2025-2026学年北京市海淀区九年级上册第二次数学月考试卷 附答案

/北京市海淀区2025−2026学年九年级上学期第二次数学月考试卷一、单选题1．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．2．对于二次函数，下列描述正确的是（

）A．当时，y随x的增大而增大 B．其图象的开口向下C．有最大值2 D．其图象的顶点坐标为3．已知关于x的方程，如果，那么此方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．不能确定4．如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（

）A． B． C． D．5．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为（

）A． B． C． D．6．如图，在平行四边形中，为边的中点，交于点，若的面积为，则的面积为（）．A． B． C． D．7．如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（

）A． B． C． D．8．如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④二、填空题9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为．10．已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为cm11．抛物线上三点分别为，则的大小关系为（用“>”号连接）．12．如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为．13．如图，在一个长为，宽为的矩形地面上修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，草地面积为，求道路的宽度．设小路的宽为，依据上述条件，可列出一元二次方程：．14．如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为．15．如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是．16．如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为．三、解答题17．解方程：．18．已知是方程的一个解，求代数式的值．19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求方程的根．20．如图所示，把绕点旋转至位置，延长交于，交于，若，，，求的度数．21．已知二次函数的y与x的部分对应值如表：x13y010（1）求这个二次函数表达式；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；（3）当x的取值范围为时，．22．已知：点，，在上，且．求作：直线，使其过点，并与相切．作法：①连接；②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；③作直线．直线就是所求作直线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，，∵，∴四边形是菱形，∵点，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形是正方形，∴，即，∵为半径，∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．23．原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系．小明进行了两次掷实心球训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m根据上述数据，①实心球竖直高度的最大的值是________m；②求出函数解析式________；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”）24．在平面直角坐标系xOy中，已知点在抛物线上．（1）①抛物线的对称轴为直线___________；②当时，抛物线在x轴下方，当时，抛物线在x轴上方，求此时抛物线的表达式；（2）若抛物线上存在点，，其中满足且，使得，求a的取值范围．25．如图，在中，，，D是的中点，E是的中点，连接．若射线与的夹角为，过点作交射线于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：；（2）连接，，判断线段，之间的数量关系，并证明．26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N．①若，求的长；②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大．求a的取值范围．27．在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3．（1）对点的“最近覆盖距离”为________________；（2）点P是函数图象上一点，且对点的“最近覆盖距离”为，则点的坐标为________；（3）若一次函数的图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围；（4），且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，直接写出的取值范围．

答案1．【正确答案】A【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解．【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项；故选A．2．【正确答案】A【分析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．通过分析二次函数解析式的顶点式判断函数图象开口方向，顶点坐标，最值以及增减性即可求解．【详解】二次函数，的系数为1，，函数图象开口向上，选项B说法错误，不符合题意；函数图象的顶点坐标是，选项D说法错误，不符合题意；函数图象开口向上，有最小值为，选项C说法错误，不符合题意；函数图象的对称轴为，当时，y随x的增大而增大，选项A说法正确，符合题意；故选A．3．【正确答案】A【分析】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．先求一元二次方程的判别式，再根据，判断出的情况，由与0的大小关系来判断方程根的情况．【详解】解：关于x的方程中，，，，，，，关于的方程有两个不相等实数根．故选A．4．【正确答案】A【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．利用圆周角定理证得、，根据直角三角形的两锐角互余，进行计算求解即可．【详解】解：由于为直径，则，∵，∴,∴，故选A．5．【正确答案】C【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案．【详解】解：连接，如图所示：由题意知，，则，设的半径为，则，在中，，，解得，∴此管件的直径为，故选C．6．【正确答案】C【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形性质得出、，求出，再证明，根据相似三角形的性质可得求出，再结合已知条件即可解答．【详解】解：四边形是平行四边形，，，为边的中点，，∵，，，的面积为，的面积为.故选C．7．【正确答案】A【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算．由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积．【详解】解：圆锥的母线长，圆锥的侧面积为．故选A．8．【正确答案】C【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断④．【详解】如图，，即的长度等于半径，，即的长度等于半径，以为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确；为等边三角形，，当点在优弧上时，，当点在劣弧上时，，当点在圆上移动时，可能是，一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确；由以上可知，可以是或，当，时，，当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或，故③正确；过作于，，，当点为优弧的中点时，的面积最大，，故④错误；故选C9．【正确答案】【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，即可求解．【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为．10．【正确答案】【详解】如图，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G.在Rt△AOG中，∵OA=2cm，∠AOG=30°，∴OG=OA⋅cos30°=2×=(cm).故答案为.11．【正确答案】【分析】本题考查抛物线的性质，掌握知识点是解题的关键．根据抛物线解析式，分别将点B、点C和点A的横坐标代入解析式，得出纵坐标的值，比较大小即可．【详解】解：由抛物线解析式可得，当时，；当时，；当时，．由于为常数，故，即．故答案为．12．【正确答案】【分析】本题考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键．将正六边形分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，据此计算正六边形的面积即可．【详解】解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，即正三角形的边长为6，高为，因此，正六边形的面积为.13．【正确答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪变为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．【详解】解：设小路宽为，根据题意得.14．【正确答案】10【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．根据的周长为：，结合，，，代换计算即可．【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，，，，，的周长为：，．15．【正确答案】【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，∵，∴AD=∴DF=ADsin45°=，∵AE=AD=2，∴EB=AB−AE=，∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC=16．【正确答案】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作于H，于K，由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．【详解】如图，连接，作于H，于K，，，，，，欲求的最大值，只要求出的最小值即可，，点O的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆，在中，，，，，，当C、O、H共线，且与重合时，的值最小，的最小值为，的最小值为.17．【正确答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再运用配方法进行解方程，即可作答．【详解】解：∵，∴，∴∴，∴，∴，．18．【正确答案】4【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，整式乘法，利用整体代入的思想解决问题是解题关键．先由一元二次方程根的定义得到，然后化简，再整体代入求值．【详解】解：∵是方程的一个解，∴，∴，．19．【正确答案】（1）＜；（2）当时，．【分析】（1）根据判别式的意义得到＞0，然后解不等式即可得到k的范围；（2）先确定整数k的值为1或2，然后把k=1或k=2代入方程得到两个一元二次方程，然后解方程，确定方程的整数解即可．【详解】解：（1）因为有两个不相等的实数根，所以＞0，即＞0，所以＜20，解得：＜（2）因为＜且为正整数，所以=l或2，当=l时，方程化为，△=12，此方程无整数根；当=2时，方程化为解得，所以=2，方程的有整数根为．20．【正确答案】【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用全等三角形的性质证明，是解本题的关键．由旋转可得，可得，，再求解，，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：由旋转可知：，，，，，，，，是的外角，，．21．【正确答案】（1）；（2）见详解；（3）．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可．【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为：，把代入得：，解得：，∴二次函数的表达式为：，即；（2）解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图，函数图象如图：（3）解：当时，，解得：，，如图：根据图象可得：当时，x的取值范围为：，故．22．【正确答案】（1）见详解；（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．【详解】（1）解：补全图形，如图所示；（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．23．【正确答案】（1）①；②（2）【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键．（1）①根据表中的数据找出顶点坐标即可；②用待定系数法求函数解析式；（2）分别将代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和进行比较即可．【详解】（1）解：①根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是.②由①可知，顶点坐标为，故函数关系为，把代入得，，，故函数解析式为；（2）解：由（1）可知函数解析式为，当时，（负值舍去），，在中，令得，解得（负值舍去），，，．24．【正确答案】（1）①；②（2）【分析】（1）①把代入解析式，确定，代入计算即可；；②根据题意，结合对称轴对称，可知抛物线经过和，代入解析式确定，的值即可（2）由二次函数的性质结合题意可知，，由可得，则，进而可知，要使得，即，只需要使得成立即可，进而可得．【详解】（1）解：①将代入解析式，得：，解得：，∴抛物线的对称轴为直线.②∵抛物线的对称轴为直线，则设，∴当时，，当时，，即：与关于对称轴对称，∵当时，抛物线在x轴下方，当时，抛物线在x轴上方，∴，即：抛物线经过和，将和代入解析式，得：，解得：，∴此时抛物线的表达式；（2）由（1）可知：抛物线的对称轴为直线，，∴，当时，随的增大而增大，则，，，则：，∵，∴∵，∴，∵，则，∴，可得：，∴，则，∴，∵要使得，即：，只需要使得成立即可，∴，综上，的取值范围为．25．【正确答案】（1）①见详解；②见详解（2），见详解【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质；（1）①根据题意补全图，即可求解；②连接，由等腰三角形的性质得，结合直角三角形的特征，即可得证；（2）延长至，使得，连接、，由线段垂直平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证；掌握等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．【详解】（1）解：①如图，②连接，，，D是的中点，，，，，，，；（2）解：；证明：延长至，使得，连接、，，，，，，，，在和中，，（），，是的中点，，在和中，，（），，．26．【正确答案】（1），．（2）①的长为9；②．【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．（1）将和点代入解析式即可求解；（2）①当，抛物线表达式为，直线表达式为，继而求出，，则，即可求解；②先求出，，得到，令，即，解得或，推导出，分类讨论：第一种情况：分，第二种情况：，逐个分析求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线，经过点和点，∴，∴∴；（2）①如图，当时，，抛物线表达式为，直线表达式为，∵点作x轴的垂线，，∴当时，，即，，即，∴；②当点P从点O运动到点的过程中，∵轴，，∴，将，代入，得，即，将代入，可得，即，∴，令，即，解得或，∵在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，∴