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文档简介

张量概念及其基本运算

1、张量概念◆

张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。◆

张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。◆

所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。◆

在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。◆

在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。◆

绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需三个分量来确定。◆

若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：M=3n◆

现令n

为这些物理量的阶次，并统一称这些物理量为张量。

当n=0时，零阶张量，M=1，标量；当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；、、、当取n时，n阶张量，M=3n。◆

张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定

坐标转化关系的有序数组成的集合。◆

张量是矢量和矩阵概念的推广。标量是0阶张量，

矢量是一阶张量，矩阵是二阶张量，而三阶张量

好比立体矩阵，更高阶张量则无法用图形表示

◆

张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示

物理量，可是标量加上向量都不能完整地表达所有

的物理量，所以物理学家使用的数学量的概念就

必须扩大，于是张量就出现了。◆

在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区别该张量的所有分量。

◆

不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。◆

重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。2.下标记号法3.求和约定

关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。例如：★

关于求和标号，即哑标有：◆

求和标号可任意变换字母表示。◆

求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。

◆

在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前优先求和。例：

★

关于自由标号：

◆在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同。◆自由标号的数量确定了张量的阶次。★

关于Kroneckerdelta（）符号：

是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：

的作用与计算示例如下：4.张量的基本运算

A、张量的加减：

张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵，如：

凡是同阶的两个或几个张量可以相加(或相减)，并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。即：其中各分量（元素）为：B、张量的乘积◆

对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。

◆

两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：若则：◆

张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合律。例如：

C、张量函数的求导：◆

一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参数xi的函数。

◆

张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。

◆

对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符

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