明△ACB∽△PCO，利用相似三角形的性质求解即可.【解答】解：∵AB∥OP，∴△ACB∽△PCO，∴=,∴=,故选：C.【点评】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握中心投影的性质，属于中考常考题型.53分）已知线段m、n、p、q的长度满足等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，错误的是()【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案.【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母pn得mn＝pq，与原式相等，正确，不符合题意；B、两边同时乘以最简公分母mq得mn＝pq，与原式相等，正确，不符合题意；C、两边同时乘以最简公分母qm得pq＝mn，与原式相等，正确，不符合题意；D、两边同时乘以最简公分母qn得mq＝pn，与原式不相等，错误，符合题意；故选：D.【点评】本题主要考查了比例线段等知识点，解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同.63分）如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，则当∠A＝30°时，四边形的面积为()D.【分析】根据正方形的判定和性质解得AB＝BC＝4，进而根据含30°角的直角三角形的性质和菱形的面积解答即可.【解答】解：将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形ABCD，拉动木条，四边形的形状会改变．当∠A＝90°时，四边形的面积为16，∴四边形ABCD是正方形，过A作AE⊥CB，交CB的延长线于E，∴四边形的面积＝AE•BC＝2×4＝8，故选：B.【点评】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，含30°角的直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.73分）某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为()A．200+200（1+x）2＝1400B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400C．200（1+x）2＝1400D．200（1+x）+200（1+x）2＝1400【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量＝1400且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x.【解答】解：已设这个百分数为x.200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400.故选：B.【点评】本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程.83分）给出下列判断，正确的是()A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形.【分析】根据平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论.【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故不符合题意；D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故符合题意；故选：D.【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键.93分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是()A．9.6cmB．9.3cmC．8.6cmD．7.2cm【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案.【解答】解：如图所示：作BF⊥AE于点F，由题意可得，BC＝6cm，CE＝DC＝8cm，故BE10（cm可得：∠CEB=∠BAF，∠C=∠AFB，故△BEC∽△BAF，解得：BF＝9.6cm.故选：A.【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键.103分）如图1，△ABC中，∠C＝90°,AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A﹣C﹣B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则a﹣b的值为()A．54【分析】根据勾股定理求出AB＝25，再分别求出0≤x≤15和15＜x≤35时的PD，AD的长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可.【解答】解∵∠C＝90°,AC＝15，BC＝20，∴AB===25，①当0≤x≤15时，点P在AC边上，如图所示，∵ED⊥AB，∵∠CAB=∠EAD，∴△CAB∽△EAD，∴==,∴AE==,DE==,BE＝25﹣,∴y＝BE•DE=×（25﹣②当15＜x≤35时，点D在BC边上，如图所示，此时BD＝35﹣x，∵DE⊥AB，∵∠DBE=∠ABC，DE21﹣,∴y＝DE•BE=×（28﹣)×（21﹣)=（14﹣)（21﹣),故选：B.【点评】本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握.二.填空题（每小题3分，共15分，请将正确答案填涂在答题卡上）113分）已知是，则的值是.【分析】根据比例设参数即可求值.故答案为：.【点评】本题考查比例的性质，掌握其性质是解决此题的关键.123分）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有18个.【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.4，则摸到白球的概率为0.6，然后根据概率公式计算即可.【解答】解：∵小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，∴估计摸到黄球的概率为0.4，∴摸到白球的概率为1﹣0.4＝0.6，故答案为：18.【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.133分）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618已知CD＝80cm，则AB约是49cm（结果保留整数）.【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.【解答】解：由题意得：≈0.618，∴AB≈0.618CD＝0.618×80≈49（cm故答案为：49.【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.143分）关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0的一个根是3，另一个根是b，则a+b＝18.【分析】由根与系数的关系可知，两根之和等于﹣6，即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出b，再将3代入方程求出a，此题得解.【解答】解：∵方程的一个根是3，另一个根是b，b+3=﹣6，解得：b=﹣9.∵一个根是3，）＝故答案为：18.【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于﹣是解题的关键.153分）如图，△ABC中，点D在CA的延长线上，且DA＝2AC，连接BD，CE为中线，延长CE交BD于点F．若∠D=∠ABC，DF＝7，则BA=.【分析】由DA＝2AC，得DC＝3AC，再证明△BDC∽△ABC，得==则作BG∥CD交CF的延长线于点G，则△BEG∽△AEC，△BFG∽△DFC，因为BE=AE，所以1，则BG＝AC＝DC，所以则BF＝DF可求得DB=,则BA＝DB于是得到问题的答案.∴DC＝AC+2AC＝3AC，∵∠D=∠ABC，∠DCB=∠BCA，∴△BDC∽△ABC，∴==,∴===,作BG∥CD交CF的延长线于点G，则△BEG∽△AEC，△BFG∽△DFC，∵CE是△ABC的中线，∴==1，∴==,∴BF＝DF=×7=,∴BA＝DB=×=,故答案为：.【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的中线、二次根式的化简等知识，正确地作出所需要的辅助线并且证明BC＝AC是解题的关键.三.解答题（本题共7大题，55分，其中第16题8分，第17题7分；第18题6分：第19题7分：第20题8分；第21题10分；第22题9分）.168分）解方程：（1）x2﹣8x+15＝0.【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解.【解答】解1）x2﹣8x+15＝0，∴（x﹣3x﹣50，（2x﹣1）2＝2（x﹣1）＝∴（x﹣1x﹣1﹣20，【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键.177分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“国画”、B“古筝”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出如图不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了40名学生，并将条形统计图补充完整；（2）B组所对应的扇形圆心角为72度；（3）现选出了4名书法最好的学生，其中有1名男生和3名女生，要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到2名女生的概率.【分析】（1）用A组人数除以所占的百分比，求出总数，总数减去其他组的人数求出C组人数，补全条形图即可；（2）用360°×B组人数所占的百分比，求出圆心角的度数即可；（3）利用画树状图法进行求解即可.【解答】解1）本次共调查学生16÷40%＝40（名C小组人数为4016+8+124（名补全图形如下：故答案为：40；=72°,（2）B组所对应的扇形圆心角为=72°,故答案为：72；（3）列表如下：由表格可知，共有12种等可能的情况，其中刚好抽到2名女生的情况有6种，∴刚好抽到2名女生的概率为=【点评】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握树状图法求概率，是解题的关键.186分）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼AB高16米．当地中午12时，物高与影长的比是1：.（1）如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距BD的长为16区米.（2）当地下午14时，物高与影长的比是1：2．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子DE的长.【分析】（1）根据物高与影长的比是1：列出比例式解答即可；（2）设FE⊥AB于点F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°,解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题.【解答】解1）由题意得：,;解得BD＝16区;（2）如图，设FE⊥AB于点F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°,EF＝BD＝16区米.∵物高与影长的比是1：2，则AF＝EF米故DE＝FB16﹣)米.答：落在乙楼上的影子DE的长为（16﹣)米.【点评】本题考查了平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键.197分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件.（1）若每件服装降3元，则每天能卖出45件，每件服装的利润是17元.（2）如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？【分析】（1）根据“每件降价1元，则每天可多售5件”即可求解；（2）设每件服装应降价x元，每天能盈利800元．根据题意建立一元二次方程即可求解.【解答】解1）∵每件降价1元，则每天可多售5件，∴每件服装降3元，则每天可多售3×5＝15件，即每天能卖出30+15＝45件，每件服装的利润是为65﹣345＝17元，故答案为：45，17；（2）设每件服装应降价x元，每天能盈利800元，则65﹣x﹣4530+5x800，∵要尽快减少库存，故：每件服装应降价10元，每天能盈利800元.【点评】本题考查了一元二次方程与实际问题．正确理解题意是解题关键.208分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.（1）求证：四边形ABCD是菱形.（2）若AB＝13，BD＝10，求CE的长.【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB＝AD可得平行四边形ABCD是菱形；（2）由菱形的性质和勾股定理，先求出AO＝12，然后利用面积相等法，即可求出答案.:上CAB＝上DCA，“AC为上DAB的平分线，:上CAB＝上DAC，:上DCA＝上DAC，“AB＝AD，:AB＝CD，“ABⅡCD，:四边形ABCD是平行四边形，“AD＝AB，:平行四边形ABCD是菱形；（2）解：“四边形ABCD是菱形，:OA＝OC，BD丄AC，“CE丄AB，“BD＝10，:OB＝BD＝5，在Rt△AOB中，AB＝13，OB＝5，:AC＝2AO＝24；“S菱形ABCD＝•AC•BD＝AB•CE，:×24×10＝13×CE，:CE=,答：CE的长为.【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定、平行线的性质，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键.2110分）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1=1.下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有，∴=1.请用上述定理的证明方法解决以下问题：（1）如图（3△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：=1，请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图（4等边△ABC的边长为3，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，试求AE的长.（3）如图（5△ABC的面积为4，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，求四边形BCEF的面积.【分析】（1）过点C作CN∥XZ交AY于点N，根据平行线截线段成比例的知识解答即可；（2）根据梅涅劳斯定理进行推理；（3）根据梅涅劳斯定理得则，由面积公式得S四边形BCEF＝S△BCF+S△CEF，即可得出答案.【解答】（1）证明：如答图1，过点C作CN∥XZ交AY于点N，故1；（2）解：如答图2，根据梅涅劳斯定理得有＝1，又∵BF＝2AF，∴AD⊥BC，BD＝CD＝1.5，=由勾股定理知AD==