福建省福州市福九联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题含答案

2025—2026学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考高二数学试卷完卷时间：120分钟满分：150分第=1\*ROMANI卷单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．直线的一个方向向量为（）．

A． B． C． D．两平行直线与的距离为（）．

A． B． C． D．已知椭圆的一个焦点为，则（）．

A． B． C． D．已知，，，若，，三向量共面，则实数（）．

A．3 B． C．4 D．已知圆，点是圆上一动点，点，为线段的中点，则动点的轨迹方程为（）．

A． B．

C． D．已知椭圆以及椭圆内一点，以点为中点的弦所在直线的斜率为（）．

A． B． C． D．2在平面直角坐标系中，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（）．

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过作圆的两条切线，切点分别为，且，则椭圆离心率的取值范围为（）．

A． B． C． D．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．关于空间向量，以下说法正确的是（）．

A．任意向量，满足

B．若三个非零空间向量满足，则有

C．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则

D．若空间向量，则在上的投影向量为已知圆，直线，则（）．

A．直线恒过定点

B．直线与圆有两个交点

C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1

D．直线与圆相交得到的最短弦长为已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，是线段的中点，则（）．

A．若是的中点，则平面

B．若是的中点，则平面

C．的最大值是

D．的最小值为第Ⅱ卷填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面的对称点坐标是．已知椭圆的左焦点为，是上关于原点对称的两点，且，则的周长为．人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则平面的一个法向量可以为（只需写出一个满足条件的向量即可），直线l与平面所成角的正弦值为．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（13分）已知直线的方程为，若直线在y轴上的截距为，且．（1）求直线和的交点坐标；（2）已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为3，求直线的方程．（15分）如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设．（1）用表示；（2）求；（3）求的长．（15分）已知圆经过和，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程．（15分）如图（1），在直角梯形中，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示．（1） （2）（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．（17分）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，它们的斜率之积是．（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与交于两点．(ⅰ)求的取值范围；(ⅱ)若直线分别与直线相交于两点，求的值．2025—2026学年度第一学期福九联盟（高中）期中联考高中二年数学科试卷评分细则第=1\*ROMANI卷选择题:单选8题，每小题5分；多项选择3题，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号1234567891011答案CBDDCADBCDABDACD第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分．12.13.1414.（答案不唯一，均可），四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共5题，13分+15分+15分+17分+17分，共77分）15.【解析】（方法一）（1）因为直线的斜率且，所以直线的斜率，

2分因为在轴上的截距为，所以直线方程：，即， 3分联立方程得：，解得， 5分故交点为． 6分（2）依据题意可知：直线的斜率，设直线：， 7分与两坐标轴的交点为， 9分则直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积， 10分解得， 12分故方程为：，即. 13分（方法二）（1）同方法一． 6分（2）依据题意可知：直线的截距存在且不为，设直线：…7分在直线上， 8分则直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积， 9分联立方程得：， 11分又解得， 12分故方程为：，即. 13分16.【解析】（1）……4分（2）…………9分（3）……………………11分…………15分17.【解析】（方法一）（1）设圆的方程为， 1分因为圆C经过和，且圆心在直线上，所以, 3分解得：， 5分所以圆C的方程为：． 6分（2）,且=弦长， 7分①当l斜率不存在时，l的方程为，易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意． 9分②当l斜率存在时，设l的方程为，即， 10分又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则． 11分所以，解得， 13分所以直线l的方程为，即． 14分综上，l的方程为或． 15分（方法二）（1）依题意，设圆心的坐标为， 1分则圆的半径， 2分所以，解得． 3分所以圆心，， 4分所以圆的方程为． 6分（2）因为，所以圆心到直线的距离， 8分依题意，直线的斜率不为0，设的方程为， 9分所以， 12分解得，或． 14分所以l的方程为，或，即或 15分（方法三）（1）依题意，的中点坐标为， 1分直线的斜率， 2分所以线段的垂直平分线必过圆心，其方程为．由得即， 3分所以半径， 4分所以圆的方程为． 6分（2）同方法一． 12分（方法四）（1）设圆的方程为， 1分已知圆C经过和，且圆心在直线上.则即 3分解得：， 5分所以圆C的方程为． 6分（2）,且=弦长， 7分依题意，直线的斜率不为0，设的方程为， 8分由得， 9分设，则，， 11分所以， 13分即，即，解得，或． 14分所以l的方程为，或，即或 15分18.【解析】（1）证明：在直角梯形中，，所以四边形为矩形，故，，，，因为为的中点，所以，， 1分在中，，所以所以，故， 2分因为，故，即， 3分因为，翻折后有，因为，平面，所以平面， 5分因为平面，所以， 6分因为，平面，所以平面． 7分（2）由（1）可得平面，，所以两两相互垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，所以， 8分假设存在点符合题意，可设，（） 10分因为，所以，即，所以， 11分因为，设是平面的法向量，则取，则，故， 13分因为轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量， 14分设平面与平面所成角为，则，解得或（舍去） 16分所以，即，故当点位于靠近点的三等分点时有平面与平面的夹角的余弦值为.

17分19.【解析】（方法一）（1）设，则直线的斜率，直线， 2分因为直线和直线的斜率乘积为，所以， 3分整理的方程为． 4分（2）(ⅰ)依题意，设直线的方程为（）．由得， 5分设，则，即， 6分 7分． 8分因为，所以，所以的取值范围为． 10分(ⅱ)直线的方程为，直线的方程为， 11分令得，即． 12分所以， 14分因为，所以，即， 16分所以，即的值为1． 17分（方法二）（1）同方法一． 4分（2）(ⅰ)依题意，直线的斜率不为0，设的方程为．由得， 5分设，则，解得，， 6分