线性代数行列式展开定理验证试题冲刺卷

线性代数行列式展开定理验证试题冲刺卷考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：线性代数行列式展开定理验证试题冲刺卷考核对象：高等院校理工科专业学生（中等级别）题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）请判断下列命题的正误。1.行列式按任意一行（列）展开的值等于该行（列）各元素与其对应代数余子式乘积之和。2.若方阵A中存在两行（列）成比例，则其行列式必为零。3.行列式展开定理仅适用于2阶和3阶方阵。4.代数余子式的计算与元素所在的行、列位置无关。5.行列式转置后其值不变。6.若矩阵A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在。7.行列式按某一行展开时，若该行元素全为零，则展开式结果为零。8.行列式展开定理可用于计算任意阶数的方阵行列式。9.行列式展开定理与矩阵的秩无关。10.若方阵A的行列式为零，则A的行向量组线性相关。二、单选题（每题2分，共20分）请选择唯一正确的答案。1.设矩阵A为3阶方阵，若A的第1行元素分别为1,2,3，其对应的余子式分别为5,6,7，则按第1行展开的行列式值为（）。A.1×5+2×6+3×7B.1×5-2×6+3×7C.1×5+2×6-3×7D.1×5-2×6-3×72.行列式det(A)按第2列展开时，元素a21的代数余子式为（）。A.(-1)^(2+2)det(M21)B.(-1)^(1+2)det(M21)C.(-1)^(2+1)det(M21)D.(-1)^(1+1)det(M21)3.若矩阵B的行列式为10，其转置矩阵B^T的行列式为（）。A.-10B.10C.1/10D.1004.行列式det(A)中，元素a32的余子式M32等于（）。A.删除第3行第2列后的2阶子式B.删除第2行第3列后的2阶子式C.删除第3行第3列后的2阶子式D.删除第2行第2列后的2阶子式5.若方阵C的行列式为零，则下列说法正确的是（）。A.C的行向量组线性无关B.C的列向量组线性无关C.C的行向量组线性相关D.C的列向量组线性相关6.行列式det(A)按第1行展开时，元素a11的代数余子式为（）。A.(-1)^(1+1)det(M11)B.(-1)^(1+2)det(M11)C.(-1)^(2+1)det(M11)D.(-1)^(2+2)det(M11)7.若矩阵D的行列式为负数，则其转置矩阵D^T的行列式为（）。A.正数B.负数C.零D.无法确定8.行列式det(A)中，元素a23的代数余子式为（）。A.(-1)^(2+3)det(M23)B.(-1)^(2+2)det(M23)C.(-1)^(3+3)det(M23)D.(-1)^(3+2)det(M23)9.若方阵E的行列式为0，则下列说法错误的是（）。A.E的秩小于nB.E的行向量组线性相关C.E的列向量组线性无关D.E的逆矩阵不存在10.行列式det(A)按第3行展开时，元素a31的代数余子式为（）。A.(-1)^(3+1)det(M31)B.(-1)^(3+3)det(M31)C.(-1)^(1+3)det(M31)D.(-1)^(2+3)det(M31)三、多选题（每题2分，共20分）请选择所有正确的答案。1.行列式展开定理的应用条件包括（）。A.矩阵必须是方阵B.展开时需选择某一行或某一列C.代数余子式的符号由元素位置决定D.子式必须是2阶方阵2.行列式det(A)的性质包括（）。A.行列式与矩阵转置无关B.行列式与矩阵行变换有关C.行列式为零时矩阵不可逆D.行列式等于所有对角线乘积3.代数余子式的计算公式为（）。A.(-1)^(i+j)det(Mij)B.(-1)^(i+j)det(Mji)C.(-1)^(i+j)det(Mji)^2D.(-1)^(i+j)det(Mij)^24.行列式展开定理的几何意义包括（）。A.表示空间向量的混合积B.表示平面三角形的面积C.表示矩阵的秩D.表示矩阵的行列空间维数5.行列式按某一行展开时，若该行元素全为零，则（）。A.展开式结果必为零B.矩阵行列式必为零C.矩阵秩小于nD.矩阵逆矩阵不存在6.行列式det(A)中，下列操作会改变其值的有（）。A.交换两行（列）B.将某行（列）乘以常数加到另一行（列）C.将某行（列）全为零D.将某行（列）元素平方7.行列式det(A)按第2列展开时，元素a12的代数余子式为（）。A.(-1)^(1+2)det(M12)B.(-1)^(2+2)det(M12)C.(-1)^(2+1)det(M12)D.(-1)^(1+1)det(M12)8.行列式det(A)中，若某行（列）元素全为零，则（）。A.矩阵行列式必为零B.矩阵秩小于nC.矩阵逆矩阵不存在D.矩阵所有子式必为零9.行列式展开定理的应用场景包括（）。A.计算方阵行列式B.判断向量组线性相关性C.求解线性方程组D.计算矩阵逆矩阵10.行列式det(A)中，下列说法正确的有（）。A.行列式等于所有对角线乘积B.行列式与矩阵转置无关C.行列式为零时矩阵不可逆D.行列式按任意行（列）展开结果相同四、案例分析（每题6分，共18分）1.题目：已知3阶方阵A如下，计算其行列式det(A)按第2行展开的值。A=|123||456||789|要求：-写出第2行各元素的代数余子式。-按第2行展开计算det(A)。2.题目：已知4阶方阵B如下，计算其行列式det(B)按第3列展开的值。B=|1204||3056||0789||10111213|要求：-写出第3列各元素的代数余子式。-按第3列展开计算det(B)。3.题目：已知3阶方阵C如下，判断其行列式是否为零，并说明理由。C=|123||234||345|要求：-计算det(C)按第1行展开的值。-若det(C)为零，说明其行向量组是否线性相关。五、论述题（每题11分，共22分）1.题目：请论述行列式展开定理在线性代数中的重要性，并举例说明其应用场景。2.题目：请论述行列式与矩阵可逆性的关系，并说明如何通过行列式判断矩阵是否可逆。---标准答案及解析一、判断题1.√2.√3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.√解析：3.行列式展开定理适用于任意阶数的方阵，不限于2阶和3阶。4.代数余子式与元素位置有关，符号由(-1)^(i+j)决定。9.行列式为零时，矩阵秩小于n，行向量组线性相关。二、单选题1.B2.C3.B4.A5.C6.A7.B8.A9.C10.A解析：1.按第1行展开：1×5-2×6+3×7。6.行列式为零时，矩阵不可逆。9.行列式为零时，矩阵秩小于n，行向量组线性相关，但列向量组可能线性相关或无关。三、多选题1.A,B,C2.B,C3.A,B4.A,B5.A,C6.A,D7.A,C8.A,B9.A,B,C10.B,C解析：1.展开定理要求方阵，需选择行或列，代数余子式符号由位置决定。6.交换两行改变符号，平方不改变行列式。8.某行全零时，行列式为零，秩小于n，但逆矩阵不存在不一定成立。四、案例分析1.解：-第2行各元素及其代数余子式：a21=4,A21=(-1)^(2+1)det(|23|)=-1×(2×9-3×8)=-6a22=5,A22=(-1)^(2+2)det(|13|)=1×(1×9-3×7)=-12a23=6,A23=(-1)^(2+3)det(|12|)=-1×(1×8-2×7)=6-按第2行展开：4×(-6)+5×(-12)+6×6=-24-60+36=-482.解：-第3列各元素及其代数余子式：a13=0,A13=(-1)^(1+3)det(|30|6|)=1×(3×9-0×6-5×10)=-45a23=5,A23=(-1)^(2+3)det(|12|6|)=-1×(1×9-2×10-4×3)=17a33=8,A33=(-1)^(3+3)det(|12|4|)=1×(1×13-2×10-4×3)=-5a43=12,A43=(-1)^(4+3)det(|12|4|)=-1×(1×9-2×10-4×0)=11-按第3列展开：0×(-45)+5×17+8×(-5)+12×11=85-40+132=1773.解：-按第1行展开：1×det(|34|)-2×det(|45|)+3×det(|23|)=1×(3×5-4×4)-2×(4×5-2×5)+3×(2×3-4×2)=1×(15-16)-2×(20-10)+3×(6-8)=-1-20-6=-27-det(C)=-27≠0，行向量组线性无关（反例：第1行+第2行=第3行，线性相关，矛盾）。五、论述题1.解：行列式展开定理是线性代数的基础工具，其重要性体现在：-计算方阵行列式：将高阶行列式转化为低阶行列式计算，如按行（列）展开。-判断向量组线性相关性：行列式为零时，向量组线性相关；否则线性无关。-求解线性方程组：克拉默法则通过行列式求解唯一解。-矩阵可逆性判断：行列式为零时矩阵不可逆。例：计算