2025-2026学年北京市顺义区第三中学九年级上册期中考试数学试卷 附答案

/北京市顺义区第三中学2025−2026学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列各组种的四条线段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cmC．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm2．抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．3．如图所示，点、分别在的、边上，且．如果，那么等于（

）A． B． C． D．4．把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（

）A． B．C． D．5．如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是()A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为(

)A．3：4 B．1：2 C．2：3 D．1：37．若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．8．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为（

）A． B．或 C．或 D．二、填空题9．若，则．10．抛物线的对称轴是．11．已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则（填“＞”或“＜”）．12．在中，，则．13．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是m．14．如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为.15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是．

16．已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是．（填序号）三、解答题17．已知一条抛物线的顶点坐标为，且经过点，求抛物线的表达式．18．如图，在中，，点是上一点，于点，求证：．19．已知二次函数．（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（2）求该二次函数的图象与x轴交点；（3）当时，求x的取值范围；（4）当时，求y的取值范围．20．已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．21．已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．22．如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向．（1）求B处到灯塔C的距离；（2）已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．23．如图，在中，为边上的中线，点为中点，过点作，交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形为矩形；（2）若，求的长．24．已知二次函数在和时的函数值相等．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N．当时，求b的值．25．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：），竖直高度为y（单位：），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据010203040506054.057.857.653.445.233.016.8下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们：（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为________（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点________（填写“高”或“低”）．26．已知抛物线．（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若，求m的取值范围．27．如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G．（1）求的度数；（2）在线段EG上取点H，使得，连接，．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．28．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”．（1）如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是；（2）点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是，直线的表达式是；（3）已知点，是抛物线上的“和谐点”，直接写出点，的坐标，．

答案1．【正确答案】C【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．【详解】解：A．，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；B．，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；C．，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；D．，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．故选C．2．【正确答案】B【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键．【详解】解：的顶点坐标为，故选．3．【正确答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．先证明，得到，再结合求解即可．【详解】解：，，，，，，故选C4．【正确答案】D【详解】解：把二次函数的图象向左平移2个单位，得到，再向上平移1个单位，得到，故此题答案为D．5．【正确答案】A【详解】∵在中，当时，；当时，解得；∴点A、B的坐标分别为（-4，0）和（0，3），∴OA=4，OB=3，又∵∠AOB=90°，∴AB=，∴cos∠BAO=．故选A．6．【正确答案】D【详解】∵DC=AC，∴△ADC是等腰三角形，∵∠ACB的平分线CE交AD于E，∴E为AD的中点（三线合一），又∵点F是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD，△AFE∽△ABD．∴S△AFE：S△ABD=1：4，∴S△AFE：S四边形BDEF=1：3，故选D.7．【正确答案】C【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程有两个实数根，即，求出不等式的解集即可．【详解】解：函数的图象与轴有公共点，方程有两个实数根，即，解得：．故选C．8．【正确答案】B【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象可得中x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：若，则，有图象可知，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，即，∴当或时，，则当或时，，故选B．9．【正确答案】【分析】此题主要考查了比例的性质，用b表示出a是解题的关键．由已知分式等式变形，分离出，再通过倒数关系求解.【详解】解：由，得，所以，故，故答案为.10．【正确答案】直线【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数对称轴公式进行求解即可．【详解】解：由题意得：该二次函数的对称轴为直线；故答案为直线．11．【正确答案】＜【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据点P、Q的横坐标以及二次函数的性质即可解答．【详解】解：∵二次函数，∴该抛物线的开口方向向上，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，∵点，为二次函数的图象上的两个点，且，∴．12．【正确答案】【分析】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角的正切的定义是解此题的关键．根据代入即可得出答案．【详解】解：在中，，∵，∴，∴．13．【正确答案】4【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质．作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，作交的延长线于，则，

，∵，∴，∵的长是，∴，即.14．【正确答案】【分析】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，即可求解．【详解】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，则：点Q的横坐标为-1+4=3，故答案为（3，0）．15．【正确答案】【分析】根据相似三角形的判定及性质可得（），进而可求解．【详解】解：，且，，，即：，解得：（），（），树高是.16．【正确答案】①③⑤【分析】根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，∴，，∵对称轴为，∴，∴，∴，∴，∴①正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∴，∴②错误．∵，∴③正确．∵当时，，∴．∴④错误．当时，有最大值为，∴对于任意实数m，总有，∴对于任意实数m，总有．∴⑤正确．17．【正确答案】【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟知顶点式的特征是解本题的关键；根据顶点坐标设抛物线解析式为，代入已知点坐标计算即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线表达式为，∵抛物线经过点，∴将代入，得：，∴，∴．18．【正确答案】见详解【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【详解】证明：于点，∴，19．【正确答案】（1）该二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为（2），（3）或（4）【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）该二次函数的图象的对称轴为直线，将代入，得，可得顶点坐标为．（2）令，求出的值，即可得该二次函数的图象与轴交点．（3）画出二次函数的图象，结合图象可得答案．（4）结合图象可得答案．【详解】（1）解：该二次函数的图象的对称轴为直线．将代入，得，顶点坐标为．（2）解：令，解得，，该二次函数的图象与轴交点为，．（3）解：画出二次函数的图象如图所示，由图象可知，当时，的取值范围为或．（4）解：将代入，得，当时，的取值范围为．20．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；（）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解；本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，∴该方程总有两个实数根；（2）解：∵，∴，∴或，∴，，∵，∴，∵该方程的两个实数根的差为，∴，解得．21．【正确答案】BC＝．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解】∵∠A＝105°，∠B＝30°．∴∠C＝45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．∴∠DAC═∠C＝45°．∵sinC，∴AD．∴AD＝CD．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．∵AD，∴AB＝2．∴由勾股定理得：BD．∴BC＝BD+CD．22．【正确答案】（1）36海里（2）没有危险【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．

（1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；

（2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：根据题意得

,，（海里），

∴，∴，

∴（海里），答：B处到灯塔C的距离为36海里；

（2）解：没有触礁的危险，理由如下：

过C作交的延长线于点D，

∵（海里），

∴（海里），

∵，

∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险．23．【正确答案】（1）见详解（2）【分析】对于（1），先说明四边形为平行四边形，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形为平行四边形，进而根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案；对于（2），先求出，再根据锐角三角函数求出，进而求出，然后根据勾股定理求出，即可得出答案.【详解】（1）连接，点为中点，，∴，即，四边形为平行四边形，∴，.又为边上的中线，∴，，∴，，四边形为平行四边形．又，平行四边形为矩形．

（2）∵，是上的中线，，在中，，∴，，又点为中点，∴，在中，，∴．24．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可．（2）设，，根据对称轴为直线，，得到，求得值后，利用对称轴和点的坐标计算即可；本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【详解】（1）∵二次函数在和时函数值相等，∴对称轴为直线．（2）∵过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N，设点M在点N的左侧，设，，∵对称轴为直线，，∴，解得，∴点M的坐标为，点N的坐标为∴，，∴，．25．【正确答案】（1）见详解（2）抛物线；（3）高【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据题意画图即可；（2）根据图表求解即可；（3）根据图表求解即可．【详解】（1）解：如图，（2）根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分；结合图象，图象的最高点在到之间，可推断出水平距离约为时，甲运动员起跳后达到最高点.（3）由图可知，乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高．26．【正确答案】（1）（2）（3）当时，或；当时，【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出对称轴；（2）由（1）得出顶点坐标，再根据顶点的纵坐标为0，求出a值即可；（3）根据点N关于直线的对称点为N'，再分和两种情况确定m的取值范围．【详解】（1）解：∴抛物线的对称轴为.（2）解：由（1）知，抛物线的顶点为，∵抛物线的顶点在x轴上，∴，解得，∴抛物线的解析式；（3）解：∵抛物线的对称轴为，∴N关于直线的对称点为N'，①当时，若，则或；②当时，若，则．综上，当时，或；当时，．27．【正确答案】（1）（2），见详解【分析】本题考查了正