湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

2025年下学期期末质量监测试卷八年级数学考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的算术平方根是（

）A. B. C. D.2.下列实数中，是无理数的是（）A. B. C. D.3.下面计算正确是（）A. B. C. D.4.下列调查，样本具有代表性的是（）A.了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查D.了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查5.如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（）A. B. C. D.6.如图，在中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（）A.18 B.20 C.26 D.217.如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A. B.C. D.8.当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（）A. B. C. D.9.反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（）A.三角形中没有内角大于 B.三角形中有一个内角大于C.三角形中三个内角都大于 D.三角形中有两个内大于10.如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11.命题“如果，那么”_____________命题(填“真”或“假”).12.某校对八年级600名学生进行视力测试，经统计，视力在4.8~4.6这一小组频率为0.25，则该小组人数有________人．13.因式分解：______．14.已知，则______．15.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______．16.若是直角三角形三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为___________．三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17计算：（1）；（2）．18.先化简，再求值：，其中．19.如图，已知，垂足分别为．求证：．20.2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行第二次太空授课，其中演示以下四个实验：A．太空“冰雪”实验：B．“液桥”演示实验：C．水油分离实验：D．太空抛物实验．为了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取本年级部分学生进行调查，并绘制如下两幅统计图：（1）本次参与调查的同学共有___________人；（2）请补全条形统计图；（3）若该校八年级共有800名学生，请估计全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？21.如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且（1）求的长；（2）求证：是直角三角形．22.如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足．（1）求证：；（2）当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上，已知，，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？23.若x满足，求的值．解：设，则∴．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足，求的值；（2）若x满足，求代数式的值；（3）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．24.在中，，．（1）如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，．①求证：；②若，，求的长．（2）如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：．

2025年下学期期末质量监测试卷八年级数学考生注意：本试卷共6页，三道大题，24小题，满分120分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的算术平方根是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个非负实数、，若满足，那么就叫做的算术平方根，据此求解即可．【详解】解；的算术平方根是，故选；B．2.下列实数中，是无理数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【详解】A.是有理数，故A错误；B、是有理数，故B错误；C、是有理数，故C错误；D、是无理数，故D正确；故选D．【点睛】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．3.下面计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是整式的运算，包括同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握各类运算法则是解题的关键．根据不同的运算法则对每个选项逐一分析，即可判断出正确答案．【详解】解：选项:，错误；选项:，错误；选项:，正确；选项:，错误．故选：．4.下列调查，样本具有代表性的是（）A.了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查D.了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查【答案】D【解析】【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．【详解】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误；B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误；C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误；D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确．故选D．考点：抽样调查的可靠性．5.如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，故选：A．6.如图，在中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（）A.18 B.20 C.26 D.21【答案】D【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，进而推出的周长为，即可得出结果．【详解】解：∵是边的垂直平分线，∴，∴周长为．故选D．7.如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．【详解】解：根据题意得：，，A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意；B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意；C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意；D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意；故选：C．8.当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】多项式利用平方差公式分解因式，变形后即可作出判断．详解】解：∴无论m为任何自然数，始终能被8整除，故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．9.反证法是初中数学中一种证明方法，在中国古代数学发展的过程中起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的例子．若我们用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”，则应先假设（）A.三角形中没有内角大于 B.三角形中有一个内角大于C.三角形中三个内角都大于 D.三角形中有两个内大于【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的步骤，然后进行判断即可，解题的关键是掌握反证法的步骤是：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立．【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于，故选：C．10.如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键．先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解．【详解】解：，，是直角三角形，，由折叠可知，，．故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11.命题“如果，那么”是_____________命题(填“真”或“假”).【答案】真【解析】【分析】根据二次根式的性质进行判断即可．【详解】命题“如果a＞b＞0，那么是真命题，故答案为真．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解二次根式的性质，难度不大．12.某校对八年级600名学生进行视力测试，经统计，视力在4.8~4.6这一小组的频率为0.25，则该小组人数有________人．【答案】150【解析】【分析】用总人数乘以样本中数据在4.8～4.6这一小组的频率即可．【详解】解：该小组人数有：600×0.25=150（人）．故答案为：150．【点睛】此题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．13.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式分解即可．【详解】解：；故答案为：．14.已知，则______．【答案】12【解析】【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．利用指数运算法则，将转化为，再代入已知数值计算．【详解】解：∵，，∴．故答案为12．15.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，再求出即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，，，，，∴在中，，∴，∴在中，，故答案为：．16.若是直角三角形的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查的是直角三角形的性质与配方法的综合应用，解题的关键是通过配方法将原式转化为平方和为的形式，从而求出三边长，再利用直角三角形内切圆半径公式求解．【详解】解：，，，，解得：，，，直角三角形的直角边为和，斜边为，角平分线的交点到一条边的距离即为的内切圆半径：．故答案为：．三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）按多项式除以单项式的法则求解即可．（2）先对各数开平方，开立方，再按照有理数的加减运算计算即可．【小问1详解】解：原式．【小问2详解】解：原式．18.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键．【详解】解：，当时，原式．19.如图，已知，垂足分别为．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解题的关键．先由垂直得直角，再通过线段和差得，证，即可求解．【详解】解：，，，，在和，，，．20.2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行第二次太空授课，其中演示以下四个实验：A．太空“冰雪”实验：B．“液桥”演示实验：C．水油分离实验：D．太空抛物实验．为了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取本年级部分学生进行调查，并绘制如下两幅统计图：（1）本次参与调查同学共有___________人；（2）请补全条形统计图；（3）若该校八年级共有800名学生，请估计全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？【答案】（1）50（2）见详解（3）320人【解析】【分析】（1）用喜欢“B”实验的人数除以其所占百分比即可作答；（2）用总人数乘以喜欢“C”实验的人数所占百分比，求出喜欢喜欢“C”实验的人数，进而可求出喜欢“D”实验的人数，据此补全图形即可；（3）用全校总人数乘以喜欢“A”实验的人数所占的百分比即可作答．【小问1详解】（人），答：本次抽调的同学人数为50人；【小问2详解】（人），（人），补全图形如下：【小问3详解】（人），答：全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有320人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用样本百分比估计总体的知识，将条形统计图、扇形统计图的数据加以联系，是解答本题的关键．21.如图，在中，，，，点D是外一点，连接，且（1）求的长；（2）求证：是直角三角形．【答案】（1）5（2）见解析【解析】【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，（1）在中，根据勾股定理即可求得的长；（2）利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形．【小问1详解】解：∵，，，∴．【小问2详解】证明：∵在中，，∴是直角三角形．22.如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，为伞柄，伞圈能沿着伞柄滑动，伞骨分别是伞骨上两个定点，且满足．（1）求证：；（2）当伞完全撑开后，点，，在同一条直线上，已知，，两个身体宽度的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？【答案】（1）证明见解析（2）他们会被垂直滴下的雨水淋到【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．（1）根据，，可得，再根据三边对应相等，两三角形全等，即可求证；（2）由，可得，根据等腰三角形的三线合一可得，由勾股定理求出的长度，将的长度和两人的总宽度做大小比较，即可求解．【小问1详解】解：，，，，．【小问2详解】解：如图，连接，，，又，，，，，，，他们会被垂直滴下的雨水淋到．答：他们会被垂直滴下的雨水淋到．23.若x满足，求的值．解：设，则∴．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足，求的值；（2）若x满足，求代数式的值；（3）已知正方形ABCD的边长为x、E、F分别是AD、DC上的点，且，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）5（2）13（3）28【解析】【分析】（1）设（5－x）＝a，（x－2）＝b，再利用进行运算即可；（2）设（6－x）＝a，（3－x）＝b，再利用进行运算即可；（3）正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CF＝5，可得MF＝DE＝x－3，DF＝x－5，则（x－3）•（x－5）＝48，（x－3）－（x－5）＝2，由阴影部分的面积＝FM2－DF2＝（x－3）2－（x－5）2．从而可得答案．【小问1详解】解：设（5－x）＝a，（x－2）＝b，则（5－x）（x－2）＝ab＝2，a＋b＝（5－x）＋（x－2）＝3，∴（5－x）2＋（x－2）2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×2＝5；【小问2详解】设（6－x）＝a，（3－