天津市南开区2025~2026学年九年级上册第二次月考数学试题【附解析】

/天津市南开区2025−2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷一、单选题1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．2．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，设这个苗圃园的宽为，面积为，则与之间的函数表达式为（）

A．， B．，C．， D．，3．把二次函数的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（

）A． B．C． D．4．下列命题中，是假命题的为（

）A．底角相等的两个等腰三角形都相似B．顶角相等的两个等腰三角形都相似C．一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则它的角平分线也扩大为原来的5倍D．一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，则它的面积也扩大为原来的9倍5．二次函数，下列说法正确的是（

）A．对称轴是 B．当时y随x增大而减小C．有最大值 D．顶点坐标是6．一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，如果，则的长为（

）A． B． C． D．7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠18．如图，点M是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，MN⊥y轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△MNP的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．无法确定9．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（

）A． B．C． D．10．一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为（

）A． B． C． D．11．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（

）A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸12．已知点都在反比例函数（k为常数，）的图象上，则的大小关系为（

）A． B．C． D．13．如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（

）A． B． C． D．14．如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（

）

A． B． C． D．15．如图，抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论中（

）①；②；③是抛物线上两点，则；④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有．其中，正确结论的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．516．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（）A． B．3 C．2 D．二、填空题17．关于x的方程（m﹣3）﹣x+9=0是一元二次方程，则m=．18．设，是方程的两个实数根．若，则．19．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，当函数值时，x的取值范围是．20．如图，在中，，，，则的内切圆半径．21．已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为．22．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是．23．已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为．24．如图，．则图中相似三角形有对，与的相似比是，．25．如图，的半径是2，是的弦，点C在外，连接．若∠B＝30°，∠ACB＝90°，则OC长的最大值为．26．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，是圆的内接三角形，顶点B，C在格点上．（1）的长等于；（2）E是线段与网格线的交点，P是外接圆上的动点，点F在线段PB上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的．（不要求证明）三、解答题27．在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同）．（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．28．在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．

（1）如图①，求和的大小；（2）如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长．29．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转得，点A、O旋转后的对应点为、，记旋转角为α．（1）如图1，若，则，并求的长；（2）如图2，若，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，边上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，直接写出点的坐标．30．已知抛物线（a，b，c为常数，，）与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点在线段（点除外）上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段．（1）当时，①若点的坐标为，求该抛物线顶点的坐标；②若，且点在抛物线上，求抛物线的解析式；（2）当时，点为第一象限的动点，，连接．当取得最小值，且点在抛物线上时，求的值．

答案1．【正确答案】B【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键．【详解】解：A.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；B.符合中心对称图形的定义，故此项符合题意；C.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；D.不符合中心对称图形的定义，故此项不符合题意；故选B．2．【正确答案】B【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各边之间的关系，可得出，利用矩形的面积公式，可得出关于的函数关系式，再结合“墙长为，且平行于墙的一边长不小于”，即可求出的取值范围．根据各数量之间的关系，找出与的函数关系式是解题的关键．【详解】解：篱笆的总长为，，．根据题意得：．墙长为，且平行于墙的一边长不小于，，，与之间的函数表达式为．故选．3．【正确答案】C【分析】根据左加右减，上加下减的平移原则解答即可．本题考查了抛物线的平移，熟练掌平移规律是解题的关键．【详解】解：根据左加右减，上加下减的平移原则，得．故选C．4．【正确答案】D【分析】本题考查判断命题的真假，熟记相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质判断即可．【详解】解：A、底角相等的两个等腰三角形都相似，是真命题，故此选项不符合题意；B、顶角相等的两个等腰三角形都相似，是真命题，故此选项不符合题意；C、一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则它的角平分线也扩大为原来的5倍，是真命题，故此选项不符合题意；D、一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，则它的面积扩大为原来的81倍，故本选项命题是假命题，符合题意；故选D．5．【正确答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和顶点式．根据二次函数的顶点式和性质，逐项进行判断即可．【详解】解：A.由二次函数顶点式得，对称轴是直线，该选项错误，不符合题意；B.，∴抛物线开口向下，又∵对称轴为直线，∴当时y随x增大而增大，该选项错误，不符合题意；C.，∴抛物线开口向下，∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值，为，该选项正确，符合题意；D.由二次函数顶点式得，顶点坐标是，该选项错误，不符合题意；故选C．6．【正确答案】A【分析】本题主要考查了圆的切线定理，切线长性质定理，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．利用切线的性质和切线长性质定理，证明得出对应角相等，再利用含角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：由图可知，直线与相切，∴，又，∴，∴，∴，故选A．7．【正确答案】C【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故选C8．【正确答案】A【分析】根据求解．【详解】解：设点坐标为，点在反比例函数图象上，，．故选．9．【正确答案】B【分析】本题综合考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系．根据二次函数图象求出、、的正负是解决本题的关键．根据二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点，判断出、、的正负，然后根据、、的正负去判断一次函数和反比例函数在坐标系中的位置即可．【详解】解：由图可知，，，，∴，即，∵二次函数与轴有两个不同的交点，∴，∴一次函数经过一、二、四象限，当时，，∴反比例函数经过一、三象限．故选B．10．【正确答案】B【分析】本题主要考查扇形的面积公式（为圆心角的度数，为半径），熟练地掌握扇形的面积公式是解题的关键．设扇形的圆心角为，根据扇形的面积公式解方程即可．【详解】设扇形的圆心角为，根据题意可得：，解得，即扇形的圆心角为，故选B．11．【正确答案】D【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识点，连接，设圆的半径是x寸，根据垂径定理得出寸，在中，寸，，在中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长，正确作出辅助线是关键．【详解】解：连接，设圆的半径是x寸，∵弦，寸，∴寸，在中，寸，，∵，则，解得：，则（寸）．故选D．12．【正确答案】B【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．先判断出反比例函数图象在第二、四象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而增大判断．【详解】解：，反比例函数为常数，的图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大．，，，在第二象限．，．在第四象限，．综上，．故选B．13．【正确答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆，找出圆内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．由圆与正方形和正六边形性质知，正方形边长等于外接圆半径的倍，正六边形边长与外接圆半径相等，则结果可求．【详解】解：连接，如图所示：设此圆的半径为R，∵在正方形中，,则内接正方形的边长，∵在正六边形中，，为等边三角形，则内接正六边形的边长，∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为，∴正方形与正六边形的周长之比．故选A．14．【正确答案】A【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】如图，过点D作轴于点E，

∵，∴．由旋转的性质可知，，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴．故选A．15．【正确答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可．【详解】解：①由抛物线开口向上得，；由对称轴位于轴的右侧得，符号相异，；由抛物线与轴交于负半轴得，；∴，该选项正确，符合题意；②由对称轴为直线得，，，的对称点为，当时，，该选项正确，符合题意；③∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且，∴，该选项错误，不符合题意；④由②得，，将代入上式得，，解得，由关于x的一元二次方程没有实数根，结合图象得，，即，解得，又因为抛物线开口向上，∴，该选项正确，符合题意；⑤∵抛物线开口向上，∴顶点为最低点，顶点纵坐标为最小值，∴即，该选项错误，不符合题意；所以正确的选项是①②④，故选B．16．【正确答案】A【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，，∴，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴，∴AD=4，AF=2，，∴；故选A．17．【正确答案】-3【分析】根据一元二次方程的定义可得m2-7=2，且m-3≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0，解得：m=-3，故答案为-3．18．【正确答案】2【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．【详解】解：∵，是方程的两个实数根，∴，∵，∴，∴.19．【正确答案】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系得出不等式的解集．先联立解析式求出点的坐标，结合图象即可解答．【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，解得，（不符合题意，舍去），由图象可得，当函数值时，的取值范围是．20．【正确答案】1【分析】设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，求出的长，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于r的方程，即可求解．此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于D，E，F，连接，则，，，∵，∴四边形是正方形，设半径为r，，，，，，，，，，的内切圆的半径为1.21．【正确答案】/120度【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可．【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意，得，解得，则圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为.22．【正确答案】【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，∴第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是.23．【正确答案】【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，，∴当时，二次函数有最小值，由，根据距离对称轴越远，函数值越大，∴当时，，∴当时，函数的取值范围为.24．【正确答案】3；/；【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键；根据相似三角形的判定定理即可得到图中相似三角形的对数，再根据已知可求出与的相似比，证明四边形是平行四边形，得到，再利用相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵，，∴，，∴，∴图中相似三角形有对；∵，，∴，∴与的相似比是；∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∴．25．【正确答案】/【分析】当与交于点D时，连接，过点O作于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明是等边三角形，得到，则E是的中点，，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为；，当直线与交于点D，在优弧上取一点T，连接，连接，过点O作于E，连接，根据圆内接四边形对角互补求出，则，同理可得，则，据此可得答案．【详解】解：如图所示，当与交于点D时，连接，过点O作于E，连接，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴E是的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为；如图所示，当直线与交于点D，在优弧上取一点T，连接，连接，过点O作于E，连接，∵，∴，∴，∴，同理可得，则；综上所述，得到最大值为.26．【正确答案】；取格点D，连接与圆相交于点H，连接；圆与网格线的交点M，G，连接与相交于点O；连接并延长与圆相交于点P，点P即为所求．【分析】本题主要考查网格与勾股定理，圆心的确定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质，数形结合思想是关键．（1）根据格点，运用勾股定理求解即可；（2）根据题意得到当时，，当最大时，的值最大，当是直径时，的值最大，根据特点，用无刻度直尺确定圆心即可求解．【详解】解：（1）；（2）如图所示，在格点中取，格点，由格点特点得到，，∴，即，∴，∵，∴，∴当时，，∴当最大时，的值最大，∴当是直径时，的值最大，如图所示，取格点D，连接与圆相交于点H，连接；圆与网格线的交点M，G，连接与相交于点O，则点O为圆心；连接并延长与圆相交于点P，点P即为所求．27．【正确答案】（1）；（2）9个【分析】（1）根据题意画出树状图后，数出可能的结果总数及两次摸到不同颜色球的结果数，再根据概率的意义可得解；（2）设放入x个蓝球，再根据概率的意义得到方程，解方程后可以得解．【详解】解：（1）如图所示，共有6种可能结果，每种结果发生的可能性相等；其中两次摸到不同颜色球包含其中4种结果，所以两次摸到不同颜色球的概率为；（2）设放入x个蓝球，由题意，得：，解得：x=9，经检验，x=9是原方程的解，所以，放入袋中的蓝球为9个．28．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出；（2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案．【详解】（1）解：在中，半径垂直于弦，

∴，得．∵，∴．∵，∴．（2）解：如图，连接．同（1）得．∵在中，，∴．∴．又，∴．∵与相切于点E，∴，即．在中，，∴．29．【正确答案】（1）10，（2）（3）【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得，则可判定为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求的长；（2）作轴于H，如图②，利用旋转的性质得，则，再在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出和的长，然后利用坐标的表示方法写出点的坐标；（3）由旋转的性质得，则，作B点关于x轴的对称点C，连接交x轴于P点，如图②，易得，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式，从而得到点P的坐标，作于D，然后确定后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出和的长