【《第二型曲面积分》课堂教学中思政元素应用案例分析3200字（论文）】

3本案例通过引入古代都江堰和现代大坝工程来展开对第二型曲面积分定义的探讨，同时讲授德国数学家莫比乌斯的事迹，在教学过程中达到思政育人的目的。表3-2《第二型曲面积分》思政案例设计一、授课内容课程名称数学分析所属学校广西师范大学授课章节第二十二章第二节《第二型曲面积分》授课对象数学类专业教学课时2课时使用教材数学分析（第四版）华东师范大学数学系二、学情分析学生知识经验分析学生前面已经学习了《第一型曲面积分》，对曲面积分的概念和计算有了初步的了解。学生学习能力分析学生已经预习了第二型曲面积分的概念，但是深入了解和相关应用任需教师的引导、讲解和帮助.学生思想状况分析1.曲面的侧和第二型曲面积分涉及空间想象，内容有些抽象，学生学习其有一定的难度，可能会导致学生产生畏难心理；2.学生对所学内容大多停留在初步了解和应用，没有领悟到里面所蕴含的抽象思维和逻辑思想；3.学生的求知欲不高，面对疑惑缺乏探究精神，在思想觉悟层次上还需进一步提高.三、教学内容课堂教学目标1.理解曲面的侧和第二型曲面积分的定义，掌握第二型曲面积分的计算，学会应用第二型曲面积分解决问题；2.掌握推导过程所运用的积分思想；3.增强学生民族自豪感和民族责任感，激励学生更加努力学习。教学重点和难点重点：了解曲面的侧，理解第二型曲面积分的定义，掌握第二型曲面积分的计算；难点：理解第二型曲面积分的定义的推导过程。思政资源1.古代大坝的建设与现代大坝的建设，展示中国人民的智慧结晶；2.为自己作为中华儿女骄傲，加深爱国情怀和民族责任感。3.通过数学家莫比乌斯的故事，提高数学文化素养；4.推导第二型曲面积分定义的过程所体现出来的人生哲学道理，目标和梦想都很大，但是把它们分成一个个小目标去完成，终有一天，大目标和大梦想也能够实现。四、教学方法与手段教学方法本节课从学生自身实际情况出发，以学生为主体和教师为主导相结合而设计的，采用讲授和引导的教学方法.教学手段运用多媒体与板书相结合.五、教学过程设计（第0-3分钟）课程教学内容设计环节一：创设情境1.古有蜀郡太守李冰父子主持修建的都江堰大坝（如图4-1），今有闻名世界的中国三峡大坝（如图4-2）。这些水利工程在面对自然灾害时起到巨大的作用，给当地人民的生活带来便利。图4-1都江堰图4-2三峡大坝2.那同学们有没有思考过这样一些问题，当大坝泄洪时，在单位时间内通过一曲面从坝的一侧流向另一侧河水的流量应该如何计算呢REF_Ref12383\r\h[6]？如图4-3的大坝泄洪。图4-3大坝泄洪若想计算流量，则需要知道流速的方向和坝体所在曲面的方向。那如何确定一个曲面的方向呢？（第0-2分钟）结合课程内容融入【案例1——把古代大坝与现代大坝作为例子引入，不仅能够让抽象的第二型曲面积分概念增添一些色彩，激起同学们学习的欲望，还能让同学们感受到古代人民智慧的伟大和祖国今天科技实力的强大，更加努力地去学习，增强民族自豪感，提高民族责任感.】（第4-9分钟）课程教学内容设计环节二：探究发现要给一个曲面定向，首先要知道什么是曲面的侧。曲面的侧有两种，一种是双侧曲面，另一种是单侧曲面。设连通曲面上到处都有连续变动的切平面（或法线），为曲面上的一点，曲面在处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向。设为上任一点，为上任一经过点，且不超出边界的闭曲线REF_Ref9672\r\h[4].又设为动点，它在处与有相同的法线方向，且有如下特性：当从出发沿连续移动，这时作为曲面上的点，它的法线方向也连续地变动。最后当沿回到时，若这时的法线方向仍与的法线方向相一致，则说这曲面是双侧曲面；若与的法线方向相反，则说是单侧曲面REF_Ref9672\r\h[4]。在生活中，我们看到的曲面大多数都是双侧曲面，而关于单侧曲面，最典型的莫过于莫比乌斯带。在讲解前，我们可以先来了解一下关于伟大的数学家莫比乌斯的故事。莫比乌斯带是他在1858年发现的，那这个发现令莫比乌斯感到很神奇，那它神奇在什么地方呢？接下来让我们来探究一下莫比乌斯带的神奇之处。莫比乌斯带的构造：取一条形状为矩形的长纸带，把所在一侧扭转180°之后再与所在的另一侧粘连在一起，此时和重合，和重合。接下来，若是沿着这个带子上任一处为起点涂上一种颜色，我们发现可以不越过带子的最外边而将整条纸带全部涂遍，好比一只虫子可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。若是用一把剪刀沿纸带的中央将其剪开，纸带没有被分成两个纸带，反而是变成了一个两倍长的纸圈。在了解曲面的侧的两种类型后，我们要知道一般由所表示的曲面都是双侧曲面，当以曲面的法线正方向与轴正方向的夹角为锐角的一侧（也称为上侧）为正侧时，则另一侧（也称下侧）为负侧。若为封闭的曲面，一般规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧REF_Ref9672\r\h[4].（第6-8分钟）结合课程内容融入【案例2——在讲解单侧曲面时为同学们科普关于德国数学家莫比乌斯的事迹，不仅能够提高同学们上课积极性，还能够提高他们的数学文化素养，扩大知识面。】（第10-24分钟）课程教学内容设计环节三：概括定义先假设曲面为大坝的曲面，而流体的流速为，其中，，为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面的总流量REF_Ref9672\r\h[4].设在曲面的正侧上任一点处的单位法向量为.这里，，是，，的函数，则单位时间内流经小曲面的流量近似地等于其中是上任意取定的一点，，，是的正侧上法线的方向余弦，又，，分别是的正侧在坐标面,和上投影区域的面积的近似值，并分别记作，，，于是单位时间内由小曲面的负侧流向正侧的流量也近似地等于，故单位时间内由曲面的负侧流向正侧的总流量这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分REF_Ref9672\r\h[4].定义设，，为定义在双侧曲面上的函数，在所指定的一侧作分割，它把分为个小曲面，，，，分割的细度，以，，分别表示在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定REF_Ref9672\r\h[4].若的法线正向与轴正向成锐角时，在平面的投影区域的面积为正REF_Ref9672\r\h[4].反之，若法线正向与轴正向成钝角时，它在平面的投影区域的面积为负.在各个小曲面上任取一点，若存在，且与曲面的分割和在上的取法无关，则称此极限为函数,，在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分REF_Ref9672\r\h[4]，记作或.故此定义，该流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量.（第15-20分钟）结合课程内容融入【案例3——在推导出第二型曲面积分的定义时用到了“先分割、再求近似、接着求和、后取极限”的积分思想，让同学们学会了在遇到不规则图形的面积问题时首先用积分思想去解决，从而慢慢养成用数学的思想去考虑事情，用数学的方法去解决问题，提高自己的逻辑能力。】（第25-37分钟）课程教学内容设计环节四：初步运用定理1设是定义在光滑曲面，上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有.证明：根据第二型曲面积分的定义可知，这里REF_Ref9672\r\h[4].显然由立刻可推得REF_Ref9672\r\h[4].由于在上连续，在上连续（曲面光滑），根据复合函数的连续性，也是上的连续函数REF_Ref9672\r\h[4].由二重积分的定义.所以.同理，若在光滑曲面，上连续时，有，这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧REF_Ref9672\r\h[4].若在光滑曲面，上连续时，有，这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧REF_Ref9672\r\h[4].定理2设为光滑曲面，正侧法向量为，，，在上连续，则REF_Ref9672\r\h[4].定理3设，，是定义在光滑曲面：，上的连续函数，以的上侧为正侧，则REF_Ref9672\r\h[4].证明：由于，，，，因此REF_Ref9672\r\h[4].例1计算，其中，取上侧REF_Ref9672\r\h[4].解：，，，其中由于是的奇函数，；又因为对称性，故有REF_Ref9672\r\h[4].（第30-33分钟）结合课程内容融入【案例4——回顾得到第二型曲面积分的定义的过程，会发现实现自己的梦想和目标就需要这样子做，先把它分成一个个小目标和小规划，然后努力去完成一个个这样子的小目标，相信会在未来的某一天内心那个大的目标和梦想就会实现.同时，也像我们